概率论与数理统计

1、上节课教学要点回顾1随机试验教学纲目(一) 确定性现象(二) 随机现象(三)概率论与数理统计的学科 (四) 随机试验2在大量重复试验或观察中所呈现出的固有规律性，就是统计规律性。在个别试验中其结果呈现出不确定性，在大量重复试验中其结果又具有统计规律性的现象，称之为随机现象(random phenomenon)。(1) 试验可以在相同条件下重复进行；(2) 各次试验的可能结果不止一个，所有可能结果在试验前就明确知道；(3) 每次试验之前不能确定哪一个结果将会出现。概率论中将具有上述三个特点的试验称为随机试验(random experiment)，简称试验(experiment)。我们正是通过随机

2、试验来研究随机现象的。2 样本空间、随机教学纲目(一) 样本空间(二) 随机(三) 随机间的关系与的运算(一) 样本空间随机试验E的每个结果，称为 (sample point)。样本点：样本空间：随机试验E的所有可能结果组成的集合称为。即样本点的全体构成样本空间(sample space)，记为S。(二) 随机：一般地，样本空间的子集，称为随机(random event)，简称(event)。发生：当且仅当它所包含的一个样本点出现。：称空集为 (impossible event)。：样本空间S称为 (certain event)。不可能必然(三)间的关系与的运算在一个样本空间中显然可以定义不止

3、一个概率论的重要研究课题之一是希望从简单，的概率推算出复杂往往要求我们同时以及它们之间的的概率。在实际问题中，几个在同样条件下的。详细地分析间的关系，不仅帮助我们更深刻地认识的本质，而且可以大大简化一些复杂的概率计算。8下面讨论间的关系与的运算。间的关系与是一个集合，因而的运算自然按照集合论中集合之间的关系和集合运算来处理。10 包含若A的每一个样本点都包含在B中，记为AB或BA，则称B包含(contain)A，这指的是A发生必然导致如图B发生9。BASA，必有 AS显然对任何相等：如果AB与BA同时成立，则称A与B (identical),或称等价，记为A=B，等价的两个因此可看作是一样的。

4、同时发生，20 和表示至少属于A或B中的一个的所有样本点的集合，A与B的和(union)，记为AB，这指称其为的是当且仅当A与B中至少有一个发生时，AB发生。如图nUAk为n个A1, A2, , An的和A1, A2, 的和类似地，称。k =1称 UAkk =1为可列个。11ABS30 积表示所有同时属于A及B的样本点的集合，称其为事件A与B的积(intersection)，记为AB或AB，这指的是当且仅当A与B同时发生时，AB发生。如图nIAk为n个A1, A2, , An的积A1, A2, 的积类似地，称。k =1称 IAkk =1为可列个。12ABS40 互斥若AB=，则表示A与B不能同

5、时发生，此时称A与B是互不相容的(mutually exclusive)， 也称A与B是 (disjoint events)。A与B不能同时发生。如图这是指13BAS50 差表示包含在A而不包含B中的样本点的全体，A与B的差(difference event)，记为A-B，A发生且B不发生时，A-B发生。称为这指的是当且仅当如图14ABS60 逆若AB=S，AB=，则称A与B互为，又称A与B互为对立(opposite event)。 记为A=B。ASA=S-A对立间的关系可表述如下：AA=S，AA=注意：对立一定是互斥，但反之未必成立。15互斥对立不能同时发生，但可能同时都不发生，但不能同时发

6、生，但也不能同时都不发生，其中必有且仅有一个发生。在进行间运算时，关于它们的顺序作如下约定：先进行逆运算，再进行积运算，最后才进行和或差运算即 逆运算积运算和或差运算下面利用例3来说明这些关系：1630种所有可能的结果就是样本空间，(1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6)(2, 1), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6)(3, 1), (3, 2), (3, 4), (3, 5), (3, 6)(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 5), (4, 6)(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4),

7、(5, 6)(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5)它构成必然，A如表所示，此时A由第14行组成，AA=SB, C如表所示，AB= “红色+兰色”数对。17AB=CA-B=(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4)18对于间的关系，成立下述运算规律：设A, B, C, A1, A2, , An为，则有交换律：AB=BA，AB=BA结合律：A(BC)=(AB)C，A(BC)=(AB)C分配律：A(BC)=(AB)(AC)，A(BC)=(AB)(AC)， 德摩根律： AB= AB，

8、 AB= AB，推广： A1A2An= A1A2An，A1A2An= A1A2An.19证明分配律 A(BC)=(AB)(AC)。w A(BC) w A且w BC， 而w BC w B 或 w C，即 w A且w B 或 w A且w C w AB 或 w AC w(AB)(AC) ，于是有 A(BC)=(AB)(AC)。20证明德摩根律： AB= AB， AB= AB。w AB wAB w A 且 w B wA 且 wB， wA B，AB= AB于是有AB = AB同理有21证明 AB发生 AB不发生 A不发生且B不发生 A发生且B发生 AB发生反之AB发生 A发生且B发生(法二) A不发生且

9、B不发生 AB不发生 AB发生【注意】：AB AB， AB AB，22注意 分配律和德摩根律还可推广至可列个。分(配律：AUU (i AI=IB)B)ii=1= 1iAI )i=1I(=(UBIAB)iii=1 IAii=1 UAii=1德摩根律：U Ai=1=iI Ai=1=i23记住一些之间关系的常用结论，有助于分析与计算概率。下面是一些常用关系式：10 AS20 AS=S，AS=A，A-S=A=A，A=，A-=A 30 ABAAB，A-BAAB40 AA=，AA=S，A=S-A50 (A-B)A=A，(AB)A=A60 (A-B)(AB)=，且A=(A-B)(AB)，A-B=A-AB24

10、70 (A-B)B=，且AB=(A-B)B可通过文图理解这些关系式，无需死记硬背。25例4证明(A-B)B=AB。证 (法一) A-BA，所以(A-B)B AB， 所以(A-B)B发生AB发生，又AB发生A发生或B发生， 若B发生(A-B)B发生，若B不发生A发生A-B发生(A-B)B发生， 所以AB发生(A-B)B发生，(A-B)B=AB。26(法二)(A-B)B=(AB)B=(AB)(BB)=(AB)S=(AB)【评注】证明两个相等的方法：(i) 从定义出发；(ii) 利用已知结论。27例5靶子由10个同心圆组成，半径分别为r1, r2, , r10，且r1 r2r10，以Ak表示命中点在

11、半径为rk的圆内，叙述下列6的意义，8UAkIAk(1)(2)(3) A1A2k =1k =1【解】 (1) 命中点在半径为r6的圆内(2) 命中点在半径为r1的圆内(3) 命中点在内径为r1，外径为r2的圆环内。28例6 从一批中任取n件，以Ai表示“第i次取得：正品”，用它们表示下列(1) 没有一件是次品(2) 至少有一件是次品(3) 仅仅只有一件是次品nIAi i=1(1)【解】n nn n(2) UAii=1IAi i=1U(Ai IA j )或(3)i=1j =1 j i29例7 若A, B, C是三个下列，用A, B, C的运算关系表示(1) A发生而B与C都不发生：ABC或 A-

12、B-C或 A-(BC)(2) A与B都发生而C不发生：ABC或 AB-C或 AB-ABC(3) A, B与C都发生：ABC(4) A, B与C恰好发生一个：ABCABC ABC30(5) A, B与C恰好发生二个：ABCABCABC(6) A, B与C中至少发生一个：ABC或ABCABCABCABCABCABCABC(7) A, B与C不全发生：ABC或者 ABC(8) A, B与C全不发生：ABC或者ABC313频率与概率教学纲目(一) 频率的定义(二) 概率的定义(三) 概率的性质教学目标10 理解频率的定义20 理解概率的定义30 理解与掌握概率的性质教学重点10 概率的定义20 概率的

13、性质教学难点概率的定义引言一位曾指出：在表面上是偶然性在起作用的地方，这种偶然性始终是受内部隐藏着的规律支配的，而问题只是在于发现这些规律。除了必然和不可能外，对一般随机而言，它在一次试验中可能发生，也可能不发生，但在大量重复试验中它发生的可能性却呈现出某种规律性。频率稳定性。34(一) 频率的定义定义 在相同的条件下，进行n次试验，在这n次试验中，A发生的次数nA称为A发生的频数。比值nA/nA在n次试验中发生的频率，记为fn(A)。称为频率的性质：0fn(A)1fn(S)=1若A1, A2, , Ak是互不相容的102030，则fn(A1A2Ak)=fn(A1)+ fn(A2)+ fn(A

14、k)35例如，掷硬币时，既可以正面朝上，也可以朝上，但是假如硬币均匀，直观上出现正面与的机会应该相等，即在大量试验中出现的频率应接近于50%，为了验证这一点，历史上曾有不少人做过这个试验，其结果如下：37实验者掷硬币次数出现正面的次数频 率德摩根蒲 田皮尔逊皮尔逊2048404012 00024 000106120486019120120.51810.50690.50160.5005实验序号掷硬币次数出现正面的次数频率123455，50，5002， 22， 2513， 25， 2491， 21， 2565， 25， 2531， 24， 2510.4,0.44,0.5020.6,0.50,0.4

15、980.2,0.42,0.5121.0,0.50,0.5160.2,0.48,0.502从上述数据可以看出：抛硬币次数n较小时，频率fn(A)在01之间随机波动，其振幅较大，但随着n增大，频率fn(A)呈现出稳定性。即当n逐渐增大时， fn(A)总是在0.5附近摆动，而逐渐稳定于0.5。38又如，在英语中某些字母出现的频率远远高于另外一些字母。在进行了更深入的研究之后，人们还发现各 个字母被使用的频率相当稳定，例如39字母PYWGBVKX频率0.0170.0120.0120.0110.0100.0080.0030.002字母SHDLCFUM频率0.0520.0470.0350.0290.023

16、0.0220.0220.021字母空格 ETOANIR频率0.20.1050.0720.0650.0590.0550.0550.054该试验证实，当重复试验的次数n逐渐增大时，频率fn(A)呈现出稳定性。另外一个验证频率稳定性的著名试验是英国生物统计学家高尔顿(Galton)设计的，其试验模型称为高尔顿版，如图：40字母JQZ频率0.0010.0010.001大量小球任意自由下落钉板41自上端放入小球，任其自由下落，在下落过程中，当小球碰到钉子时，从左边落下与从右边落下的机会是 相等。碰到下一排钉子时又是如此。最后落入底版中 的某一个格子。因此，任意放入一球，则此球落入哪 一个格子，预先难以确

17、定。但是实验证明，如放入大 量小球，则其最后所呈现的曲线，几乎总是一样的。 即小球落入各个格子的频率十分稳定。这个试验模型称为高尔顿板。42上述事实表明，随机现象有其偶然性的一面，也有其必然性的一面。这种必然性表现为大量试验中随机出现的频率常在固定的常数附近摆动，这种规律性就是统计规律性。频率的稳定性说明随机发生的可能性大小是随机本身固有的、不随人们的意志而改变的一种客观属性，因此可以对它进行度量。43我们可以让试验重复大量次数，计算频率fn(A)，以它A发生可能性的大小是合适的。的稳定值来表征但是，在实际中我们不可能对每一都做大量的试验然后来求得的频率，用以表征发生可能性的大小。同时，为了理论研究的需要，我们从频率的稳定性和频率的性质得到启发，给出如下表征发生可能性大小的概率的定义。44(二) 概率的定义。定义设E是随机试验，S是它的样本空间。对于E的每一A赋于一个实数，记为P(A)，称为A的概率(probability) ，如果集合函数P()满足下列条件：A，有P(A)0S，有P(S)=110 非负性：对于每一个20 规范性：对于必然30 可列可加性：设A1, A2, 是两两互不相容的，即对于i j，AiAj=，i,j=1, 2, ，则有P(A1A2)=P(A1)+P(A2)+45我们称上述三