一阶隐式微分方程及其参数表示ppt课件

1、2.4 2.4 一阶隐式微分方程及其参数表示一阶隐式微分方程及其参数表示/Implicit First-Order ODE and Parameter Representation/0),(yyxF),(yxfy 变量分别、线性、恰当方程等能解出y转化),(yxfy),(yyfx0),(yxF0),(yyF0),(yyxF不能解出 或解出方式复杂y转化引进参数变量变换熟练掌握2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter representation一、 能解出 y (或 x )的方程 (2.1 4.1)( ,) dyyf xdx这里假设函数 有延续的偏导

2、数。),(dxdyxf解法：引进参数解法：引进参数 ，那么，那么(2.4.1)(2.4.1)变为变为 Pdxdy( ,) (2.4.2)yf x p两边关于 x 求导，并把 代入，得dxdyp ) 3 . 4 . 2( dxdppfxfp pfxfpdxdp关于 x 和 p 显式方程2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation 假设已得出(2.4.3)的通解方式为, 代入(2.4.2)得),(cxp),(,(cxxfy就是(2.4.1)的通解。(ii) 假设得出(2.4.3)通解方式为 ，那么原方程(2.4.1),(cpx有

3、参数方式的通解),(),(pcpfycpx其中 p 是参数，c为恣意常数。(iii) 假设求得(2.4.3)通解方式 ，那么原方程(2.4.1)0),(cpx),(0),(pxfycpx其中p是参数,c为恣意常数。有参数方式通解 ),(pxfy 2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation 2 ( (2.4 4),.)dyxf ydx解法解法pdxdy)5 . 4 . 2( ),(pyfx 两边对 y 求导 dydppfyfp1(2.4.6) pfyfpdydp1假设求得为0),(cpy那么(2.4.4)的通解为0),(),

4、(cpypyfx),(,(cyyfx假设求得为),(cyp那么(2.4.4)的通解为2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation02)(3ydxdyxdxdy解法解法1 1： 解出 y pdxdy令得xppy23两边对 x 求导pdxdpxdxdppp2232例例1 1求解方程0232pdxxdpdpp当0p时，上式乘以 p，得02323dxpxpdpdpp积分，得cxpp24432.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation2443ppcx将它代入xppy

5、23ppcpy)43(243因此，方程参数方式通解)0(21243322pppcyppcx当 p=0 时, 由xppy23可知，y=0也是方程的解。解出 x，得2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation解法解法2 2：解出 x，并把 ，得pdxdy)0(23pppyx两边对 y 求导2322)()31 (1pdydppydydpppp023dppydppdycpyp42ppcy2424344322ppcppppcx所以，方程的通解为:022434322pppcyppcx此外，还有解 y = 0 2.4 Implicit F

6、irst-Order ODE and Parameter Representation2)(22xdxdyxdxdyy解解令pdxdy得222xxppy两边对 x 求导，得 xpdxdpxdxdppp 2例例2 2求解方程0)2)(1(xpdxdp01dxdpcxp将它代入222xxppy得方程的通解222ccxxy2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation方程的通解222ccxxy再由02 xp得2xp 将它代入222xxppy，又得方程的一个解 42xy 此解与通解222ccxxy中的每一条积分曲线均 相切(如图)(P

7、54)这样的解我们称之为奇解,下一章将给出奇解确实切含义。留意留意: :2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representationxyo42xy 222ccxxy2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation二二 、 不显含不显含 y ( y ( 或或 x x 的方程的方程 ) ) 3 ( , )0 (2.4.7) F x y )(tx解法：解法：引入变换)(tdxdyy从(2.4.7)得到dxtdy)(dttt)()(dtttdy)()(cdttty)()(那么，方程的

8、参数方式通解为关键cdtttytx)( )()()(ty(or 引入变换从(2.4.7)得到 )(tx2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation 3 ( ,)0 (2.4.7 )F x y pdxdyypdxdy 令)(pxdppp)(cdpppy)(cdpppypx)()(通解为特殊情形2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation 4 ( (2.4.8,)0 )F y y)(ty解法：解法：引入变换)(tdxdyy从(2.4.7)得到dxtdy)(dt

9、ttdytdx)()(1)(1那么，方程的参数方式通解为cdtttx)()( )()()( tycdtttx)(ty(or 引入变换从(2.4.7)得到 )(ty假设00 ),(yF有实根ky 那么ky 也是方程的解。 关键2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation 4 ( , ( .)02 4.8F y y pdxdyydypdx1令)(pydppp)(1cdpppx)(1通解为特殊情形)()(pycdpppx假设00 ),(yF有实根ky 那么ky 也是方程的解。 2.4 Implicit First-Order OD

10、E and Parameter Representationdxdyyyxyx这里0333解解令txpy那么 由方程，得313ttx从而3213ttp于是dtttt3323)1 ()21 (9求解方程例例4 4dxttdy3213cttdtttty2333323)1 (4123)1 ()21 (9cttyttx2333)1 (2)41 (313通解为2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation例例5 52221)()(yyy求解方程解解yty 2把yty2代入原微分方程令得222) 1(tyyty由此得tty1且21 tyy

11、dydx)(ttdt1112dtt21ctx1方程的参数方式的通解为ttyctx11此外, 2y也是方程的解。 2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation练习练习) (yxyy求解方程pdxdyy留意察看方程的解的特点解解pppxpp)(0)(ppx0 p)(pxcp )(ccxy)()()(pppypx通解奇解克莱洛方程Clairant Equation作业作业: P.59 第第 1, 3, 4题题2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation三 利用变

12、量代换的微分方程积分法有时方程0) ,(yyxF就,yyx都不易解出, 或者虽能解出,但积分计算比较复杂，这时，除了援用适当的参数外，还可以先进展适当的变量代换后再 求解，这种方法称为利用变量代换的微分方程积分法。 但是，如何选择适当的变量来代换，没有一定的规律, 需求在做大量的练习中积累阅历.2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation解解vxuysinsin令那么xdxdvydyducos,cosdvduyxycoscos代入原方程，得0)(2udvduvdvdu即2)(dvdudvduvu克莱洛方程vccu222vu通解奇解例例6 60222xyyxxyyycossincoscossincos) (求解方程xccysinsin22sinsin2xy2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation解解v