第五版电路第七章

1、1动态电路的方程及其初始条件动态电路的方程及其初始条件7.1一阶电路和二阶电路的阶跃响应一阶电路和二阶电路的阶跃响应7.7一阶电路的零输入响应一阶电路的零输入响应7.2一阶电路和二阶电路的冲激响应一阶电路和二阶电路的冲激响应7.8*一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应7.3一阶电路的全响应一阶电路的全响应7.4二阶电路的零输入响应二阶电路的零输入响应7.5二阶电路的零状态响应和全响应二阶电路的零状态响应和全响应7.622.2.一阶和二阶电路的零输入响应、零状态响一阶和二阶电路的零输入响应、零状态响应和全响应的概念及求解应和全响应的概念及求解3.3.一阶和二阶电路的阶跃响应概念及求解一阶和二

2、阶电路的阶跃响应概念及求解1.1.动态电路方程的建立及初始条件的确定动态电路方程的建立及初始条件的确定本章重点本章重点3含有动态元件电容和电感的电路称动态电路。含有动态元件电容和电感的电路称动态电路。1 1. .动态电路动态电路 7.1 动态电路的方程及其初始条件动态电路的方程及其初始条件 当动态电路状态发生改变时（换路）需要当动态电路状态发生改变时（换路）需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。这经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。这个变化过程称为电路的过渡过程。个变化过程称为电路的过渡过程。特点40tiS2/iURS12()iURR过渡期为零过渡期为零例例 电阻电路电阻电路（t = 0

3、）+-uSR1R2i5i = 0 , uC= USi = 0 , uC = 0S接通电源后很长时间接通电源后很长时间，电容充电完毕，电路达到，电容充电完毕，电路达到新的稳定状态：新的稳定状态：S未动作前未动作前，电路处于稳定状态：，电路处于稳定状态：电容电路电容电路前一个稳定状态前一个稳定状态过渡状态过渡状态新的稳定状态新的稳定状态t1USuCt0?iSUR有一过渡期有一过渡期 (t )+uCUSRC+- -iS+uCUSRC (t = 0)+- -i6uL= 0, i=Us /Ri = 0 , uL = 0S接通电源后很长时间接通电源后很长时间，电路达到新的稳定状态，电路达到新的稳定状态，电

4、感视为短路：电感视为短路：S未动作前未动作前，电路处于稳定状态：，电路处于稳定状态：电感电路电感电路前一个稳定状态前一个稳定状态过渡状态过渡状态新的稳定状态新的稳定状态t1US/Rit0?uLSU有一过渡期有一过渡期 (t )L+uLUSR+- -iLS+uLUSR (t = 0)+- -i7S未动作前未动作前，电路处于稳定状态：，电路处于稳定状态：uL= 0, i=US /RS断开瞬间断开瞬间i = 0 , uL = 工程实际中切断电容会出现过电流工程实际中切断电容会出现过电流现象现象, 切断切断电感电路时电感电路时会出现会出现过电压现象。过电压现象。注意 (t )L+uLUSR+- -is

5、 (t )L+uLUSR+- -i8过渡过程产生的原因过渡过程产生的原因 电路内部含有储能元件电路内部含有储能元件 L、C，电路在换路时，电路在换路时能量发生变化，而能量发生变化，而能量的储存和释放都需要一定的能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。时间来完成。twp电路结构、状态发生变化电路结构、状态发生变化换路换路支路接入或断开支路接入或断开电路参数变化电路参数变化p0 t9)(ddSCCtuutuRC应用应用KVL和电容的和电容的VCR得：得：2 2. .动态电路的方程动态电路的方程)(SCtuuRituCiddC例例RC电路电路 (t 0)+uCUSRC+- -i10)(SLtuuRi

6、)(ddStutiLRi应用应用KVL和电感的和电感的VCR得得：tiLuddLRL电路电路 (t 0)+uLUSRL+- -i11有源有源 电阻电阻 电路电路 一个动一个动态元件态元件一阶一阶电路电路结论 含有一个动态元件电容或电感的线性电路，其含有一个动态元件电容或电感的线性电路，其电路方程为一阶线性常微分方程，称一阶电路。电路方程为一阶线性常微分方程，称一阶电路。 (first-order circuit)12)(ddddSCC2C2tuutuRCtuLCLCS( )Riuuu t二阶电路二阶电路tuCiddC2CL2dddduiuLLCttRLC电路电路应用应用KVL和元件的和元件的V

7、CR得得： 含有二个动态元件的线性电路，其电路方程含有二个动态元件的线性电路，其电路方程为二阶线性常微分方程，称二阶电路。为二阶线性常微分方程，称二阶电路。(second-order circuit) (t 0)uLUSR+- -CuC+- - -i13一阶电路一阶电路一阶电路中只有一个动态元件一阶电路中只有一个动态元件, ,描述电描述电路的方程是一阶线性微分方程。路的方程是一阶线性微分方程。描述动态电路的电路方程为微分方程；描述动态电路的电路方程为微分方程；动态电路方程的阶数通常等于电路中动动态电路方程的阶数通常等于电路中动态元件的个数。态元件的个数。0)(dd01ttexatxa0)(dd

8、dd01222ttexatxatxa二阶电路二阶电路二阶电路中有二个动态元件二阶电路中有二个动态元件, ,描述描述电路的方程是二阶线性微分方程。电路的方程是二阶线性微分方程。结论14高阶电路高阶电路电路中有多个动态元件，描述电路中有多个动态元件，描述电路的方程是高阶微分方程。电路的方程是高阶微分方程。0)(dddddd01111ttexatxatxatxannnnnn动态电路的分析方法动态电路的分析方法根据根据KVL、KCL和和VCR建立微分方程；建立微分方程；15复频域分析法复频域分析法时域分析法时域分析法求解微分方程求解微分方程经典法经典法状态变量法状态变量法数值法数值法卷积积分卷积积分拉

9、普拉斯变换法拉普拉斯变换法状态变量法状态变量法付氏变换付氏变换本章本章采用采用 工程中高阶微分方程应用计算机辅助分析求解。工程中高阶微分方程应用计算机辅助分析求解。16稳态分析和动态分析的区别稳态分析和动态分析的区别稳态稳态动态动态换路发生很长时间后状态换路发生很长时间后状态微分方程的特解微分方程的特解恒定或周期性激励恒定或周期性激励换路发生后的整个过程换路发生后的整个过程微分方程的通解微分方程的通解任意激励任意激励10Sddxaa xUt0 dtdx t0Sa xU直流时直流时17 t = 0与与t = 0的概念的概念认为换路在认为换路在t=0时刻进行时刻进行0 换路前一瞬间换路前一瞬间 0

10、 换路后一瞬间换路后一瞬间3.3.电路的初始条件电路的初始条件)(lim)0(00tfftt)(lim)0(00tfftt初始条件为初始条件为 t = 0时时u ，i 及其各阶导数及其各阶导数的值。的值。注意0f(t)0()0( ff00)0()0( fft18例例 图示为电容放电电路，电容原先带有电压图示为电容放电电路，电容原先带有电压Uo,求开关闭合后电容电压随时间的变化。求开关闭合后电容电压随时间的变化。解解CCd0duRCutC0 (0)Riut特征根方程：特征根方程：01RCpRCp1通解：通解：0kUC( )tptRCutkeke代入初始条件得：代入初始条件得：C0( )tRCut

11、U e 在动态电路分析中，初始条件是得到确在动态电路分析中，初始条件是得到确定解答的必需条件。定解答的必需条件。明确R+CiuC(t=0)19C1( )( )dtutiCd)(1d)(100tiCiCC01(0 )( )dtuiCt = 0+ 时刻时刻0CC01(0 )(0 )( )duuiCiuCC+-电容的初始条件电容的初始条件0当当i()为有限值时为有限值时20q (0+) = q (0)uC (0+) = uC (0) 换路瞬间，若电容电流保持为有限值，换路瞬间，若电容电流保持为有限值， 则电容电压（电荷）换路前后保持不变。则电容电压（电荷）换路前后保持不变。q =C uC电荷电荷守恒

12、守恒结论21L1( )( )dtituLd) )(1d)(100tuLuL0LL01(0 )(0 )( )diiuL电感的初始条件电感的初始条件t = 0+时刻时刻0L01(0 )( )dtiuL当当u为有限值时为有限值时iLuL+-22L (0)= L (0)iL(0)= iL(0)LLi磁链磁链守恒守恒 换路瞬间，若电感电压保持为有限值，换路瞬间，若电感电压保持为有限值， 则电感电流（磁链）换路前后保持不变。则电感电流（磁链）换路前后保持不变。结论23L (0+)= L (0 )iL(0+)= iL(0)qC (0+) = qC (0)uC (0+) = uC (0)换路定律换路定律电容电

13、流和电感电压为有限值是换路定电容电流和电感电压为有限值是换路定律成立的条件。律成立的条件。 换路瞬间，若电感电压保持换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感电流（磁链）为有限值，则电感电流（磁链）换路前后保持不变。换路前后保持不变。 换路瞬间，若电容电流保持换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电压（电荷）为有限值，则电容电压（电荷）换路前后保持不变。换路前后保持不变。换路定律反映了能量不能跃变。换路定律反映了能量不能跃变。注意24电路初始值的确定电路初始值的确定(2)由换路定律由换路定律 uC (0+) = uC (0)=8VC10 8(0 )0.2mA10i(1) 由由0电路求电路求 u

14、C(0)uC(0)=8V(3) 由由0+等效电路求等效电路求 iC(0+)iC(0)=0 iC(0+)例例1 求求 iC(0+)电电容容开开路路电容电容用用电电压源压源替代替代注意+uC-+-10Vi10k40kiC8V+-10Vi10k+-+-10ViiC+uC-S10k40k25LL(0 )(0 )uuiL(0+)= iL(0) =2AL(0 )2 48Vu 例例2 t = 0 时闭合开关时闭合开关S, ,求求 uL(0+)先求先求L10(0 )2A14i应用换路定律应用换路定律: :电感电感用用电电流源流源替代替代L(0 )i解解电感电感短路短路由由0+等效电路求等效电路求 uL(0+)

15、注意iL10V14+-2A+uL-10V14+-14iL+uL-L10VS+-26求初始值的步骤求初始值的步骤: :1.1.由换路前电路（稳定状态）求由换路前电路（稳定状态）求uC(0)和和iL(0)；2.2.由换路定律得由换路定律得 uC(0+) 和和 iL(0+)。3.3.画画0+等效电路。等效电路。4.4.由由0+电路求所需各变量的电路求所需各变量的0+值。值。b.b.电容（电感）用电压源（电流源）替代。电容（电感）用电压源（电流源）替代。a.a.换路后的电路换路后的电路（取（取0+时刻值，方向与原假定的电容电压、电时刻值，方向与原假定的电容电压、电感电流方向相同）。感电流方向相同）。小

16、结27iL(0+) = iL(0) = iSuC(0+) = uC(0) = RiSuL(0+)= - RiS例例3 求求 iC(0+) , uL(0+)SCS(0 )0RiiiR解解由由0电路得电路得：由由0+电路得电路得：RiL+uCiSiCRiS+RiSS(t=0)+uLiLC+uCLRiSiC28CC(0 )(0 )2 1224VuuLL(0 )(0 )48/412Aii例例4 求求S 闭合瞬间各支路电流和电感电压闭合瞬间各支路电流和电感电压解解C(0 )(4824)/38AiA20812)0(iL(0 )482 1224Vu 由由0电路得电路得：iL2+-48V32+uC由由0+电路

17、得电路得：24V+-48V32+12AiC+-uLiL+uL-LS2+-48V32C29例例5 求求S 闭合瞬间流过它的电流值闭合瞬间流过它的电流值解解 确定确定0值值LL20(0 )(0 )1A20iiCC(0 )(0 )10Vuu给出给出0等效电路等效电路S2010(0 )12A1010i LL(0 )(0 ) 1010VuiCC(0 )(0 )/101Aiu iL+20V-10+uC1010+20V-10+10101A10V+uLiCiL+20V-LS10+uC1010C307.2 一阶电路的零输入响应一阶电路的零输入响应换路后外加激励为零，仅由动态元换路后外加激励为零，仅由动态元件初始

18、储能产生的电压和电流。件初始储能产生的电压和电流。1.1.RC电路的零输入响应电路的零输入响应已知已知 uC (0)=U0RC0uuCdduiCt uR= Ri零输入响应零输入响应(Zero input response)iS(t=0)+uRC+uCR31CCC0d0d(0 )uRCutuURCp1 特征根特征根特征方程特征方程RCp+1=01 tRCAeCptuAe则则代入初始值代入初始值 uC (0+)=uC(0)=U0A=U0iS(t=0)+uRC+uCR32C000ttRCRCuUieI etRR C00tRCuU etC00d1 ()dttRCRCuUiCCU eetRCR 或或33

19、tU0uC0I0ti0令令 = RC, , 称称 为一阶电路的时间常数为一阶电路的时间常数 RC 库库安安秒秒欧欧法法欧欧欧欧秒秒伏伏伏伏电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；连续连续函数函数跃变跃变响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与RC有关有关; ;表明34时间常数时间常数 的大小反映了电路过渡过程时间的长短的大小反映了电路过渡过程时间的长短 = RC 大大过渡过程时间长过渡过程时间长 小小过渡过程时间短过渡过程时间短电压初值一定：电压初值一定：R 大大（ C一定一定） i=u/R 放电电流小放电电流

20、小放电时间长放电时间长U0tuC0 小 大C 大大（R一定一定） W=Cu2/2 储能大储能大11 RCp物理含义物理含义35a. :电容电压衰减到原来电压电容电压衰减到原来电压36.8%所需的时间。所需的时间。工程上认为工程上认为, , 经过经过 35 , 过渡过程结束。过渡过程结束。U0 0.368U0 0.135U0 0.05U0 0.007U0 t0 2 3 5 C0tuU eU0 U0 e -1 U0 e -2 U0 e -3 U0 e -5 注意36 t2 t1 t1时刻曲线的斜率等于时刻曲线的斜率等于211C1C0C0)()(1dd11tttutueUtuttt)(368. 0)

21、(1C2Ctutu次切距的长度次切距的长度U0tuC0t1t2RCteUu 0Cb. 时间常数时间常数 的几何意义：的几何意义：37能量关系能量关系2R0dWi R t电容不断释放能量被电阻吸收电容不断释放能量被电阻吸收, , 直到全部消耗完毕直到全部消耗完毕. .设设 uC(0+)=U0电容放出能量：电容放出能量： 2021CU电阻吸收（消耗）能量：电阻吸收（消耗）能量：tReRURCtd)(2 002021CUteRURCtd2 02002 20| )2(RCteRCRUuCR+Ci38例例1 图示电路中的电容原充有图示电路中的电容原充有 24V 电压，求电压，求S闭合后，闭合后，电容电压

22、和各支路电流随时间变化的规律。电容电压和各支路电流随时间变化的规律。解解这是一个求一阶这是一个求一阶RC 零输入响应问题，有：零输入响应问题，有：t 0等效电路等效电路0 0CteUuRCts 2045 V 240RCU+uC45Fi1i3S3+uC265Fi2i139 20C24V 0tuet分流得：分流得： 201C46Atiue 202112A3tiie 203124A3tiie+uC45Fi1i3S3+uC265Fi2i1402.2.RL电路的零输入响应电路的零输入响应特征方程特征方程 Lp+R=0LRp特征根特征根 代入初始值代入初始值A= iL(0+)= I0SLL01(0 )(0

23、 )UiiIRR00ddLLtRitiLptAeti)(L0)(00LteIeItitLRptt 0L+uLRiiLS(t=0)USL+uLRR1+-41 L/L0( )tL RiutLRI et dd /L0( )0tL Ri tI ettI0iL0连续连续函数函数跃变跃变电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；表明-RI0uLt0L+uLRi42响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与L/R有关有关; ;秒欧安秒伏欧安韦欧亨 RL 令令 称为一阶称为一阶RL电路时间常数电路时间常数 = L/R时间常数时间常

24、数 的大小反映了电路过渡过程时间的长短的大小反映了电路过渡过程时间的长短L大大 W=LiL2/2 起始能量大起始能量大R小小 P=Ri2 放电过程消耗能量小放电过程消耗能量小放电慢，放电慢， 大大 大大过渡过程时间长过渡过程时间长 小小过渡过程时间短过渡过程时间短物理含义物理含义电流初值电流初值iL(0)一定：一定：43能量关系能量关系2R0Wi R td电感不断释放能量被电阻吸收电感不断释放能量被电阻吸收, , 直到全部消耗完毕。直到全部消耗完毕。设设 iL(0+)=I0电感放出能量：电感放出能量： 2021LI电阻吸收（消耗）能量：电阻吸收（消耗）能量：tReIRLt d2/00)( 20

25、21LI teRIRLt d/2020 0220| )2/(RCt eRLRIL+uLRi44iL (0+) = iL(0) = 1 AuV (0+)= 10000V 造成造成V损坏。损坏。例例1 t = 0时时, ,打开开关打开开关S，求求uV /L 0tiet 。电压表量程：。电压表量程：50V4V44 1010000sLRR 2500VV L100000tuR iet 解解iLS(t=0)+uVL=4HR=10VRV10k10ViLLR10V+- -45例例2 t = 0时时, ,开关开关S由由12，求求电感电压和电流电感电压和电流及开关两端电压及开关两端电压u12。s 166RL解解L

26、L246(0 )(0 )2A423/636ii66/)42(3 Rt 0iLS(t=0)+24V6H3446+uL212i+uL66H46 LLL2A 12V 0ttiieuLett ddL12244244V2tiuet 0iLS(t=0)+24V6H3446+uL212i+uL66H47一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响应起的响应, , 都是由初始值衰减为零的指数衰减都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。函数。teyty )0()(iL(0+)= iL(0)uC (0+) = uC (0)RC电路电路RL电路电路小结48一阶电路的零输入响应和

27、初始值成正比，一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性。称为零输入线性。衰减快慢取决于时间常数衰减快慢取决于时间常数 同一电路中所有响应具有相同的时间常数。同一电路中所有响应具有相同的时间常数。小结 = R C = L/RR为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻。为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻。RC电路电路RL电路电路49动态元件初始能量为零，由动态元件初始能量为零，由t 0电电路中外加激励作用所产生的响应。路中外加激励作用所产生的响应。SCCddUutuRC方程：方程：7.3 一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应 解答形式为：解答形式为：CCCuuu 1.1.RC电路的

28、零状态响应电路的零状态响应零状态响应零状态响应非齐次方程特解非齐次方程特解齐次齐次方程方程通解通解非齐次线性常微分方程非齐次线性常微分方程(Zero state response)uC (0)=0S(t=0)US+uRC+uCR+i50与输入激励的变化规律有关，为电路的稳态解与输入激励的变化规律有关，为电路的稳态解RCtAeu C变化规律由电路参数和结构决定变化规律由电路参数和结构决定的通解的通解0ddCCutuRCSCUu 通解（自由分量，暂态分量）通解（自由分量，暂态分量）Cu 特解（强制分量）特解（强制分量）Cu SCCddUutuRC的特解的特解51全解全解uC (0+)=A+US=

29、0 A= US由初始条件由初始条件 uC (0+)=0 定积分常数定积分常数 ACCCS( )tRCutuuUAe) 0( )1 ( S SSCteUeUUuRCtRCt从以上式子可以得出：从以上式子可以得出：RCteRUtuCiSCdd52tiRUS0电压、电流是随时间按同一指数规律变化的函电压、电流是随时间按同一指数规律变化的函数；电容电压由两部分构成：数；电容电压由两部分构成：跃变跃变稳态分量（强制分量）稳态分量（强制分量）暂态分量（自由分量）暂态分量（自由分量）表明uCUS连续连续函数函数-USuC”uCt0+53响应变化的快慢，由时间常数响应变化的快慢，由时间常数 RC决定；决定；

30、大，大，充电慢，充电慢， 小充电就快。小充电就快。响应与外加激励成线性关系；响应与外加激励成线性关系；能量关系能量关系2S21CU电容储存能量：电容储存能量：电源提供能量：电源提供能量：2SS0SdCUqUtiU2S21CU电阻消耗能量：电阻消耗能量：tRRUtRiRCted)(d20S02 电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成电场能量储存在电容中。转换成电场能量储存在电容中。表明RC+-US54例例 t = 0 时时, ,开关开关S闭合，已知闭合，已知 uC(0)=0，求求(1)电电容电压和电流容电压和电流, ,(2) uC80V时的充电时间时的充电

31、时间t 。解解 (1)(1)这是一个这是一个RC电路零电路零状态响应问题，有：状态响应问题，有：)0( V)1 (100 )1 (200 SCt-eeUut-RCts1051050035RCA2 . 0d200SCtRCteeRUtuCid(2)(2)设经过设经过t1秒秒，uC80V1200180100(1)8 045ms-t-et. 50010F+-100VS+uCi552.2.RL电路的零状态响应电路的零状态响应SLLUiRtiLddSL(1)RtLUieR已知已知iL(0)=0，电路方程为：，电路方程为：LLLiii tiLRUS0SL(0 )0UiAR SRtLUAeRiLS(t=0)

32、US+uRL+uLR+56SL(1)RtLUieRtLReUtiLuSLLdduLUSt0iLS(t=0)US+uRL+uLR+57例例2 t=0 时时, ,开关开关S打开，求打开，求t 0后后iL、uL的变化规律。的变化规律。解解这是这是RL电路零状态响应问题，先化简电路，有：电路零状态响应问题，先化简电路，有：200300/20080eqRs01. 0200/2/eqRLt 0A10)(LiA)1 (10)(100LtetiV200010)(100100eqLtteeRtu10AiLS+uL2HR80200300iL+uL2H10AReq58例例3 t =0开关开关S S打开，求打开，求t

33、 0后后iL、uL及电流源的电压。及电流源的电压。解解 这是这是RL电路零状态响应问题，先化简电路，有：电路零状态响应问题，先化简电路，有：eq101020RV201020Us1 . 020/2/eqRLt 0L0eq()/1AiUR 10L( )(1)Atite1010L0( )20VttutU ee10SLL510(2010)VtuIiueiL+uL2HUoReq+uL2A105iLS+2H10597.4 一阶电路的全响应一阶电路的全响应电路的初始状态不为零，同时又有外电路的初始状态不为零，同时又有外加激励源作用时电路中产生的响应。加激励源作用时电路中产生的响应。CCSdduRCuUt以以

34、RC电路为例，电路微分方程：电路为例，电路微分方程：1.1.全响应全响应全响应全响应解答为：解答为： uC(t) = uC + uC特解特解 uC = US 通解通解CtuAe (complete response)S(t=0)US+uRC+uCR = RC+i60uC (0)=U0uC (0+)=A+US=U0 A=U0 - US由初始值定由初始值定ACSS0S()0ttuUAeUUU et强制分量强制分量( (稳态解稳态解) )自由分量自由分量( (暂态解暂态解) )612.2.全响应的两种分解方式全响应的两种分解方式uC-USU0暂态解暂态解uCUS稳态解稳态解U0uC全解全解tuC0全

35、响应全响应 = 强制分量强制分量( (稳态解稳态解) )+ +自由分量自由分量( (暂态解暂态解) )着眼于电路的两种工作状态着眼于电路的两种工作状态物理概念清晰物理概念清晰62全响应全响应 = = 零状态响应零状态响应 + + 零输入响应零输入响应CS0(1)(0)ttuUeU et着眼于因果关系着眼于因果关系便于叠加计算便于叠加计算零输入响应零输入响应零状态响应零状态响应S(t=0)USC+RuC (0)=U0S(t=0)USC+RuC (0)=0S(t=0)CRuC (0)=U0+63CS0(1)(0)ttuUeU et零状态响应零状态响应零输入响应零输入响应tuC0US零状态响应零状态

36、响应全响应全响应零输入响应零输入响应U064例例1 t=0 时时 , ,开关开关S S打开，求打开，求t 0后的后的iL、uL。解解 这是这是RL电路全响应问题，电路全响应问题，有：有：s20/112/6 . 0/RLLL(0 )(0 )24/ 46Aii20L( )6Atite零输入响应：零输入响应：20L24( )(1)A12tite零状态响应：零状态响应：202020L( )62(1)24Attti teee全响应：全响应：iLS(t=0)+24V4+uL80.6 H65或求出稳态分量：或求出稳态分量：L()24/122Ai 全响应：全响应：20L( )2AtitAe代入初值有：代入初值

37、有：62AA=4例例2 t = 0时时 , ,开关开关S S闭合闭合，求求t 0后的后的iC、uC及电及电流源两端的电压。流源两端的电压。解解这是这是RC电路全响应问题，有：电路全响应问题，有：C(0 )1V,1F)uC稳态分量：稳态分量：C()10111Vu +10V1A1+uC1+u1660.5C( )11 10Vtute0.5CC( )5Atuitetdd0.5CC( )1 1 1125Vtu tiue s21) 11 ( RC全响应：全响应：0.5C( )11VtutAe+10V1A1+uC1+u1673.3.三要素法分析一阶电路三要素法分析一阶电路一阶电路的数学模型是一阶线性微分方程

38、：一阶电路的数学模型是一阶线性微分方程：teAtftf )()(令令 t = 0+Atff 0)()0( 0)()0(tffAcbftfadd其解答一般形式为：其解答一般形式为：特解特解68tefftftf )0()0()()( 时间常数时间常数初始值初始值稳态解稳态解三要素三要素 f f )0()( 分析一阶电路问题转为求解电路的三个要分析一阶电路问题转为求解电路的三个要素的问题。素的问题。用用0+等效电路求解等效电路求解用用t的稳态的稳态电路求解电路求解直流激励时：直流激励时：)()0()(fftfteffftf )()0()()(A注意69CC(0 )(0 )2VuuC( )(2/1)

39、10.667Vu s2332eqCR0.50.5C0.667(20.667)0.667 1.33 0ttueet例例1 已知：已知：t=0 时闭合开关，求换路后的时闭合开关，求换路后的uC(t)解解tuC2(V)0.6670CCCC( )( )(0 )( )tutuuue 1A213F+-uC70例例2 t=0 时时, ,开关闭合，求开关闭合，求t 0后的后的 iL、i1、i2解解三要素为：三要素为：/0.5/(5/5)1/5sL RLL(0 )(0 )10/52AiiL( )10/520/56Ai LLLL( )() (0 )()titiiie 三要素公式三要素公式55L( )6(26)64

40、 0ttiteet55LL( )0.5( 4)( 5)10VttiutLeet dd51L( )(10)/522Ati tue52L( )(20)/542Ati tueiL+20V0.5H55+10Vi2i171三要素为：三要素为：/0.5/(5/5)1/5sL RLL(0 )(0 )10/52AiiL( )10/5 20/56Ai 55L( )6 (2 6)6 4 0tti teet A22)20(2)(551tteetiA24)42(4)(552tteetiA0110)2010()0(1iA2110)1020()0(2iA25/10)(1iA45/20)(2i0等效电路等效电路2A+20V

41、55+10Vi2i172例例3 已知：已知：t=0时开关由时开关由12，求换路后的求换路后的uC(t)解解三要素为：三要素为：C111()42612Vuiii CC(0 )(0 )8Vuu 1eq110/10uiRu i4+u4i12i1+2A410.1F+uC+4i12i18V+1273CCCC( )()(0 )()tutuuue V201212812)(Ctteetus11 . 010eqCR例例4 已知：已知：t=0时开关闭合，求换路后的电流时开关闭合，求换路后的电流i(t) 。解解三要素为：三要素为：CC(0 )(0 )10VuuC()0u s5 . 025. 02eq1CR+-uC+

42、1H0.25F52S10ViiL742CCCC( )( )(0 )( )10Vttutuuuee LL(0 )(0 )0iiL()10/52Ai 2eq/1/50.2sL R5LLLL( )( ) (0 )( )2(1)Attitiiiee 52CL( )( )( )(2(1)5)A2ttuti ti tee+-uC+1H0.25F52S10ViiL757.5 二阶电路的零输入响应二阶电路的零输入响应uC(0+)=U0 i(0+)=02CCC20uuLCRCuttdddd已知：已知：1.1.二阶电路的零输入响应二阶电路的零输入响应以电容电压为变量：以电容电压为变量：电路方程：电路方程：LC0R

43、iuuCL uiiCuLtt dddd以电感电流为变量：以电感电流为变量：220iiLCRCittddddRLC+-iuC76210LCpRCp 特征方程：特征方程：电路方程：电路方程：2CCC20uuLCRCuttdddd以电容电压为变量时的以电容电压为变量时的初始条件：初始条件：uC(0+)=U0i(0+)=0C00 tutdd以电感电流为变量时的以电感电流为变量时的初始条件：初始条件：i(0+)=0uC(0+)=U0CL00(0 )(0 ) tiuuLUtddLUtit 00dd772.2.零输入响应的三种情况零输入响应的三种情况二二个个不不等等负负实实根根 2CLR 二二个个相相等等负

44、负实实根根 2CLR 二二个个共共轭轭复复根根 2CLR 24 /2RRL CpL过阻尼过阻尼临界阻尼临界阻尼欠阻尼欠阻尼LCLRLR1)2(22特征根：特征根：78 2 ) 1 ( CLR 12C12 p tp tuAeAeC0120(0 )uUAAUC1122(0 )0up Ap Atdd2102112021pAUpppAUpp120C2121()ppttUup ep epp79120C2121()p tp tUup ep eppU0tuC12021p tp Uepp21021p tpUepp设设 | p2| p1|0电容电压电容电压8012C0C21()()p tp tuUiCeetL

45、pp ddt=0+ iC=0 , t= iC=0iC0 t = tm 时时 iC 最大最大tmiC120C2121()p tp tUup ep epptU0uC0电容和电感电流电容和电感电流81U0uCtm2tmuLiC120L1221()()p tp tUiuLp ep etppdd120C2121()p tp tUup ep epp0 t 0，t tm i 减小减小, uL 0t=2 tm时时 uL 最大最大L0L0, , , 0tuUtu t0电感电压电感电压RLC+-iuC82iC 为极值时，即为极值时，即 uL=0 时的时的 tm 计算如下计算如下:1212()0p tp tp ep

46、 e21m12 pnptpp由由 duL/dt 可确定可确定 uL 为极小时的为极小时的 t .122212()0p tp tp ep em2tt120L1221()()p tp tUiuLp ep etppdd21122ppppnt1221mmp tp tpepe83能量转换关系能量转换关系0 t tm uC减小减小 ，i 减小减小.tU0uCtm2tmuLiC0RLC+-iuCRLC+-iuC84 2 )2( CLR 21,21()22RRpLLLC j p (谐振角频率)(谐振角频率) (衰减系数),(衰减系数),令令 1 20LCLR： 220(固有振荡角频率)(固有振荡角频率)uC

47、的解答形式：的解答形式：12jjC1212 () p tp ttttuAeA eeAeA e经常写为：经常写为： Csin()tuAet共轭复根共轭复根85C00C(0 )sind(0 )0()sincos0duUAUuAAt0arctgsinUA，0 Csin()tuAet0sin00UA，的的关系关系 0C0 sin() tuU et由初始条件由初始条件86 0C0sin()tuU etuC =0：t = -，2- . n- t=0 时时 uC=U0t-2-20U0uC00tUe00tUe00U uC是振幅以是振幅以 为包线依指数衰减的正弦函数。为包线依指数衰减的正弦函数。87t-2-20

48、U0uC iC C0CsintuUiCettL dd 0L0sin()tiuLU ett dduL=0：t = ，+，2+ . n+iC=0：t =0，2 . n ，为为 uC 极值点，极值点，uL的零点为的零点为iC 极值点极值点 。88能量转换关系：能量转换关系：0 t t - t 0+电路的微分方程电路的微分方程(b)求通解求通解(c)求特解求特解(d)全响应全响应= =强制分量强制分量+ +自由分量自由分量定定常常数数由由初初值值)0()0( )(dtdffe1067.7 一阶电路和二阶电路的阶跃响应一阶电路和二阶电路的阶跃响应1.1.单位阶跃函数单位阶跃函数( unit step f

49、unction )l 定义定义 )0(1)0(0)(t t tt (t)01l 单位阶跃函数的延迟单位阶跃函数的延迟( delayed ) )(1)(0)(000tt tt ttt (t-t0)t001107模拟开关的动作模拟开关的动作t = 0 合闸合闸 u(t) = US( ) tl 单位阶跃函数的作用单位阶跃函数的作用t = 0 合闸合闸 i(t) = IS( ) tS( )It)(ti)(StUu(t)SUSu(t)IS)(tiS108起始一个函数起始一个函数延迟一个函数延迟一个函数11sin() ()tttt的波形？的波形？1sin()ttt0f(t)1tt0f(t)sintsin(

50、 )tt0sin()ttt1sin() ( )tttt0109例例 1)()()(0ttttf (t)tf(t)101t0tf(t)0t0- (t-t0)( )2 (1)(3) (3)(4)2 (1)(3)(4)f tttttttt 例例 2( )?f t 1t1 f(t)0243表示复杂的信号表示复杂的信号110 C( )(1) ( )tRCutet)( 1)( teRtiRCt)( teiRCt和和 0tRCiet有什么区别？有什么区别？2.2.一阶电路的阶跃响应一阶电路的阶跃响应零状态电路对阶跃信号的响应。零状态电路对阶跃信号的响应。阶跃响应阶跃响应注意( step response )

51、RC电路的单位阶跃响应电路的单位阶跃响应 iuC (0)=0C +uCR( ) t+111)( teiRCt0 teiRCtt01it01ituC101 C( )() ( )tRCutet001 C( )() ()t tRCuttte0t响应的时不变性响应的时不变性t = t0 加入激励加入激励t = t0 出现响应出现响应112S20 ( )20 (1)utt例例1等效等效求图示电路中电压求图示电路中电压 C( )ut120t(s)uS(V)020k20kuS+-iCuC(0)=0+-uC100F10k0.5uS+-iCuC(0)=0+-uC100F113S0.510 ( ) 10 (1)u

52、tt应用叠加定理应用叠加定理3610 10100 101sRC C( )(1) ( )VtutetRC电路的单位阶跃响应电路的单位阶跃响应 ？10 (1)t10k+-iC+-uC100F10 ( ) t10k+-iC+-uC100F( ) t10k+-iC+-uC100F114由响应的时不变性、齐次性和叠加性得实际响应为：由响应的时不变性、齐次性和叠加性得实际响应为：(1)C10(1) ( )(1) (1)Vttuetet响应的波形响应的波形 ？01 ( )1 (1)0ttt C10(1)Vtue10 (1)t10k+-iC+-uC100F10 ( ) t10k+-iC+-uC100F1151

53、s ( )1 (1)1ttt(1)(1)1C(1)10()10(1)6.32Vttttueeeee分段表示为：分段表示为： C(1)10(1) V (01s)( )6.32 V (1s)ttetutet t(s)uC(V)10016.321163.3.二阶电路的阶跃响应二阶电路的阶跃响应RCLC0.5( )iiiitRCL0.5( )iiit应用应用KCL列方程列方程解解电路如图所示电路如图所示, ,uC(0-)=0, ,iL(0-)=0, 求单位阶跃响应求单位阶跃响应L( )i t0.25H0.22FA)(tiRiLiC0.5iC117RCL0.5( )iiitLLd,diuLt2CLC2d

54、ddduiiCLCtt代入已知参数并整理得：代入已知参数并整理得：2LLL2dd0.5( )ddiiLLCittRtRLRd,duiLiRRt2LLL2dd544 ( )ddiiitttKCLVCR0.25H0.22FA)(tiRiLiC0.5iC118LLLiii 12L12eep tp tiAA0452pp11p42p特解特解特征方程特征方程通解通解解得特征根解得特征根L1i 这是一个关于这是一个关于 iL 的二阶线性非齐次方程，其解为的二阶线性非齐次方程，其解为2LLL2dd544 ( )ddiiittt1194L121eettiAA LL(0 )(0 )0iiCC(0 )(0 )0uu04012121AAAA 4LA41( )( )1ee33tti ts tt代入代入初始条件初始条件阶跃响应阶跃响应电路的动态过程是过阻尼性质的。电路的动态过程是过阻尼性质的。341A312A1207.8* 一阶电路和二阶电路的冲激响应一阶电路和二阶电路的冲激响应1.1.单位冲激函数单位冲激函数（unit impulse function）l 定义定义)0( 0)(tt1d)(ttt(t)10单位脉冲函单位脉冲函数的极限数的极限 / 21/ tp(t)- / 21 0)()(lim0ttp)2()2(1)(tttp ( (t t) )用用集中集中(