《高等数学》北大第二版32分部积分法

1、 由导数公式vuvuuv )(积分得:xvuxvuuvdd分部积分公式分部积分公式xvuuvxvudd或uvvuvudd1) v ;xvuxvudd)2比.:)d(的原则或及选取vvu3-2 分部积分法补例补例. 求.dcosxxx解解: 令,xu ,cos xdxdv 则,dxdu xvsin 原式xxsinxxdsinCxxxcossin思考思考: 如何求?dsin2xxx提示提示: 令,2xu ,sin xdxdv 则原式xx cos2xxxdcos2.vduuvvdu,dvu说明：关键合理地选择,sinux此题如果选取,2dxxdv ?结果将如何例例1 求.d2xexx解解xexxd2

2、xdex2)()()()()()(xduxvxvxuxdvxudv uxex22dxexdu=v uvxex2xxexd2xxde2xex2xex2)(2dxexexxxex2Cexexx22.)22(2Cexxx例例2 求求.dln3xxxxxxdln3解解4dln41xxxdxxxln41ln4144dxxxx3441ln41.161ln4144Cxxx)()()()()()(xduxvxvxuxdvxu注：当被积函数为幂函数与对数函数的乘积时，选择对数函数为u(x)例例3 求求.darctanxx解解xxdarctanu dvxxxxxd1arctan2221)1 (21arctanxx

3、dxx.)1ln(21arctan2Cxxx解题技巧解题技巧:的一般方法及选取vu把被积函数视为两个函数之积 ,按 “ 反对幂指三反对幂指三” 的顺序, 前者为 后者为u.v反: 反三角函数对: 对数函数幂: 幂函数指: 指数函数三: 三角函数例例4 求求解解.d22xxaxxad2222xaxxxaxd22222xaxxxaaxad2222222xax.arcsin2axaxxad2222xaxxxad22xxaad1222移项，两端除以2最后再加上C，得xxad22222xaxaxaarcsin22.C例例 5 求求. )0, 0(dcosbaxbxeax其中常数解解xbxeaxdcosa

4、xebxadcos1axebxacos1cosbxdeaxaxebxacos1sindxbxebaxaxebxacos1sinaxdebxabaxebxacos1)cos(sinbxebebxabaxaxaxebxacos1axebxabsin2bxeabaxcos22axaxebxbbxababxe)sincos(1cos22.C例例6. 求.)(d22nnaxxI解解: 令,)(122naxu,dxdv 则,)(2122naxxnuxv nIxaxxnnd)(21222naxx)(22xaxnnd)(2122naxx)(22nIn2122nIan得递推公式nnnIannaxxanI2222

5、1212)(21222)(aaxnaxx)(22说明说明:递推公式nnaxxI)(d22已知CaxaIarctan11利用递推公式可求得.nI例如,3I2222)(41axxa2243Ia2222)(41axxa243a22221axxa1221Ia2222)(41axxa22483axxaCaxaarctan835nnnIannaxxanI22221212)(21补例补例. 求.dxex解解: 令, tx则,2tx ttxd2d 原式tettd2tet (2Cxex)1(2, tu tev )teC令（换元和分布积分法结合使用）（换元和分布积分法结合使用） 在 结束本节前我们要指出，并非所有初等函数的不定积分都是可以“积出来”的；更确切地说，并非所有初等函数的原函数都是初等函数，比如人们已证明dxxdxedxxxx2sin,sin