任意角和弧度制及任意角的三角函数

1、第三章三角函数、解三角形第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数【知识梳理】【知识梳理】1.1.必会知识教材回扣填一填必会知识教材回扣填一填(1)(1)角的有关概念角的有关概念: :角的特点角的特点角的分类角的分类从运动的角度看从运动的角度看角可分为角可分为_、_和和_从终边位置来看从终边位置来看可分为可分为_和轴线角和轴线角与与角的终边相同角的终边相同=_(kZ)=_(kZ)( (或或=_,kZ)=_,kZ)正角正角负角负角零角零角象限角象限角+k+k360360+k+k22(2)(2)弧度的概念弧度的概念: :1 1弧度的角弧度的角: :长度等于长度等于_的弧所对的圆心角叫做的弧所对的圆心角

2、叫做1 1弧度的角弧度的角. .角角的弧度数公式的弧度数公式:|=_.:|=_.角度与弧度的换算角度与弧度的换算:360:360=_rad,1=_rad,1=_rad,1rad=(_)=_rad,1rad=(_) 575718.18.半径长半径长22rl180180(3)(3)任意角的三角函数任意角的三角函数: :定义定义: :设设是一个任意角是一个任意角, ,它的终边与单位圆交于点它的终边与单位圆交于点P(x,y),P(x,y),则则sin=_,cos=_,tan=_.sin=_,cos=_,tan=_.y yx xy(x0)x几何表示几何表示: :三角函数线可以看作是三角函数的几何表示三角

3、函数线可以看作是三角函数的几何表示. .正弦线的起正弦线的起点都在点都在x x轴上轴上, ,余弦线的起点都是原点余弦线的起点都是原点, ,正切线的起点都是正切线的起点都是(1,0).(1,0).如图中有向线段如图中有向线段MP,OM,ATMP,OM,AT分别叫做角分别叫做角的的_,_,_和和_._.正弦线正弦线余弦线余弦线正切线正切线(4)(4)终边相同的角的三角函数终边相同的角的三角函数: :sin(+ksin(+k2)=_,2)=_,cos(+kcos(+k2)=_,2)=_,tan(+ktan(+k2)=_(2)=_(其中其中kZ),kZ),即终边相同的角的同一三角函数的值相等即终边相同

4、的角的同一三角函数的值相等. .(5)(5)扇形的弧长与面积公式扇形的弧长与面积公式: :扇形的弧长扇形的弧长l=_;=_;扇形的面积扇形的面积S=_=_.S=_=_.sinsincoscostantanrr1r2l21r22.2.必备结论教材提炼记一记必备结论教材提炼记一记(1)(1)象限角与轴线角象限角与轴线角象限角象限角: :2k2kkZ2 ,2k2kkZ2 ,32k2kkZ2 ,32k2k2kZ2 ,轴线角轴线角: :kkZ=,kkZ2 =,kkZ2=,(2)(2)任意角三角函数的定义任意角三角函数的定义设设P(x,y)P(x,y)是角是角终边上异于顶点的任一点终边上异于顶点的任一点,

5、 ,其到原点其到原点O O的距离为的距离为r,r,则则sin=_,cos=_,tan=_.sin=_,cos=_,tan=_.3.3.必用技法核心总结看一看必用技法核心总结看一看(1)(1)常用方法常用方法: :数形结合法数形结合法. .(2)(2)数学思想数学思想: :分类讨论、数形结合分类讨论、数形结合. .(3)(3)记忆口诀记忆口诀: :各象限角三角函数值符号的记忆口诀各象限角三角函数值符号的记忆口诀: :一全正一全正, ,二正弦二正弦, ,三正切三正切, ,四余弦四余弦. .yrxry(x0)x【小题快练】【小题快练】1.1.思考辨析静心思考判一判思考辨析静心思考判一判(1)(1)顺

6、时针旋转得到的角是正角顺时针旋转得到的角是正角.(.() )(2)(2)钝角是第二象限的角钝角是第二象限的角.(.() )(3)(3)若两个角的终边相同若两个角的终边相同, ,则这两个角相等则这两个角相等.(.() )(4)1(4)1弧度的角就是长度为弧度的角就是长度为1 1的弧所对的圆心角的弧所对的圆心角.(.() )(5)(5)终边在终边在y y轴上的角的正切值不存在轴上的角的正切值不存在.(.() )【解析】【解析】(1)(1)错误错误. .顺时针旋转得到的角是负角顺时针旋转得到的角是负角.(2).(2)正确正确. .钝角的范围钝角的范围是是( ( , ,), ,显然是第二象限的角显然是

7、第二象限的角.(3).(3)错误错误. .角角180180的终边与角的终边与角-180-180的终边相同的终边相同, ,显然它们不相同显然它们不相同.(4).(4)错误错误.1.1弧度的角是单位圆中弧度的角是单位圆中长度为长度为1 1的弧所对的圆心角的弧所对的圆心角.(5).(5)正确正确. .终边在终边在y y轴上的角与单位圆的交轴上的角与单位圆的交点坐标为点坐标为(0,1),(0,-1).(0,1),(0,-1).由三角函数的定义知由三角函数的定义知, ,角的正切值不存在角的正切值不存在. .答案答案: :(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)(5)(5)22.2.教材改编链接教

8、材练一练教材改编链接教材练一练(1)(1)(必修必修4P10T104P10T10改编改编) )单位圆中单位圆中,200,200的圆心角所对的弧长为的圆心角所对的弧长为( () )A.10A.10B.9B.9C. C. D.D.【解析】【解析】选选D.D.单位圆的半径单位圆的半径r=1,200r=1,200的弧度数是的弧度数是200200 = , = ,由由弧度数的定义得弧度数的定义得 , ,所以所以l= .= .910109180109109r l109(2)(2)(必修必修4P15T64P15T6改编改编) )若角若角满足满足tan0,sin0,sin00知知, ,是一、三象限角是一、三象限

9、角, ,由由sinsin00,tan0,则则( () )A.sin0 B.cos0A.sin0 B.cos0C.sin20 D.cos20C.sin20 D.cos20【解析】【解析】选选C.C.由由tantan00可得可得:k:k kk+ (k+ (kZ),Z),故故2k2k22 2k0.0.2考点考点1 1象限角及终边相同的角象限角及终边相同的角【典例【典例1 1】(1)(1)终边在直线终边在直线y= xy= x上上, ,且在且在-2,2)-2,2)内的角内的角的集合的集合为为. .(2)(2)如果如果是第三象限的角是第三象限的角, ,试确定试确定-,2-,2的终边所在位置的终边所在位置.

10、 .【解题提示】【解题提示】(1)(1)数形结合数形结合, ,先写出先写出0,2)0,2)内的角内的角, ,再写出再写出-2,0)-2,0)内内的角的角, ,最后写出集合最后写出集合. .(2)(2)由由的范围写出的范围写出-与与22的范围的范围, ,再由终边相同角的关系判断再由终边相同角的关系判断. .3【规范解答】【规范解答】(1)(1)如图，在坐标系中画出直线如图，在坐标系中画出直线y= xy= x，可以发现它与可以发现它与x x轴的夹角是轴的夹角是 ，在，在0 0，2)2)内，终内，终边在直线边在直线y= xy= x上的角有两个：上的角有两个： ; ;在在-2-2，0)0)内满足条件的

11、角有两个：内满足条件的角有两个： 故满足条件的角故满足条件的角构成的集合为构成的集合为答案：答案：334,3 325,33 ，524.333 3 ，524333 3 ，3(2)(2)由由是第三象限的角得是第三象限的角得所以所以即即所以角所以角-的终边在第二象限的终边在第二象限. .由由+2k+2k +2k(kZ)+2k(kZ)，得，得2+4k2+4k223+ 3+ 4k(kZ).4k(kZ).所以角所以角22的终边在第一、二象限及的终边在第一、二象限及y y轴的非负半轴轴的非负半轴. .32k2k (kZ),2 32k2k (kZ),22k2kkZ ,232【易错警示】【易错警示】解答本题解答

12、本题(2)(2)有两点容易出错：有两点容易出错：(1)(1)由由的象限表达式得到的象限表达式得到-的不等式时，不能正确地运用不等式的的不等式时，不能正确地运用不等式的性质化为终边相同的角的形式，导致判断出错性质化为终边相同的角的形式，导致判断出错. .(2)(2)由由的象限表达式得到的象限表达式得到22的表达式后，容易漏掉的表达式后，容易漏掉y y轴的非负半轴轴的非负半轴这一情况，导致不全而判断失误这一情况，导致不全而判断失误. .【互动探究】【互动探究】在本例题在本例题(2)(2)的条件下，判断的条件下，判断 的终边所在的位置的终边所在的位置. .【解析】【解析】因为因为+2k+2k +2k

13、(kZ),+2k(kZ),所以所以当当k=3n(nZ)k=3n(nZ)时，时，当当k=3n+1(nZ)k=3n+1(nZ)时，时，3322k2kkZ ,33323 2n2nnZ ;332 72n2nnZ ;36 当当k=3n+2(nZ)k=3n+2(nZ)时，时，所以所以 的终边在第一、三、四象限的终边在第一、三、四象限. .5112n2nnZ .336 3【规律方法】【规律方法】1.1.终边在某直线上角的求法步骤终边在某直线上角的求法步骤(1)(1)数形结合数形结合, ,在平面直角坐标系中画出该直线在平面直角坐标系中画出该直线. .(2)(2)按逆时针方向写出按逆时针方向写出0,2)0,2)

14、内的角内的角. .(3)(3)再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合. .(4)(4)求并集化简集合求并集化简集合. .2.2.确定确定k, (kNk, (kN* *) )的终边位置的方法的终边位置的方法先用终边相同角的形式表示出角先用终边相同角的形式表示出角的范围的范围, ,再写出再写出kk或或 的范围的范围, ,然然后根据后根据k k的可能取值讨论确定的可能取值讨论确定kk或或 的终边所在位置的终边所在位置. .kkk【变式训练】【变式训练】设角设角是第二象限的角，且是第二象限的角，且 则角则角 属于属于( )( )A.A.第一象限第一象限

15、 B.B.第二象限第二象限C.C.第三象限第三象限 D.D.第四象限第四象限|cos|cos22 ，2【解析】【解析】选选C.C.因为因为是第二象限角，所以是第二象限角，所以9090+k+k360360180180+k+k360360(kZ),(kZ),4545+k+k180180 9090+k+k180180(kZ),(kZ),当当k k是偶数时，是偶数时， 是第一象限角是第一象限角; ;当当k k是奇数时，是奇数时， 是第三象限角是第三象限角. .又由又由|cos |=-cos |cos |=-cos 得得 是第三象限角是第三象限角. .222222【加固训练】【加固训练】1.(20151

16、.(2015济南模拟济南模拟) )若若=k360=k360+,=m360+,=m360- -(k,mZ)(k,mZ)，则角，则角与与的终边的位置关系是的终边的位置关系是( )( )A.A.重合重合 B.B.关于原点对称关于原点对称C.C.关于关于x x轴对称轴对称 D.D.关于关于y y轴对称轴对称【解析】【解析】选选C.C.显然角显然角与角与角的终边相同，角的终边相同，角与角与角-的终边相同，的终边相同，而而与与-的终边关于的终边关于x x轴对称，故选轴对称，故选C.C.2.2.如图所示：如图所示：则终边在图中所示直线上的角的集合为则终边在图中所示直线上的角的集合为_._.【解析】【解析】由

17、题干图易知由题干图易知, ,在在0 0360360范围内范围内, ,终边在直线终边在直线y=-xy=-x上的角上的角有两个有两个, ,即即135135和和315315, ,因此因此, ,终边在直线终边在直线y=-xy=-x上的角的集合为上的角的集合为S=|=135S=|=135+k+k360360,kZ|=315,kZ|=315+k+k360360,kZ=,kZ=|=135|=135+n+n180180,nZ.,nZ.答案答案: :|=135|=135+n+n180180,nZ,nZ考点考点2 2 弧度制及扇形面积公式的应用弧度制及扇形面积公式的应用【典例【典例2 2】(1)(1)时间经过时间

18、经过8 8小时小时, ,钟表中时针转过的角的弧度数为钟表中时针转过的角的弧度数为_._.(2)(2)已知扇形的圆心角是已知扇形的圆心角是,半径是半径是r,r,弧长为弧长为l, ,若若=100=100,r=2,r=2,求扇形的面积求扇形的面积; ;若扇形的周长为若扇形的周长为20,20,求扇形面积的最大值求扇形面积的最大值, ,并求此时扇形圆心角的弧并求此时扇形圆心角的弧度数度数. .【解题提示】【解题提示】(1)(1)明确时针旋转的方向是解题的关键明确时针旋转的方向是解题的关键. .(2)(2)先把角度数化成弧度数先把角度数化成弧度数, ,再利用扇形的面积公式求解再利用扇形的面积公式求解; ;

19、利用扇形的面积公式建立函数关系利用扇形的面积公式建立函数关系, ,利用函数的最值求解利用函数的最值求解. .【规范解答】【规范解答】(1)(1)时针是顺时针方向旋转的，所以经过时针是顺时针方向旋转的，所以经过8 8小时，时针转小时，时针转过的角度数为过的角度数为-360-360 =-240 =-240，其弧度数为，其弧度数为答案：答案：(2)(2)=100=100=100=100所以所以l= = 2=2=故故S S扇扇= = lr=r=8124240.1803 435.180959109，12110102.299由题意，得由题意，得l+2r=20,+2r=20,l=20-2r,=20-2r,所

20、以所以S S扇扇= = lr= (20-2r)r= (20-2r)r=-rr=-r2 2+10r=-(r-5)+10r=-(r-5)2 2+25,+25,所以，当所以，当r=5r=5时时,S,S扇最大扇最大=25=25，此时扇形圆心角的弧度数为，此时扇形圆心角的弧度数为1212102(rad).r5l【规律方法】【规律方法】弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略(1)(1)明确弧度制下弧长公式明确弧度制下弧长公式l=r=r，扇形的面积公式是，扇形的面积公式是S= S= lr=r=( (其中其中l是扇形的弧长，是扇形的弧长，是扇形的圆心角是扇形的圆心角)

21、.).(2)(2)求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量任意两个量. .1221r2【变式训练】【变式训练】(2015(2015太原模拟太原模拟) )已知已知2 2弧度的圆心角所对的弦长为弧度的圆心角所对的弦长为2 2，那么这个圆心角所对的弧长是那么这个圆心角所对的弧长是( )( )A.2 B.sin 2 C. D.2 sin 1A.2 B.sin 2 C. D.2 sin 1【解析】【解析】选选C.C.如图如图:AOB=2:AOB=2弧度，过弧度，过O O点作点作OCABOCAB于于C C，并延长，并延长OC

22、OC交弧交弧ABAB于于D.D.则则AOD=BOD=1AOD=BOD=1弧度，且弧度，且AC= AB=1AC= AB=1，在在RtRtAOCAOC中，中，AO=AO=即即 从而弧从而弧ABAB的长为的长为l=|=|r=r=2sin 112AC1sin AOCsin 1，1rsin 1，2.sin 1【加固训练】【加固训练】1.1.已知扇形的周长是已知扇形的周长是6 6，面积是，面积是2 2，则扇形的圆心角的弧，则扇形的圆心角的弧度数是度数是( )( )A A1 B1 B4 C4 C1 1或或4 D4 D2 2或或4 4【解析】【解析】选选C.C.设此扇形的半径为设此扇形的半径为r r，弧长为，

23、弧长为l l，则则 解得解得 或或从而从而 或或2r61r22 ，llr14，lr22.，l44r1 l21.r2 l2.2.已知半径为已知半径为1010的圆的圆O O中，弦中，弦ABAB的长为的长为1010，(1)(1)求弦求弦ABAB所对的圆心角所对的圆心角的大小的大小. .(2)(2)求求所在的扇形弧长所在的扇形弧长l及弧所在的弓形的面积及弧所在的弓形的面积S.S.【解析】【解析】(1)(1)在在AOBAOB中，中，AB=OA=OB=10AB=OA=OB=10，所以所以AOBAOB为等边三角形为等边三角形. .因此弦因此弦ABAB所对的圆心角所对的圆心角(2)(2)由扇形的弧长与扇形面积

24、公式，得由扇形的弧长与扇形面积公式，得l=r= r= 10= ,S10= ,S扇形扇形= r= rl= =又又S SAOBAOB= = OAOAOBOBsin =sin =所以弓形的面积所以弓形的面积S=SS=S扇形扇形-S-SAOBAOB= =.3 31031250.312325 3.350().32考点考点3 3三角函数的定义及其应用三角函数的定义及其应用知知考情考情任意角的三角函数任意角的三角函数( (正弦、余弦、正切正弦、余弦、正切) )的定义属于理解内容的定义属于理解内容. .在在高考中以选择题、填空题的形式出现高考中以选择题、填空题的形式出现, ,考查利用定义求三角函数值或考查利用

25、定义求三角函数值或已知角求点的坐标等问题已知角求点的坐标等问题. .明明角度角度命题角度命题角度1 1：利用三角函数的定义求三角函数值利用三角函数的定义求三角函数值【典例【典例3 3】(2015(2015广州模拟广州模拟) ) 若角若角的终边经过点的终边经过点P( P( ，m)(m0)m)(m0)且且sin = sin = 则则cos cos 的值为的值为_._.【解题提示】【解题提示】由三角函数的定义及由三角函数的定义及sin = sin = 列方程求列方程求m m，再求，再求cos .cos .32m4，2m4【规范解答】【规范解答】由题意得，由题意得，r= r= ，所以，所以因为因为m0

26、m0，所以，所以当当m= m= 时，时， 点点P P的坐标为的坐标为( )( )，所以所以当当m=- m=- 时，时， 点点P P的坐标为的坐标为( )( )，所以所以答案：答案：23m2m2m43m，m5. r2 2，535，x36cos r42 2 ，5r2 2，35，x36cos .r42 2 64命题角度命题角度2:2:利用三角函数的定义求点的坐标利用三角函数的定义求点的坐标【典例【典例4 4】(2015(2015临沂模拟临沂模拟) )顶点在原点顶点在原点, ,始边在始边在x x轴的正半轴上的角轴的正半轴上的角,的终边与圆心在原点的单位圆交于的终边与圆心在原点的单位圆交于A,BA,B两

27、点两点, ,若若=30=30, , =60=60, ,则弦则弦ABAB的长为的长为. .【解题提示】【解题提示】根据三角函数的定义求根据三角函数的定义求A,BA,B两点的坐标两点的坐标, ,由两点间的距离由两点间的距离公式求解公式求解. .【规范解答】【规范解答】由三角函数的定义得由三角函数的定义得A(cos 30A(cos 30,sin 30,sin 30),),B(cos 60B(cos 60,sin 60,sin 60) )，即，即所以所以|AB|=|AB|=答案：答案： 3 113A()B().2222， ，2213313162()()2().2222222622悟悟技法技法三角函数定

28、义的应用方法三角函数定义的应用方法(1)(1)已知角已知角终边上一点终边上一点P P的坐标的坐标, ,可求角可求角的三角函数值的三角函数值. .先求先求P P到原到原点的距离点的距离, ,再用三角函数的定义求解再用三角函数的定义求解. .(2)(2)已知角已知角的某三角函数值的某三角函数值, ,可求角可求角终边上一点终边上一点P P的坐标中的参数的坐标中的参数值值, ,可根据定义中的两个量列方程求参数值可根据定义中的两个量列方程求参数值. .(3)(3)已知角已知角的终边所在的直线方程或角的终边所在的直线方程或角的大小的大小, ,根据三角函数的定根据三角函数的定义可求角义可求角终边上某特定点的

29、坐标终边上某特定点的坐标. .通通一类一类1.(20151.(2015青岛模拟青岛模拟) )已知角已知角的终边与单位圆的交点的终边与单位圆的交点P(- P(- ，y),y),则则sin tan =( )sin tan =( )123333A.B.C.D.3322【解析】【解析】选选C.C.由由|OP|OP|2 2= =得得当当y= y= 时，时，sin = ,tan =sin = ,tan =此时，此时，sin sin tan =tan =当当y=- y=- 时，时，sin =- ,tan =sin =- ,tan =此时，此时，sin sin tan =tan =21y14 ，233y,y.

30、42 32323,3.232323,3.22.(20152.(2015铜川模拟铜川模拟) )已知角已知角的始边与的始边与x x轴的正半轴重合，顶点在坐轴的正半轴重合，顶点在坐标原点，角标原点，角终边上的一点终边上的一点P P到原点的距离为到原点的距离为 ，若，若= = ，则点，则点P P的的坐标为坐标为( )( )A.(1A.(1， ) B.( ) B.( ，1)1)C.( C.( ， ) D.(1) D.(1，1)1)242222【解析】【解析】选选D.D.设点设点P P的坐标为的坐标为(x,y)(x,y)，则由三角函数的定义得，则由三角函数的定义得 即即故点故点P P的坐标为的坐标为(1(1，1).1).ysin,42xcos,42x2cos1,4y2sin1.43.(20153.(2015合肥模拟合肥模拟) )已知角已知角的顶点与原点重合，始边与的顶点与原点重合，始边与x x轴的正半轴的正半轴重合，终边在直线轴重合，终边在直线y=2xy=2x上，则上，则cos 2=( )cos 2=( )【解析】【解析】选选B. B. 由题意知，由题意知，tan =2tan =2，即，即sin =2cos sin =2cos ，将其代入，将其代入sinsin2 2+cos+cos2 2=1=1中可得中可得coscos2 2= = ，故，故cos