Chap7-2三大分布及单个正态总体的区间估计

1、 正态总体下的抽样分布统计中的三大分布22n 记为记为2分布分布一、一、定义定义: 设设 相互独立相互独立, 都服从正态都服从正态分布分布N(0,1), 则称随机变量：则称随机变量： 所服从的分布为自由度为所服从的分布为自由度为 n 的的 分布分布.nXXX,21222212nXXX22分布是由正态分布派生出来的一种分布分布是由正态分布派生出来的一种分布. .2分布的密度函数为分布的密度函数为000)2(21);(2122xxexnnxfxnn来定义来定义.其中伽玛函数其中伽玛函数 通过积分通过积分0,)(01 dxxex )( 分布的密分布的密度函数的图形度函数的图形如右图如右图. .2n

2、2由由 分布的定义，不难得到：分布的定义，不难得到：),(2N1. 设设 相互独立相互独立, 都服从正态分布都服从正态分布nXXX,21则则21222)(1nniiX22121nnXX,222121nnXX2. 设设 且且X1,X2相互独立，相互独立，则则这个性质叫这个性质叫 分布的可加性分布的可加性.2则则， E(X)=n, Var(X)=2n3. 若若,2nXniiiniiniinXEXVarXEXEE1212122)()()()()(3证明证明:根据2分布的定义,把 表示为.) 1 , 0(,21122分布的相互独立，且服从同样其中NXXXXnniin2n nXEXVarEniXEXVa

3、rXEXVarXENXniiiniiiiii12222)()()(.,2, 1101)()(1)()(0)()1 ,0( ，niiiniiniinXEXEXVarXVarVar122412122)()()()()(独立 )()1()21(1)1 ()0(:)(01dtett函数回忆高数?)(4iXE254422221)(02/3202424422dtetxtdxexdxexXEtxxi321234212123423234254)(4iXEnXEXEVarniXEXEniiinii2)()()(., 2 , 1213)()(12242224 对于对于(0,1)(0,1)给定给定, ,称满足称满足

4、条件条件: : 分布的分位点分布的分位点)(222)()(ndxxfPnn的点的点 ( ( ) )为为 分布的分布的上上 分位点分位点. .2n 2n 2n 分布的上分布的上 分位点分位点图形如图形如右图右图. .2n 分布的上分布的上 分位点分位点可以查附表可以查附表4(P244).4(P244).2n 例3 设2624, YX求（1）P（X1.923）为何值则yyYP,225. 0237. 1)2(解：查自由度为4的2 分布表，得923. 1XP（2）225. 0237. 1237. 1yYPYPyYP查表得75. 0225. 0975. 0225. 0237. 1YPyYP75. 045

5、5. 3yT的密度函数为：的密度函数为：212)1 ()2(2) 1();(nnxnnnnxf记为记为Ttn.2n 定义定义: 设设XN(0,1) , Y , 且且X与与Y相互相互独立独立，则称变量，则称变量nYXT 所服从的分布为自由度为所服从的分布为自由度为 n的的 t 分布分布.二二、t 分布分布（Gosset于于1908年以年以student笔名提出）笔名提出） 当当n充分大时，充分大时，t 分布近似分布近似N (0,1)分分布布. 但对于较小的但对于较小的n，t分布与分布与N (0,1)分分布相差很大布相差很大. t分布的密度函数的图形如右图. T Tt tn n, ,对于对于(0,

6、1)(0,1)给定给定, ,称满足条件称满足条件: : t t分布的分位点分布的分位点 的点t tn n( ( ) )为为t t分布的上分布的上 分位点分位点. .)()()(ntndttftTP t t分布的上分布的上 分位分位点点图形如右图图形如右图. .t t分布的上分布的上 分位分位点点可以查附表可以查附表3(P242).3(P242).三、三、F分布分布121nXnYF由定义可见，由定义可见，21,nnF,2221nnYX 定义定义: 设设 X与与Y相互相互独立独立，则称统计量，则称统计量服从自由度为服从自由度为n1及及 n2 的的F分布，分布，n1称为第一称为第一自由度，自由度，n

7、2称为第二自由度，记作称为第二自由度，记作 F 21nYnXF 12n ,nF（Fisher提出）提出） 0001)()()()(),;(222221212112121212121xxxxnnxfnnnnnnnnnnnnn 若若X ， X的概率密度为的概率密度为21,nnF F分布的密度函数的图形如右图. FF Fm,nm,n, ,对于对于(0,1)(0,1)给定给定, ,称满足条件称满足条件: :F F分布的分位点分布的分位点 的点的点F Fm, ,n( ( ) )为为F F分布的上分布的上 分位点分位点. .)(,)()(nmFnmdxxfFFPF F分布的上分布的上 分分位点位点图形如右

8、图形如右图图. .F F分布的上分布的上 分分位点位点可以查附可以查附表表5(P247).5(P247).（2）nnFXtX,12,则则且且相相互互独独立立其其中中,),1 , 0(,2nZNYnZYX nnFnnZYX,122122 例)95.0(9,12F)05. 0(112, 9F357.080.21F分布的性质：分布的性质：由此则,1,mnnmFFZFF（1）)(1)1(,mnnmFF 定理定理 1 (样本均值的分布样本均值的分布)设设X1,X2,Xn是取自正态总体是取自正态总体),(2 N的样本，则有的样本，则有),(2nNX ) 1 , 0( NnX 四、正态总体的样本均值与样本方

9、差的分布四、正态总体的样本均值与样本方差的分布 定理定理 2 (样本方差的分布样本方差的分布)2122) 1() 1 (nSn设设X1,X2,Xn是取自正态总体是取自正态总体),(2 N的样本的样本,2SX和分别为样本均值和样本方差分别为样本均值和样本方差,则有则有.)(相互独立和22SX21122122)(1)(11) 1(nniiniiXXXXnn212122)()(1nniiniiXX 定理定理 3 设设X1,X2,Xn是取自正态总体是取自正态总体),(2 N的样本的样本,2SX和分别为样本均值和样本方差分别为样本均值和样本方差,则有则有1 ntnSX 2122)1(),1 , 0( n

10、SnNnX 且两者相互独立且两者相互独立1221)1( ntnSXSnXnSnnX l定理定理 6.4.16.4.1(基本定理) 设X1,X2 , ,Xn为来自总体 N( , 2)的样本,则:),().1 (2nNX2122/) 1().2(nSn.).3(2相互独立与SX1/).4(ntnSX例例 在设计导弹发射装置时在设计导弹发射装置时, ,重要事情之重要事情之一是研究弹着点偏离目标中心的距离的方差一是研究弹着点偏离目标中心的距离的方差. . 对于一类导弹发射装置对于一类导弹发射装置, ,弹着点偏离目标弹着点偏离目标中心的距离服从正态分布中心的距离服从正态分布N(N( , , 2 2),)

11、,这里这里 2 2=100=100米米2 2. . 现在进行了现在进行了2525次发射试验次发射试验, ,用用S S2 2记这记这2525次次试验中弹着点偏离目标中心的距离的样本方试验中弹着点偏离目标中心的距离的样本方差差. . 求求:S:S2 2超过超过5050米米2 2的概率的概率. . 解解: 根据基本定理根据基本定理 查查P244P244附表附表4,4,得到得到: :2122/) 1(nSn12100502450) 1() 1(5022421252222PPnSnPSP12502242PSP975. 01. 设设X和和Y相互独立，且相互独立，且X2m Y2n 则则X+Y答案：答案：2n

12、m 答案：答案：1nt2.设X1,X2 , ,Xn为来自总体 N( ,2)的样本则:)()1(112niiXXnnX ),(2nNX )1,0(/NnX 且两者相互独立又,/) 1(2122nSn 1)1(/22nSnnX niiXXnnX12)() 1(1 1nt3. 设X,),1,(2nYXTYNn 则答案：答案：nt 第七章第四节正态总体的区间估计 （一） 前面讨论了参数的点估计。点估计就是前面讨论了参数的点估计。点估计就是利用样本计算出的值利用样本计算出的值 (即实轴上点即实轴上点) 来估计未来估计未知参数。知参数。 其优点是：其优点是：可直地告诉人们可直地告诉人们 “未知参数未知参数

13、大致是多少大致是多少”； 缺点是：缺点是：并未反映出估计的误差范围并未反映出估计的误差范围 (精精度度)。故，在使用上还有不尽如人意之处。故，在使用上还有不尽如人意之处。 而区间估计正好弥补了点估计的这一不而区间估计正好弥补了点估计的这一不足之处足之处 。 也就是说，给出一个区间，使我们能以也就是说，给出一个区间，使我们能以一定的可靠度相信区间包含参数一定的可靠度相信区间包含参数 。 这里的这里的“可靠度可靠度”是用概率来度量的，是用概率来度量的，称为置信系数，常用称为置信系数，常用 表示表示1。) 10( 一个可以想到的估计办法是：给出一个一个可以想到的估计办法是：给出一个区间，并告诉人们该

14、区间包含未知参数区间，并告诉人们该区间包含未知参数 的的可靠度可靠度 (也称置信系数也称置信系数)。 置信系数的大小常根据实际需要来确定，置信系数的大小常根据实际需要来确定，通常取通常取0.95或或0.99，即，即.1)(21P。或或 0.01 05. 0 根据实际样本，由给定的置信系数，可根据实际样本，由给定的置信系数，可求出一个尽可能短的区间求出一个尽可能短的区间 ，使，使,21。，完全确定的已知函数由样本为两个统计量与置信区间。其中的的置信系数为为称区间212121 )( 1 , 7.4.1 置信区间的定义置信区间的定义满满足足确确定定的的两两个个统统计计量量若若由由样样本本，是是未未知

15、知常常数数，给给定定设设2121 , 10 n,X,XX。为两个统计量，与其中信区间，的置的置信系数为为则称区间212121 1 , 定义定义1：(1) .121P信信上上限限。分分别别称称为为置置信信下下限限和和置置与与21 。的的概概率率是是它它包包含含，区区间间的的置置信信对对置置信信系系数数为为式式表表明明：但但1 , 1 (1) 21(1) .121P , , 2121也也可可能能不不包包含含。，这这个个区区间间可可能能包包含含，对对于于一一个个给给定定的的样样本本随随机机区区间间，是是一一个个间间需需要要特特别别强强调调的的是是：区区nXXX实际应用上，一般取实际应用上，一般取 =

16、 0.05 或或 0.01。?,121怎怎么么求求统统计计量量给给出出置置信信系系数数 为确定置信区间，我们先回顾前面给出为确定置信区间，我们先回顾前面给出的随机变量的上的随机变量的上 分位点的概念。分位点的概念。分分位位点点。的的上上为为的的点点，称称满满足足对对随随机机变变量量，设设 )( 10 XxxXPX1.96.z 1.645z 0.0250.05，如：. 216. 0)975. 0( 348. 9)025. 0( 2323，例例如如：现在回到寻找置信区间问题上来。现在回到寻找置信区间问题上来。求参数求参数 的置信系数为的置信系数为 的置信区间的置信区间. 例例1 设设X1,Xn是取

17、自是取自 的样本，的样本， ,2已知 ),(2 N 1置信区间的求法置信区间的求法明确问题明确问题,是求什么参数的置信区间是求什么参数的置信区间?置信系数是多少？置信系数是多少？解：解：前面我们已经用矩估计和极大似然估计都得到均值 的点估计为 ，它具有很好的性质，现在我们一个区间去估计均值 ，用 更合理些。 X ,cXcX寻找未知参寻找未知参数的一个良数的一个良好估计好估计.)(1,P很小要使cXcX 1|cXPN(0, 1)nXU 取有了分布，就可以求出有了分布，就可以求出U取值于任意区间的概率取值于任意区间的概率.,1 对给定的置信系数对给定的置信系数查正态分布表得查正态分布表得,2 Z

18、1|2ZnXP使使 122ZnXZnXP从中解得从中解得21)(2 Z ,22 ZnXZnX 122ZnXZnXP于是所求于是所求 的的 置信区间为置信区间为 21)(2 Z 设X1,X2 , ,Xn为来自正态总体N(,2)的样本. 2已知. 均值的置信系数为1-的置信区间. 方差方差 2 2已知已知2/2/,ZnXZnX单个正态总体均值的区间估计例例1: 某厂生产的零件长度某厂生产的零件长度 X 服从服从 N( , 0.04),),现从该厂生产的零件中随机抽取现从该厂生产的零件中随机抽取6个，长度个，长度测量值如下测量值如下( (单位单位: :毫米毫米): ): 14.6, 15.l, 14

19、.9, 14.8, 15.2, 15.1.求求: : 的置信系数为的置信系数为0.950.95的区间估计。的区间估计。 解：解：n = 6， = 0.05，z /2 = z0.025 = 1.96， 2 2=0.22 . . ,95.14 X通过计算，得通过计算，得. 11.15 ,79.14 ,22znXznX所求置信区间为所求置信区间为 设X1,X2 , ,Xn为来自正态总体N(,2)的样本. 2未知. 求:均值的置信系数为1-的置信区间. 2未知.想想看,用S2代替2.于是根据定理6.4.1,解解:1/ntnSX方差方差 2 2未知未知1)2(/1ntnSXP1)2()2(11nntnSXtnSXP即方差方差 2 2未知时未知时的置信系数为1- 的置信区间:)2(,)2(11nntnSXtnSX 设X1,X2 , ,Xn为来自正态总体N(,2)的样本.(未知) 求:方差2的置信系数为1-的置信区间. 解解: 根据定理6.4.1,2122/) 1(nSn1)2()1()21 (212221nnSnP正态总体方差正态总体方差 2 2的区间估计的区间估计1)21 ()1()2()1(2122212nnSnSnP即由上,即得2的置信系数为1-