非周期信号的频谱分析第三节连续时间Fourier变换的性质

1、12 3，；若)j ()( )j ()(2211FtfFtfFF)j ()j ()()(2121bFaFtbftafF则其中其中a和和b均为常数。均为常数。p157例例4)j ()(FtfF若)j(*)(*FtfF则当当f(t)为实函数时，有为实函数时，有|F(j )| = |F( j )| ， ( ( ) = ) = ( ( ) ) )j (*)(*FtfF)(je)j ()j (FF=)j (j)j (IRFF=)j()j(),j()j (IIRR=FFFFF(j ) )为复数，可以表示为为复数，可以表示为5)j ()(FtfF若)j(*)(*FtfF则当当f(t)为实偶函数时，根据上式有

2、为实偶函数时，根据上式有F(j ) = F*(j ) ， F(j )是是 的的实偶实偶函数函数 )j (*)(*FtfF当当f(t)为实奇函数时，有为实奇函数时，有F(j ) = F*(j ) ， F(j )是是 的的虚奇虚奇函数函数 因为FR(jw)为偶函数6)j ()(FtfF若0j0e)j ()(tFFttf则式中式中t0为任意实数为任意实数tttfttfFtde )()(j00=令令x = t t0，则，则dx = dt，代入上式可得，代入上式可得xxfttfFxtde )()()(j00=0je)j (tF=7试求图示延时矩形脉冲信号试求图示延时矩形脉冲信号f1(t)的频的频谱函数谱

3、函数F1(j )。0A2t2)(tf0At)(1tfT 无延时且宽度为无延时且宽度为 的的f(t) 如图，如图，)2(Sa)j (= AFTFFj1e )j ()j (=)()(1Ttftf=TAje )2(Sa=因为因为故，由故，由可得可得其对应的频谱函数为其对应的频谱函数为8)j ()(FtfF若)j (1)(aFaatfF则tatfatfFtde )()(j=)j (1de )(1)(jaFaxxfaatfFxa=令令 x = at，则，则 dx = adt ，代入上式可得，代入上式可得90A2)2(2F0A)(F22)2( tftA44)(21tft0)(tft220A21)21(21

4、F44)j ()(FtfF若)j (1)(aFaatfF则10后语音信号的变化后语音信号的变化 f (t) f (1.5t) f (0.5t)00.050.4-0.5-0.4-0.3-0.2-一段语音信号一段语音信号(“对了对了”) 。抽样频率。抽样频率 = 22050Hzf(t)f(t/2)f(2t)11)(tf220At)(f220A)j ()(FtfF若)(2)j (ftFF则A2424F(j)At2424F(jt)/212若若 则则 )j ()(FtfF)( j e)(0j0FtfFtttftfFtttde

5、e )(e)(jjj00=式中式中 0为任意实数为任意实数由由定义有定义有ttftde)()j(0=)( j 0= F13cos)(0ttfF e )(21e )(2100jjtttfFtfF= sin)(0ttfF)( j 21)( j 2100=FF)( j 2j)( j 2j00=FF同理同理 e )(j21e )(j2100jjtttfFtfF=14试求矩形脉冲信号试求矩形脉冲信号f(t)与余弦信号与余弦信号cos 0 t相相乘后信号的乘后信号的。 )2(Sa)j (= AFcos)(0ttfF)( j 21)( j 2100=FF应用应用可得可得 已知宽度为已知宽度为 的矩形脉冲信号

6、对应的的矩形脉冲信号对应的为为2(Sa2(Sa2)0)0=A15试求矩形脉冲信号试求矩形脉冲信号f(t)与余弦信号与余弦信号cos 0 t相相乘后信号的乘后信号的。 0)j (FA000)cos()(0ttfFA/20A2/t2/)(tf2/At2/ttf0cos)(16)j ()( )j ()(2211FtfFtfFF若)j ()j ()()(2121FFtftfF则=ttfftftfFtde d)()()()(j2121=d de )()(j21ttfft)j ()j (21FF=de )j ()(j21Ff17求如图所示信号的求如图所示信号的。)(*)()(22tptptf=)(Sa4)

7、j (2=F)(2Sa)(2tp)j ()j ()()(2121FFtftfF由f(t)t222018)j ()( )j ()(2211FtfFtfFF若)j ()j (21)()(2121FFtftfF则ttftftftfFtde)()()()(j2121=tFtfttdde )j (21e )(j1j2=de )(d)j (21)j(21ttfFt=d)( j )j (2121FF)j ()j (2121FF=19若信号不存在直流分量即若信号不存在直流分量即F F(0)=0(0)=0)j ()(FtfF若)()0()j (j1d)(FFfFt则)j (j1d)(FfFt则)j ()j (d

8、)(dFttfnFnn20试利用试利用求图示信号求图示信号f(t)的的频谱函数频谱函数。 tf(t)110t110y(t)=p(t0.5)ttyttptftt)d(d)5 . 0()(=利用时域利用时域)()0()j (j1)j (YYF=5 . 0 je )5 . 0(Sa)j ()5 . 0(=YtpF)(e )5 . 0(Saj15 . 0 j=由于由于21试利用试利用求图示信号求图示信号f(t)的的频谱函数频谱函数。 tf(t)1210tf1(t)110tf2(t)110f(t)表示为表示为f1(t)+ f2(t)即即ttptftd)5 . 0(1)(=)(3e )5 . 0(Saj1

9、)j (5 . 0 j=F22试利用试利用求矩形脉冲信号的求矩形脉冲信号的频谱函频谱函数数。 )2()2()( =tAtAtf2j2jee)( =AAtfF)j ()j ()( FtfF=)2(Sa)2sin(2)j (AAF=由上式利用由上式利用，得，得)2sin(j2= A因此有因此有)2sin(j2= A0(A)2/t2/)( tf(A)(tf220At23试利用试利用求图示信号求图示信号f(t)的的频谱函数频谱函数。 tf(t)1210t110f (t)5 . 0()( =tptfj0.5Sa(0.5 )eF 5 . 0 je )5 . 0(Saj1)j (=F利用利用)(3e )5

10、. 0(Saj15 . 0 j信号的信号的24)j ()(FtfF若1( )(j )Ff tF 则 j)j ()()()()j (1FffF=nnnnjjFjFtfjFtfff)()()()()()(, 0)()(=则且若25试利用试利用求图示信号求图示信号f(t)的的频谱函数频谱函数。 tf(t)1210t110f (t)()5 . 0()( 1tftptf=5 . 0 j1e )5 . 0(Saj1)j (FF利用利用5 . 0 je )5 . 0(Saj1)(3=j)j ()()()()j (1FffF=与例与例4结果结果一致！一致！26( )()f tF j若( )()( )()nnj

11、tf tFj则1(0) ( )( )()ftf tF jx dxjt1(0)()2fF jd=27试求试求的的。)()()(jFtfjtj1)()(=tuF 已知已知为为:故利用故利用可得可得:21( )j =djdFjttuttf)()()(=28 上式表明信号的能量也可以由上式表明信号的能量也可以由| |F(j )|2在整在整个频率范围的积分乘以个频率范围的积分乘以1/2 来计算。来计算。：非周期能量信号的归一化能量：非周期能量信号的归一化能量 在时域中与在频域中相等，保持能量守恒。在时域中与在频域中相等，保持能量守恒。221|( )| d|(j )| d2Wf ttF=29221|( )| d|(j )| d2Wf ttF=2| )j (|21)(FG= 定义单位角频率的信号能量为定义单位角频率的信号能量为，简称，简称。( )G30计算计算 。tttd)sin(2由由)(sin2pttF=根据根据，可得，可得tttd)sin(2=d| )(|2122pd21112=31)(2)j (ftFF)j (1)(aFaatfF0j0e)j ()(tFFttf)( j e)(0j0FtfFt)j ()j ()()(2121FFtftfF)j ()j (21)()(2121FFtftfF)j ()j (d)