直线的基本形式和基本量

1、直线的基本形式和基本量【复习目标】：1. 理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握由一点和斜率导 出直线方程的方法，掌握直线方程的点斜式、两点式和直线方程的一般式，确定一条直 线需要两个独立的已知量，并能根据条件熟练地求出直线方程或用待定系数法求出直线 方程中的未知量。2. 掌握运用解析几何证明问题的一般方法，理解“数形转化”的数学思想。3. 在运用直线的斜率解题时，注意不要遗漏斜率不存在的情形；用到截距时，要注意“截 距”是可正可负可为 0的，截距不是距离。且不要遗漏截距为零的情形。【知识要点】：i.过两点Rd,%)、E(x2,y2) (n式x2)的直线斜率公式： 2

2、直线方程的几种形式：点斜式： ;斜截式： 两点式： ;截距式： ;一般式： 【课前预习】：111.若ab : 0 ,则过点P(0,)与Q(丄,0)的直线PQ的倾斜角的取值范围是(B )baJIJt(A)%)(B)(訂)2)(-二二)兀(Dy,。)2.以原点为中心，对角线在坐标轴上,(A)|x| |y|吟边长为(B)|x r y 弓1的正方形的四条边的方程为(1 (C)|x y 卜¥ (D) |x - y 卜已知 ABC 的顶点 A(-1,2) , B(3,6),重心G(0, 2,则AC边所在直线方程为4x _y 6 =0 ；经过点A( -2,2)且与x轴、y轴围成的三角形面积是 1的

3、直线方程是32x y 0或x 2y -2 =0 ;过点(2,1),且它的倾斜角等于已知直线y x 2的 4倾斜角的一半的直线l的方程是x - 3y -1=0.4. 若直线的方向向量是S则直线l的倾斜角是-；若点M(2T，NZ-2),3直线丨过点P(11)且与线段MN相交，则直线l的斜率k的取值范围为k乞-4或k4【例题分析】：例1 已知直线h的方程为y = 2x，过点A(2, -1)作直线l2，交y轴于点C ,交h于点B ,且| BC AB |，求12的方程2, 2 2 0 2解：设点B(xB, yB )，当AB =2 BC时，xb，代入y = 2x中，得1+2342 4、yB. 点B(,).

4、由两点式，得12的方程为：7 x，4ydO=O.33 3当AB =-2 BC时，得点B(-2,-4)，由两点式，得12的方程为：3x-4y-10=0.综上所述，小结：I2 的方程为：7x 4y -10 =0或 3x -4y -10 =0.例2 .求过点P(0, 1)的直线I，使它包含在两已知直线2x+ y 8 = 0和l2： x 3y + 100间的线段被点P所平分.I1|y解法P-.X(构造方程)如图2所示，设I与I1的交点A(X1, y1). P(0, 1)是AB的中点，贝U I和I2的交点B(捲,2 %).0 2x1 + y1 8= 0, x1 3(2 y”+ 10= 0, 即卩 2x1

5、 + y1 1 = 7，x1 3(y1 1) = 7.1),图 2由一，得 X1+ 4(y1 1) = 0，直线 x+ 4(y 1) = 0 过点 A(x1, y1)与 P(0,I 的方程为 x+ 4(y 1) = 0，即 x+ 4y 4 = 0.y轴的正半轴于A、B两点,例3 .设过点P(2,1)作直线I交x轴的正半轴、(1 )当| PA| | PB |取得最小值时，求直线 I的方程.(2)当|OA| | OB |取得最小值时，求直线I的方程.解：(1)如图1，设直线I的方程为：y-1二 k(x -2)(k : 0).1令 y =0，得点 A(2,0)；令 x =0，得点 B(0,1 -2k

6、).k2、'1 |PA| |PB|22 (2k)2(12：)= 2 (1 k2)(1：)=2、 2 k21k2 > 222 . k2 ； = 4，当且仅当 k2 +P(2, 1)x*A0图1,即k二一1时取等号.直线 l 的方程为 y -1 = -(x -2)，即 x y - 3=0 .(2)设直线l的方程为：X - -1(a 0,b 0).a b2 i点 P l ,1 , ab =2b a _2 . 2ab , ab _8，当且仅当 a = 2b，即a ba =4 ,b=2时取等号.由题设知，|OA| |OB|=ab的最小值为8，此时a=4 ,b=2 .直线l的方程为一，

7、9;=1，即x，2y 4 = 0 .42过点P(1,4)引一条直线l ,使它在两条坐标轴上的截距都是正数，且它们的和最小，求直线l的方程4解：设直线l的方程为y-4=k(x-1)，则它在x轴，y轴上的截距分别为1, -k 4 .k4由1> 0且-k 4 0，得k <0 设两截距之和为 m，贝yk444m=5-k 5 (-k) (-)_ 9，当且仅当，-k(k : 0)即 k = 一2 时，m 取kkk得最小值 此时直线l的方程为2x y-6 = 0.例4 厶ABC的一个顶点 A(2,3)，两条高所在直线方程为 x-2y，3 = 0和x，y-4 = 0 ,求三边所在直线方程.解：三角

8、形的顶点 A(2,3)不在两条高所在直线上，.设方程x-2y，3=0为AC边的高BE所在直线的方程，方程 x，y-4=0为AB边的高CF所在直线的方程，边AC所在直线的方程为 2(2) (y -3) =0, 即卩2x y -7 =0.边AB所在直线的方程为(x-2)-(y-3) =0，即x-y 7=0.由Xy+仁。，得B(1,2)；由:'x + y4=0,得C(3,1). jX2y+3=0,、2x+y7=0,边BC所在直线方程为 匚2工口，即x 2y - 5 = 0 .1231边AB、AC、BC所在直线的方程分别为 x-y1=0,2x，y-7=0,x，2y-5 = 0 .【小结】:根据已知条件求直线方程已知条件设直线的方程直线过定点P(x0,y0)点斜式：y y° = k(x X。)直线的斜率为k斜截式：y =