一方向导数的定义二梯度的概念三小结ppt课件

1、一、方导游数的定义一、方导游数的定义二、梯度的概念二、梯度的概念三、小结三、小结讨论函数讨论函数 z = f (x, y) z = f (x, y) 在在一点一点 P P沿某一方向的变化率问题沿某一方向的变化率问题一、方导游数的定义一、方导游数的定义oyx lP x y P .),(),(lim0 yxfyyxxflf 定义定义的方向导数的方向导数沿方向沿方向限为函数在点限为函数在点的极限存在，则称这极的极限存在，则称这极时，如果此比时，如果此比趋于趋于沿着沿着比值，当比值，当之之两点间的距离两点间的距离与与函数的增量函数的增量lPPlPyxPPyxfyyxxf 22)()(),(),( 记为

2、记为方方向向导导数数依依定定义义，函函数数),(yxf在在点点P沿沿着着x轴轴正正向向 0 , 11 e、 y轴轴正正向向 1 , 02 e 的的方方向向导导数数分分别别为为yxff ,； 沿沿着着x轴轴负负向向、y轴轴负负向向的的方方向向导导数数是是 yxff ,. . 定理定理 如果函数如果函数),(yxfz 在点在点),(yxP是可微分的，是可微分的， 那末函数在该点沿任意方向那末函数在该点沿任意方向 L的方向导数都的方向导数都 存在，且有存在，且有 sincosyfxflf ， 其中其中 为为 x 轴到方向轴到方向 L的转角的转角 xyo例例 1 1 求函数求函数 yxez2 在点在点

3、 )0 , 1(P 处沿从点处沿从点 )0 , 1(P 到点到点 )1 , 2( Q 的方向的方向导数的方向的方向导数. . 解解故故x轴轴到到方方向向 l的的转转角角4 . . )0 , 1( xz由由 )0 , 1(yz)4sin(2)4cos(1 lz.22 这这里里方方向向 l即即为为1 , 1 PQ, , 方导游数方导游数PQ )0 , 1(2ye; 1 )0 , 1(22yxe, 2 对对于于三三元元函函数数),(zyxfu ，它它在在空空间间一一点点 ),(zyxP沿沿着着方方向向 L的的方方向向导导数数 ，可可定定义义为为 ,),(),(lim0 zyxfzzyyxxflf 推

4、行可得三元函数方导游数的定义推行可得三元函数方导游数的定义（ 其其中中222)()()(zyx ） 同同理理：当当函函数数在在此此点点可可微微时时，那那末末函函数数在在该该点点沿沿 任任意意方方向向 L的的方方向向导导数数都都存存在在，且且有有 .coscoscos zfyfxflf 设设方方向向 L 的的方方向向角角为为 , ,. . 定定义义 设设函函数数),(yxfz 在在平平面面区区域域 D 内内具具有有一一阶阶 连连续续偏偏导导数数，则则对对于于每每一一点点DyxP ),(，都都 可可定定出出一一个个向向量量 jyfixf ，这这向向量量称称为为函函 数数),(yxfz 在在点点),

5、(yxP的的梯梯度度，记记为为 二、梯度的概念二、梯度的概念?:最快最快沿哪一方向增加的速度沿哪一方向增加的速度函数在点函数在点问题问题P. ),( jyfixfyxfgrad sincosyfxflf sin,cos, yfxf ),(eyxfgrad ,cos| ),(| yxfgrad lf 有最大值有最大值. . 设设 sin cos jie 是是方方向向 l上上的的单单位位向向量量， 由由方方向向导导数数公公式式知知 其其中中) ),(eyxfgrad 当当1) ),(cos( eyxfgrad 时，时， 函函数数在在某某点点的的梯梯度度是是这这样样一一个个向向量量，它它的的方方 向

6、向与与取取得得最最大大方方向向导导数数的的方方向向一一致致, ,而而它它的的 模模为为方方向向导导数数的的最最大大值值梯梯度度的的模模为为 结论结论. | ),(|22 yfxfyxfgrad),(yxfz 在几何上在几何上 表示一个曲面表示一个曲面曲面被平面曲面被平面 所截得所截得cz ,),( czyxfz所得曲线在所得曲线在xoyxoy面上投影如图面上投影如图等高线等高线),(yxfgrad梯度为等高线上的法向量梯度为等高线上的法向量P2),(cyxf 1),(cyxf oyxcyxf ),(12cc 三元函数三元函数),(zyxfu 在空间区域在空间区域 G内具有一阶内具有一阶 连续偏

7、导数，则对于每一点连续偏导数，则对于每一点GzyxP ),(，都可，都可 定义一个向量定义一个向量( (梯度梯度) ) . ),(kzfjyfixfzyxfgrad 类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与获得最大方导游数的方向一致，其模为方导游数的获得最大方导游数的方向一致，其模为方导游数的最大值最大值. .梯度的概念可以推行到三元函数梯度的概念可以推行到三元函数类似地类似地, ,设曲面设曲面czyxf ),(为函数为函数),(zyxfu 的等量面，此函数在点的等量面，此函数在点),(zyxP的梯度的方向与的梯度的方向与 过点过点 P的等量面的

8、等量面czyxf ),(在这点的法线的一在这点的法线的一 个方向相同，且从数值较低的等量面指向数值较个方向相同，且从数值较低的等量面指向数值较 高的等量面，而梯度的模等于函数在这个法线方高的等量面，而梯度的模等于函数在这个法线方 向的方向导数向的方向导数. . 例例 4 4 求函数求函数 yxzyxu2332222 在点在点 )2 , 1 , 1( 处的梯度，并问在处的梯度，并问在 哪些点处梯度为零哪些点处梯度为零向量向量？ 解解由梯度计算公式得由梯度计算公式得 ),(kzujyuixuzyxugrad , 6 )24( )32(kzjyix 故故. 12 2 5)2 , 1 , 1( kjiugrad 在在)0 ,21 ,23(0 P处处梯梯度度为为零零向向量量. . 1 1、方导游数的概念、方导游数的概念2 2、梯度的概念、梯度的概念3 3、方导游数与梯度的关系、方导游数与梯度的关系留意方导游数与普通所说偏导数的