冲刺2021届高考数学二轮提升专题09基本不等式的应用(解析版)

1、专题09基本不等式的应用真题体驱41、【2019年高考江苏】在平面直角坐标系X0V中，尸是曲线y = x + （x>0）上的一个动点，则点尸到直 x线x+y=0的距离的最小值是.【答案】4.【解析】设 1 ,则P（x。，一）dX（|1X0 + X0 + - Xu 五-c12Xo + Xo>42、【2019年高考天津卷文数】设x>0, y>0, x + 2y = 4,则(x + l)(2y + l)的最小值为.9【答案】一2(x + l)(2y + l) 2at + 2v + x + 1 2 a)'+ 5 - 5xyxyxy xy因为 x > 0, y &g

2、t; 0,x + 2y = 4,所以x+2y = 42 2jx2y ,即V2xv W 2,0 v个W2，当且仅-'i x = 2y = 2时取等号成立.c 5 c u 19又因为 2 + 22 + 5、7 = 7，xy 2 2所以 C.v + 1）的最小值为工 xy23、【2019年高考浙江卷】若4>0/>0,则“。+人<4”是“而<4''的（）A,充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】时，必当IL仅当时取等号，则当时，有2yfab<a + b<4,解得出?4,充分性成立;当 =1,

3、=4时，满足但此时a+b=5>4,必要性不成立，综上所述，Z+b<4”是"而4” 的充分不必要条件.4、【2018年高考天津卷文数】（2018天津文科）已知明eR,且一3分+6 = 0,则2" + "的最小值 为.【答案】；4【解析】由。一35+ 6 = 0可知。-36 = -6,且2。+喜=2。+ 23,因为对于任意x.2x > 0恒成立,结合基本不等式的结论可得：2。+ 2-3>> 2X J2a X 2毋=2 X后%=4当且仅当20 = 2-3"即 q = 3时等号成立.（q- 3b = 63 = -1综上可得2。+白的

4、最小值为之 84【名师点睛】利用基本不等式求最值时，要灵活运用以下两个公式：“/e R,/ +b2> 2ab，当且仅当。=/?时取等号；凡beR+，22j茄，当旦仅= b时取等号.解题时要注意公式的适用条件、等号成立的条 件，同时求最值时注意“1的妙用5、【2018年高考江苏卷】在ABC中，角A8.C所对的边分别为。也c, ZABC = 120°, NA3C的平分线 交AC于点D,且80 = 1,则4/+。的最小值为.【答案】9【解析】由题意可知，S3ABe =+ Sabcd，由角平分线性质和三角形而积公式得：acsinl20。=X 1 X sin60° + X 1

5、X sin60°» 化简得ac = q + c,-+ - = 1.2Za c因此4a + c = （4q +，）（： + ：） = 5 + + > 5 + 2=9,W且仅当c = 2a = 3时取等号，则4q + c的最小值为9.6、【2017年高考江苏卷】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买工吨，运费为6万元/次，一年的总 存储费用为4X万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则X的值是.【答案】30【解析】总费用为44+迎x6 = 4（x + &）24x2，丽= 240, ''lIL-'U =,即x = 30时等XXX号成立

6、.难点突破一、三个不等式关系：（l）a, b£R, az+b22abf当且仅当a=b时取等号.（2）a, b£R'，a + b>2M，当且仅当a=b时取等号.（3）O, b£R,二产W（宁产，当且仅当时取等号.上述三个不等关系揭示了 </ + ，ab , a + b三者间的不等关系.其中，基本不等式及其变形：a，, a + b22M（或abW（中产），当且仅当。=匕时取等号，所以 当和为定值时，可求积的最值：当积为定值是，可求和的最值.二、.算术平均数与几何平均数设a>0, 8>0,则a, 6的算术平均数为寺，几何平均数为4/，基本

7、不等式可叙述为两个正数的算术平 均数不小于它们的几何平均数.三、.利用基本不等式求最值问题已知x>0, y>0,则（1）如果积灯是定值P，那么当且仅当x=y时，x+y有最小值是2版.（简记：积定和最小）R（2）如果和x+y是定值p那么当且仅当x=y时，灯有最大值是东（简记：和定积最大）a四、对于/（x）=x+:，当时，/（x）在（一8, 0）, （0, +8）为增函数；当。>0时，段）在（一8,击），（g, +8）为增函数：在（一g, 0）, （0, g）为减函数.注意 在解答题中利用函数/（x）=x+?的单调性时，需要利用导数进行证明.五、利用基本不等式解决条件最值的关键是

8、构造和为定值或积为定值，主要有两种思路：（1）对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解.常用的方法有：拆项法、变系数法、凑因子 法、换元法、整体代换法等.条件变形，进行"1”的代换求目标函数最值.在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要 求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.六、对于多元问题的不等式的基本解题思路就是把多元问题转化为单元问题,题型突破题型一运用消参法解决基本不等式中的最值问题消参法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，

9、再利用基本不等式进行求解.解题 过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！例1、（2019常州期末）己知正数x, y满足x+=l,则的最小值为.【答案】4【解析】思路分析多元条件等式下的最值问题通常可以考虑消元之后利用基本不等式或函数知识求解.解法 1（直接消元）由 x+：=l 得 y=x-x?,故9+3=：+-77一"一2： 7 -=4,x 'x y x x-x- x 1-x x （1-x） x+11J V当且仅当x=l x,即x=5时取“=”,故/最小值为4.解法2（直接消元）由x+?=l得好1 -x,故;+，一.以下同解法1.x xx y x 1 x解法3（

10、消元，分离常数凑定值）同解法1.2得9+3=：+三一彳=2+二±+产X J X 1 X X1 XX IX当且仅当=7 即x=；时取“=".故:+油最小值为4. x ix乙x y例2、（2017苏北四市期末）若实数x, y满足可，+3x=3（0xV；）,则;+白的最小值为.W【答案】.8【解析】解法1因为实数x, y满足斗七足收犷尚，所以尸|一3。3）,所以*£=+3+告=厂3+告+62270，-3）号+6=8,当且仅”一3=昌，即尸4时取等号，此时所以:+力的最小值为8.解法2因为实数x, y满足个+3x=31）Vx。所以尸；-3。，3）,），-3=|-60.所以

11、;+/=；+#-V6+甘一+622八/（沁）；+6=8,当且仅当。-6=廿一，即时x y 3 X 2一 12' / '人 7 2一（X' 取等号，此时丁=4,所以:+二方的最小值为8.题型二、运用1的代换解决基本不等式中的最值问题1的代换就是指凑出1,使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过程 中要特别注意等价变形。例3、（2019扬州期末）己知正实数x, y满足x+4y-xy=0,若x+y2m恒成立，则实数in的取值范围为【答案】（-8, 9【解析】mWx+y恒成立，m（x+y）wn.解法（"1"的代换）因为x, y是正实

12、数，由x+4y-xy=0,得%"=1，x+y=（x+y）g+0=?+） 522寸1+5 = 9,当且仅当x=6, y=3时，等号成立，即x+y的最小值是9,故mW9.例4、（2019年苏州学情调研）若正实数x,y满足x + y = l,则£ + £的最小值是 .【答案】8【解析】因为正实数X,），满足x + y = l,所以上+ & =+4（' '）=上+仝+ 4 2 2 鼠虫+4 = 4 + 4 = 8,当且仅当工=汇，HJ y = 2x ,又x+y = l,即x =1,y = 2,等号成立，即&取得最小值8.,33x y例5、（

13、2013徐州、宿迁三检）若。0力0,且+_ = ,则a +劝的最小值为 2a+ b b + 【答案】：芭士1291 21解析：由已知等式得2a + 20 + l = 2“ + 2a + +，从而、二'二/+,2b13.11 0 3 23 + 1273 + 1u + 26 2b = I h 42 F 2J-=, 故有jiz d、L L.2b2 22/7 2 V 422题型三、运用双换元解决基本不等式中的最值问题若题目中含是求两个分式的最值问题，对于这类问题最常用的方法就是双换元，分布运用两个分式的 分母为两个参数，转化为这两个参数的不等关系。41例6、（2017苏州期末）已知正数x, y

14、满足x+y=L则一0+一的最小值为.X Z y 1 19【答案】I【解析】 解法 1 令x+2=a, y+l=b,则 a+b=4（a>2, 6>D，：+*=（。+&）成+5=|（5+3+31 o8421>q5+4）=4，当且仅b=y即x=., y=,时取等号.71例7、（2015苏锡常镇、宿迁一调圮知实数",，满足巧>0,且'+丁<2,则+亡的最小值为 【答案土尹（二冽+3,4 勿”?1 ? 1所以 x+y=-W2,即加+”<4 .设/=-+'=三+1m-fi乙x十 3y x-y 产丁所以4口仔+*1+ ）=3+汾彩3 +

15、2"即过芈，当且仅当毯吟 即广时取等号.解后反思本题所给条件为m y的和的不等式，所求的为与x, y相关的倒数和最值问题，可以先对分母进 行还原处理后，再结合“1”的代换技巧来处理，这里要说明的时候条件“x+K2”改为“x+y=2”答 案不会变化.题型四、基本不等式中多元问题的处理多元最值问题是最典型的代数问题，代数问题要注重结构的观察和变形，变形恰当后，直接可以构造几何 意义也可以使问题明朗化，具体归纳如下：（1）多元最值首选消元：三元问题一二元问题一一元问题.（2） 二元最值考查频率高，解决策略如下：策略一：消元.策略二：不好消元一一用基本不等式及其变形式， 线性规划，三角换元.

16、（3）多元问题不好消元的时候可以减元，常见的减元策略：策略一：齐次式同 除减元.策略二：整体思想一一代入消元或者减元.例8、（2019南京、盐城一模）若正实数a, b, c满足ab=a+2b, abc=a+2b+c,则c的最大值为.0【答案】1【解析】思路分析1 注意到求c的最大值，所以将参数c进行分寓，为此，可以利用abc = a+2b+c进行分离得从而将问题转化为求a+2b的最小值； ab1 a + 2b1a -2b1亦1思路分析2结合abc = a+2b+c与ab = a + 2b化简得abc = ab+c来迸行分离得c=-7=14-：ab1 ab 1进而求ab的最小值.思路分析3由于所

17、求解的（:与a, b有关，而a, b不对称，因此，将2b看作一个整体，则它与a就是对称的.根据对称原理可以猜想得到问题的答案.解法 1 由 abc=a+2b+c 得，c = "j_r=j=1 + -1 p 由 ab=a+2b 得，(+：=1，所以 aab -1 a -2b-1a + 2b-1b a+2b=(a+2b+；)=4+/手24+2=4+4=8, 故 cW±ab1解法 2 因为 abc=a+2b+c, ab=a + 2b,所以 abc=ab+c，故 c=": r= 1H- r> 由 ab=a+2b 利 ab-1ab-1ii o用基本不等式得ab22叵，

18、故ab三8,当且仅当a=4, b = 2时等号成立，故c=l+而、W1+占=7.解法3（对等性猜测）因为已知条件可以改写为/a2b=a+2b, 1 a - 2b c=a+2b+c”，故a与 2b对等，不妨设a=2b,解得a=2b=4, c=*故c的最大值为方例9、（2018南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调）已知a, b, c均为正数，且abc=4（a+b）,则a+b+c的最小值为【答案】.82ypi=8,【解析】由 a, b, c 均为正数，abc=4(a+b),得代入得 a+b+c = a+b+:+(=(a+3+；b+J当且仅当a=b=2时，等号成立，所以a+b+c的最小值为8.题

19、型五基本不等式的综合运用多变量式子的最值的求解的基本处理策略是“减元”或应用基本不等式，其中“减元策略”的常见方 法有：通过消元以达到减少变量的个数，从而利用函数法或方程有解的条件来研究问题：通过“合并 变元”以代换的方式来达到“减元”，一般地，关于多变元的“齐次式”多用此法.而应用基本不等式求 最值时，要紧紧抓住“和”与“积”的关系来进行处理，为了凸现“和”与“积”的关系，可以通过换元 的方法来简化问题的表现形式，从而达到更易处理的目的，例10、（2018扬州期末）已知正实数x, y满足5乂2+4*丫一尸=1,则12*2 + 8乂丫一/的最小值为【答案】解法1(双变量换元)因为x>0,

20、 y>0,且满足5x?+4xy/二晨由此可得(5xy)(x+y)=l,令U -1- v5 VUu=5xy, v=x+y, 则有 u>0, v>0, uv=l, 并且 x=-, 代入 12x2 + 8xyy2ju+v u+v 5vu 5vuk if+gT+ZZuv 27d 93+2211¥ 28uv 28 X1 712* -6-/ + 8，-6-. 6 )12 与 12=VT= 12 =39 当且仅当 u=3v, uv=l, B|J u=a/3» '=当，亦即 x=, 丫=平时，12乂2 + 8乂丫-72取得最 小值(4t+7P+4t+5解法2(常数

21、1的代换)因为x>0, y>0,且满足Sxe+dKyyul,由此可得(5xy)(x+y)=l, 因为 x>0, y>0, x+y>0,所以 5x-yX),即有 代<5,令 t=；,则 0<t<5,所以 12x?+8xy-、12x2 + Sxy-y2 12x2+8xyy217x2+4xy尸 1= S-xyy2 =1 + 5x2+4xy-y2 = 14t+7 ,、令 f(t)=2 (2t-l) (t+4) (-t2+4t+5) 24 (Y+4t+5) (4t+7) (2t+4) (T+4t+5) 2时，i' (t)<0, f(t)单调递

22、减；当twg 5)时，F (t)>0, f(t)单调递增，所以当t=:时，f(t)取极小值，也是最小值寸，12x2此时 x=2y,结合 5x?+4xy一尸=1,解得 x=W, 丫=吟，即当 x=, y=+ 8乂丫一/取得最小值1解法 3(基本不等式)因为 x>0, y>0,设 u>0, v>0,则 ux'+vNZm？xy.lZx' + Sxyy2 212x2 + 8xy-y2 + (2/uvxy-ux2-vy2)，即 12x? + 8xy一2(12u)x2+(8+2-/uv)xy (vH-l)y2.令(12u)x2+(8+2/)xy(v+DytGx

23、:+dxy)=3 则 12u=5t, 8 + 2/i=4t, v+1 714=3 解得 t=< u=g, v=W,例11、(2018南京、盐城一模)若不等式匕加2B+d”An力C>19s加Bs%C对任意"(：都成立，则实数k的最小值为.【答案】100【解析】思路分析本题首先用正弦定理将三角函数转化为边，然后再利用三角形中的边的不等关系, 元后转化为二元问题研究.二元问题的最值问题，可以用基本不等式来处理.解法1（函数的最值）因为ksurB + sh）AsinC>19si）iBsinC»所以由iE弦定理可得kb2 + ac>19bct k>当产因

24、为以BC为任意三角形，所以a>|b-c|,即1?铲睁声生=c-b的最大值为100,所以k2100,即实数k的最小值为100.解法2（基本不等式）因为kn2B+siAnO19s7Bs7”C,所以由正弦定理可得kb2 + ac>19bc<即, 19bc-ac _ 19bc-ac c （a m= “ c . ak一小 又一 = U（19一）因为 cva + b，所以己1+口 （1+;）+（"（）-上=100（要求最大值，19 Y至少大于0）.当且仅当1+/19弋，即尹9时取等号.专题测试7 a1、（2018苏锡常镇调研）己知a>0,b>0,且尹（=，而 则ab

25、的最小值是【答案】2怖【解析】思路分析利用基本不等式，化和的形式为积的形式.o 2 F） 5o 4因为相三+627；本 所以ab22佝 当且仅当;时，取等号. 1 O2、（2017苏北四市一模）己知正数，b满足/+石=病一5,则打的最小值为.【答案】.36【解析】 思路分析注意到条件中有a, b的和形式.又有。，6的乘积形式，而所求的结论与积有关, 因此，应用基本不等式将“和”转化为“积”，通过解不等式来求得b的取值范围，从而求得它的最小值.因为正数。，b满足;石一5,所以， 一 522、y.当且仅“彳9a=6时等号成立，即ab5* 一6>0,解得眄26或相W-1（舍去），因此M236.

26、从而（如皿=36.143、（2019镇江期末）已知x>0, y>0, x+y=1+g,则x+y的最小值为【答案】3【解析】思路分析本题既可用权方和不等式也可运用“广的代换求解.P 72(1+2) 2解法1因为x>0, y>0,所以x+y=,+：N_工二一.得x+y23,当且仅当x=l, y=2时取等号.解法 2x+y=>/ (x+y) 2= (x+y)5+±+,2y/5+2>fi=3,当且仅即 x=1, y=2时取等号.4、(2019苏北三市期末)已知a>0, b>0,且a+3b=:一"则b的最大值为 b a【答案】.1【解析

27、】由a+3bH 得(-3b=a+；.又a>0,所以93b=a+”(当且仅当a=l时取等号)，即( 一3b22,又b>0,解得04公，所以b的最大值为;.5、(2018苏州期末)已知正实数a, b, c满足1+(=1, -J-+-=l,则c的取值范围是.a b a-rb c【答案】(1, I【解析】思路分析由第二个等式知，要求出c的取值范围，只要先求出a+b的取值范围，而这可由第 一个等式求得.解法 1 因为 a+b=(a+b)：+g)=2+；+!£4, +°°),所以:'，从昵=1-帮已1),得一(I，flab1解法2由题两等式得ab=a+b,

28、 c+(a+b)=c(a+b),所以c+ab=c(ab), 1第c = +而 p因为ab = a+b2/ab.所以 ab24,所以 ©=1+曰 1，J 6、(2019苏州三市、苏北四市二调)己知关于x的不等式aW+bx+oOQ, b, <：£出的解集为用V为<4,c? + 5则F7的最小值为-a+b【答案】.4巾【解析】思路分析先根据一元二次不等式的解集，确定a0,以及a, b, c的关系，再将所求三运 a十b用消元法，统一成单变量a的函数问题，运用基本不等式求最值.即a=-若时取等号，所以所求最小值为4书.7、（2019苏锡常镇调研（二）己知正实数a, 6满足

29、。+b=1,则江里+殳士 的最小值为a b【答案】.11【解析】思路分析：由于目标式比较复杂，不能直接求最小值，需要对该式子进行变形，配凑出使用基本不等式的条件，转化为熟悉的问题，然后利用基本不等式求解=2“ +，+ 2/? + ± = 2伍 + 方）+ （，+ ±）（4 + 力）=2 + 叫 + 7 2 2、|也乂叫+7 = 11当且仅 a ba ha b a h1 a =-33时以" = ，所以2fH+丝士的最小值为iL8、（2018苏锡常镇调研（二）己知小。为正实数，且（a-=4«山）3,则L+1的最小值为. a b【答案】2>/2【解析】解

30、题过程；因为5 + b）2 =（a-bf+4"=4（，+4",所以a + b y _ 4（ab）3 + 4ab=4岫+齐8,故三白反当旦”ab = 1（“_份2=4，即a = >/2 +1g71T时取得等号，所以；的最小值为2j，.9、（2017无锡期末）已知a>0, 5>0, 02,且a+6=2,则%+.一与+内的最小值为【答案】4+木【解析】思路分析根据目标式的特征，进行恰当的变形，利期基本不等式知识求解.因为40, b>0,所以零4=圻5#一畀泊拉电当且仅当2十。时等号成立.又因为c>2,由不等式的性质可得势.左月干+£-昇内哮

31、又因为净0+阳=斗9-2）+用卜当且仅当。=2+小时等号成立.所以皆的最小值为回+市4110、（2017苏州期末）已知正数X, y满足x+y=l,则本+我的最小值为9-41-4【解析】解法1令x+2=a, y+l=b,则a+b=4（a>2,>），2+，；3+6噂+,=氐5+="984）1（5+4）=余当且仅当。=全b=y即时取等号.4141 户 口 （14-7）2 a解法2（减平均不等式）设a=x+2, b=y+l,则壬+中=公+石=戏+石21二彳解法3 （常数代换）设片x+2, gy+1,则*+*q+*F+看招当且仅当 a=2b时取等号.1 1?11、（2016苏州期末

32、）已知学，。，卮（。，。，则一+广、的最小值为.t1一a 1-b【答案】4+竽【解析】思路分析两元问题通常化为一元问题，先尝试消去一个变量.由题意得b=j-，所以号I，即aE &，1），消去b，得一一+3=71一+衿7=1+lJl 44a4a lb la 4al a 4。-12.解法 1 若注意到 4（1 一）+（4。- 1）=3 > 记 S=厂;+不开，则 S=1F+二二=?【（4-4）+（4一4 2 "24-4 2（4-1） 建、匕日付、匕44。2（4-1） . _1H（E+K）-2+,e+羊彳22+母，t且仅叫不彳一丰彳时等0成乂 所以最小值为4+弊.解法2令 2

33、a+l=x，1224+11n 4a 1 (l-a)(4a-l)原式=_%2+%-9>_?/迪%中3以下同解法L12、（2016徐州、连云港、宿迁三检）已知对满足、+），+4=加，的任意正实数x, y,都有炉+2中+产ax+l>0,则实数a的取值范围是.【答案】(一 8,即【解析】思路分析 不等式/+2»，+/一办一+12()的构造比较特殊，可以化为关于'+丁的不等式， 再根据不等式及x+)，+4=Zu求出x+y的范围即可.对于正实数x,户 由x+y+4=R，得x+y+4=2xjW9岁，解得、十代4,不等式炉+2岁+)上一ax一砂。+120 可化为(x+y)2a(x

34、+y)+1 >0,令，=x+j-24),则该不等式可化为产一”+120,即对于任意的24恒成立，1.1 产一11令=r+R24),则=1 一尹=一尸一>0对于任意的百4恒成立，从而函数=r+k24)为单调 递增函数，所以皿n=(4)=4+；=?，于是aW?.13、(2016苏锡常镇一调)若实数x，y满足炉-4刈+41*+叔平=4,则当+2)，取得最大值时，:的 y 值为.【答案】2【解析】思路分析 设x=a,2y=瓦则问题变简单了.设 x=02y=6，则实数 a，b 满足(-6)2+(帅)2=4.因为S+6)2 = (a-b)2+4a6=4(M)2+4ab=8一("-2)

35、28，当且仅当。=6=5时，a+6取最大值2也，此时x=2y，所以(=2. <解后反思作换元变换x=a,2y=瓦得(a-b)2+(ab)2=4后，猜都可以猜出答案了.常用恒等式(+b)2=(ab)2+4必更好看的解法：由(a6)2+(6)2=4,得(+(ab2)2=8.当a+6取最大值2也时，ab=2,此时。=6=建.14x (2016泰州期末)若正实数x，y满足(加一1)2 = (5，+2)()-2)，则x+白的最大值为.今【答案】岁 1【解析】思路分析处理双元最值问题，常用消元法或整体法，也可以构建方程转化为方程有解去处 理.如本题，思考方向一，可以设x+/=n,代入之后转化为关于y的方程/-SV-Mz-Dy+gn。在(2, + 8)上应有解，由20解出z的范围，并验证最大值成立；思考方向二，消去x再用均值不等式去处理; 思考方向三，观察得到3一目2+6+2>=9,直接通过均值不等式整体去处理；思考方向四，通过等比中 项，引用一个新的参数g,把x+