三角函数模型的简单应用

1、数学模型可以按照不同的方式分类数学模型可以按照不同的方式分类 1.按照模型的应用领域按照模型的应用领域(或所属学科或所属学科)分分如人口模型、交通模型、环境模型、生态模型、如人口模型、交通模型、环境模型、生态模型、城镇规划模型、水资源模型、再生资源利用模型、城镇规划模型、水资源模型、再生资源利用模型、污染模型等范畴更大一些则形成许多边缘学科污染模型等范畴更大一些则形成许多边缘学科如生物数学、医学数学、地质数学、数量经济学、如生物数学、医学数学、地质数学、数量经济学、数学社会学等数学社会学等 图1-5 建模步骤示意图三角函数模型的简单应用备注备注简单应用简单应用学以致用，解决生活中的学以致用，解

2、决生活中的 实际问题实际问题数学模型数学模型具体的数学函数关系具体的数学函数关系三角函数模型三角函数模型三角函数关系三角函数关系函数模型的应用示例 1 1、物理情景、物理情景 简单和谐运动简单和谐运动 星体的环绕运动星体的环绕运动 2 2、地理情景、地理情景 气温变化规律气温变化规律 月圆与月缺月圆与月缺 3 3、心理、生理现象、心理、生理现象 情绪的波动情绪的波动 智力变化状况智力变化状况 体力变化状况体力变化状况 4 4、日常生活现象、日常生活现象 涨潮与退潮涨潮与退潮 股票变化股票变化 )0, 0()sin(AxAy 正弦型函数正弦型函数例题例题1 1下图是某简谐运动的图象，试根据图象回

3、答下列问下图是某简谐运动的图象，试根据图象回答下列问题：题：（1 1）这个简谐运动的振幅、周期与频率各是多少？）这个简谐运动的振幅、周期与频率各是多少？（2 2）从）从O O点算起，到曲线上的哪一点，表示完成了点算起，到曲线上的哪一点，表示完成了一次往复运动？如从一次往复运动？如从A A点算起呢？点算起呢？（3 3）写出这个简谐运动的函数表达式。）写出这个简谐运动的函数表达式。O OA A2 2B BC CD DF FE Ey/cmy/cmx/sx/s0.40.40.80.81.21.2如图，某地一天从如图，某地一天从6 61414时的温度变化曲线近似时的温度变化曲线近似满足函数满足函数 （）

4、求这一天（）求这一天6 61414时的最大温差。时的最大温差。 （）写出这段曲线的函数解析式。（）写出这段曲线的函数解析式。bxAysin注意注意一般的，所求一般的，所求出的函数模型只能出的函数模型只能近似地近似地刻画这天刻画这天某个时段某个时段的温度的温度变化情况，因此要特别注变化情况，因此要特别注意自变量的变化范围。意自变量的变化范围。例题例题o108612 14102030t/hT/oC解解：（：（1）观察图象可知，这段时间的观察图象可知，这段时间的最大温差是最大温差是20C。（2）从图中可以看出，从）从图中可以看出，从6时到时到14时的时的图象是函数图象是函数y=Asin(x+)+b的

5、半个周的半个周期的图象，所以期的图象，所以1(30 10)10,2A1(30 10)20,2b 1 214682 因为点（因为点（6，10）是五点法作图中的第四点，故）是五点法作图中的第四点，故336,248 解得解得故，所求函数解析式为故，所求函数解析式为310sin()206,1484yxx，如果在北京地区（纬度数是北纬如果在北京地区（纬度数是北纬4040o o）的一幢高为）的一幢高为h ho o的楼的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离不应小于多少？面的楼房遮挡，两楼的距离不应小于多少？例题例题分析：根

6、据地理知识，能够被太阳直射到的地区为根据地理知识，能够被太阳直射到的地区为南，北回归线之间的地带。画出图形如下，由画图易知南，北回归线之间的地带。画出图形如下，由画图易知A B Ch0解：解：图中、分别为太阳直射北回归线、赤道、南回图中、分别为太阳直射北回归线、赤道、南回归线时楼顶在地面上的投影点。要使新楼一层正午的太阳归线时楼顶在地面上的投影点。要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，应取太阳直射南回归线的情况全年不被前面的楼房遮挡，应取太阳直射南回归线的情况来考虑，依题意两楼之间的距离应不小于。来考虑，依题意两楼之间的距离应不小于。根据太阳高度角的定义有根据太阳高度角的定义有 所以所

7、以 即在盖楼时，即在盖楼时，为使后楼不被前楼遮挡，要留出相当与楼高两倍的间距。为使后楼不被前楼遮挡，要留出相当与楼高两倍的间距。 3426| )262340|90（C000000. 23426tantanhhchMC练习：练习：佛山市的纬度是北纬佛山市的纬度是北纬230，小王想在某住宅小区买房，该小小王想在某住宅小区买房，该小区的楼高区的楼高7层，每层层，每层3米，楼与楼米，楼与楼之间相距之间相距15米。要使所买楼层在米。要使所买楼层在一年四季正午太阳一年四季正午太阳不被前面的楼不被前面的楼房遮挡，他应选择哪几层的房？房遮挡，他应选择哪几层的房？A南楼 北C26.143443tan15)262

8、323(90tan150000h3层以上层以上返回返回太阳高度角的定义 如图，设地球表面某地如图，设地球表面某地纬度值为纬度值为 ， 正午太阳高度角为正午太阳高度角为 ，此时太阳直射纬度为此时太阳直射纬度为 那么这三个量之间的关那么这三个量之间的关系是系是 当地夏半年当地夏半年 取正值取正值，冬半年，冬半年 取负值。取负值。|90太阳光太阳光9090|90|90地心地心北半球北半球南半球南半球返回返回返回返回太阳光直射南半球太阳光太阳光9090|90|90地心地心例例4 4：海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮。一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐。

9、在通常情况象叫潮。一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐。在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后，在落下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后，在落潮时返回海洋。下面是某港口在某季节每天的时间与潮时返回海洋。下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：水深关系表：时刻时刻0.000.003.003.006.006.009.009.0012.0012.0015.0015.0018.0018.0021.0021.0024.0024.00水深水深（米）米）5.05.07.57.55.05.02.52.55.05.07.57.55.05.02.52.55.05.0（1）选用一个函数来近似描述这个港口的

10、水深与时间的函选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，给出整点时的水深的近似数值数关系，给出整点时的水深的近似数值（精确到（精确到0.001）。xyO3691215182124246解：以时间为横坐标，以水深为纵坐标，在直角坐标系中解：以时间为横坐标，以水深为纵坐标，在直角坐标系中描出各点，并用平滑的曲线连接。根据图象，可以考虑用描出各点，并用平滑的曲线连接。根据图象，可以考虑用函数函数 刻画水深与时间的关系。刻画水深与时间的关系。hxAy)sin(从数据和图象可以得出：从数据和图象可以得出： A=2.5，h=5，T=12，由由，得6,122T056sin5 . 2xy时刻时刻0

11、.000.001 1：00002 2：00003 3：00004 4：00005 5：00006 6：00007 7：00008 8：00009 9：00001010：00001111：0000水深水深时刻时刻12.0012.001313：00001414：00001515：00001616：00001717：00001818：00001919：00002020：00002121：00002222：00002323：0000水深水深7.165从数据和图象可以得出：从数据和图象可以得出： A=2.5，h=5，T=12，由由，得6,122T056sin5 . 2xy时刻时刻0.000.001 1：

12、00002 2：00003 3：00004 4：00005 5：00006 6：00007 7：00008 8：00009 9：00001010：00001111：0000水深水深5.0005.0006.2506.2507.167.165 57.5007.5007.1657.1656.2506.2505.0005.0003.7543.7542.8352.8352.5002.5002.8352.8353.7543.754时刻时刻12.0012.001313：00001414：00001515：00001616：00001717：00001818：00001919：00002020：0000212

13、1：00002222：00002323：0000水深水深5.0005.0006.2506.2507.1657.1657.5007.5007.1657.1656.2506.2505.0005.0003.7543.7542.8352.8352.5002.5002.8352.8353.7543.754（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，米，安全条例规定至少要有安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与洋底的距米的安全间隙（船底与洋底的距离），该船何时能进入港口？在港口能呆多久？离），该船何时能进入港口？在港口能呆多久？xyO36912151

14、821242465 . 5y（2）货船需要的安全水深）货船需要的安全水深为为 4+1.5=5.5 （米），所以（米），所以当当y5.55.5时就可以进港时就可以进港. .令令化简得化简得2.5sin55.56xsin0.26x由计算器计算可得由计算器计算可得0.2014,0.201466xx或解得解得0.3848,5.6152ABxx因为因为 ，所以有函数周期性易得，所以有函数周期性易得0,24x120.384812.3848,125.615217.6152.CDxx因此，货船可以在凌晨零时因此，货船可以在凌晨零时30分左右进港，早晨分左右进港，早晨5时时30分左右出分左右出港；或在中午港；或

15、在中午12时时30分左右进港，下午分左右进港，下午17时时30分左右出港，每次分左右出港，每次可以在港口停留可以在港口停留5小时左右。小时左右。解：解：（3 3）若某船的吃水深度为若某船的吃水深度为4 4米，安全间隙为米，安全间隙为1.51.5米，该米，该船在船在2 2：0000开始卸货，吃水深度以每小时开始卸货，吃水深度以每小时0.30.3米的速度减米的速度减少，那么该船在什么时候必须停止卸货，将船驶向较深少，那么该船在什么时候必须停止卸货，将船驶向较深的水域。的水域。xyO36912152462)2( 3 . 05 . 5xy解：解：（3）设在时刻）设在时刻x船舶的安全水深为船舶的安全水深

16、为y，那么那么y=5.5-0.3(x-2) (x22),在同一坐标在同一坐标系内作出这两个函数的图象，可以看系内作出这两个函数的图象，可以看到在到在6时到时到7时之间两个函数图象有一时之间两个函数图象有一个交点个交点.通过计算可得在通过计算可得在6时的水深约为时的水深约为5米，此时船舶的安全水深约为米，此时船舶的安全水深约为4.3米；米；6.5时的水深约为时的水深约为4.2米，此时船舶的安全水深约为米，此时船舶的安全水深约为4.1米；米；7时的水深约为时的水深约为3.8米，而船舶的安全水深约为米，而船舶的安全水深约为4米，因此为了安米，因此为了安全，船舶最好在全，船舶最好在6.5时之前停止卸货，将船舶驶向较深的水域。时之前停止卸货，将船舶驶向较深的水域。小结:1.三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型,可以用来研究很多问题,我们可以通过建立三角函数模型来解决实际问题,如天气预报,地震预测,等等.2.建立三角函数模型的