八年级数学第四章二次根式复习与小结湘教版知识精讲

1、初二初二数学数学第四章第四章 二次根式复习与小结二次根式复习与小结湘教版湘教版【本讲教育信息本讲教育信息】一. 教学内容： 第四章 二次根式复习与小结二. 教学目标： 1. 了解二次根式有意义的条件，发展学生的符号感。 2. 经历探索掌握积的算术平方根性质及商的算术平方根的性质，并会用性质来化简。 3. 掌握二次根式的乘法、除法法则，并会进行二次根式的乘除运算。 4. 会进行二次根式的加、减运算。 5. 会把实数运算律及乘法公式应用于二次根式的混合运算中。三. 教学重点和难点： 重点：二次根式意义及二次根式的运算。 难点：二次根式的化简及运用乘法公式和实数运算律进行二次根式运算。四. 本章知识

2、要点归纳： 1. 二次根式的定义： 形如的式子叫二次根式，其中 叫作被开方数，是一个非负数时，a aa() 0a才有意义 2. 二次根式的性质： ()()| |()()()aa aaaaaaa a2200000 ，abab abababab()()0000 3. 二次根式的运算 二次根式的乘法：，abab ab()00 二次根式的除法：，ababab()00 二次根式的加减： 需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。 二次根式的混合运算： 先乘方（或开方） ，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的； 能利用运算律或乘法公式进行的，可适当

3、改变运算顺序进行简便运算。 有理化因式： 一般常见的互为有理化因式有如下几类： 1) aa与 2) abab与 3)abab与 4)m an bm an b与 利用有理化因式的特点可以将分母有理化。五. 方法规律指点： 如果是二次根式，则一定有aa 0 当时，必有aa00 当时，表示 的算术平方根，因此有，反过来，也可将aaaaa02()一个非负数 写成的形式aa()2 表示的算术平方根，因此有， 可以是任意实数aaaaa222| | 区别和的不同：()| |aaaa22 aaaaa22中的 可以取任意实数，中的 只能是一个非负数，否则无意()义。 简化二次根式的被开方数，主要有两个途径： 1

4、)因式的内移 因式内移时，若 m0，则将负号留在根号外。 即m xm x 2 2)因式外移时，若被开数中字母取值范围未指明时，则要进行讨论。即： x yxyxyxxyx200| |()() 二次根式的比较： 10)若，则有abab 2)若，则有abab 一般情况下，将根号外的因式都移到根号里面去后再进行比较。【典型例题典型例题】第一部分：基础知识题 例 1. 在实数范围内分解因式：5x315x 解：解：5153xx 5353533222x xx xx xx()() ()() 例 2. 已知，求|()xyyzzxyz2022 分析：分析：、均为非负数|()xyyzz 22 即，|()xyyzz0

5、0202 根据非负数的和为零，则每一个非负数必为 0。 解：解：，|()xyyzz00202 又|()xyyzz202 且且|()xyyzz00202 即xyyzzxyz0020222 xyz222228 例 3. xxx为何值时，式子在实数范围内有意义？53 解：解：由二次根式的被开方数为非负数及分式分母不能为零的性质得： xx5030 解之得：5x3 当时，有意义5353xxx 例 4. 化简二次根式xyyx yx yxxyyxy43342220() 分析：分析：化简被开方数比较复杂的二次根式时，先对分子、分母因式分解，能约分的就约分，能开方的就开方，或先对被开方数进行通分，然后再通过分母

6、有理化进行化简。 解：解：，00 xyxy xyyx yx yxxyy4334222 xyyx yxyxyxyyxyxyxy xy332()()|() xyyxyxyx yxy()22 x x yxy22 例 5. 计算：()()23623622 分析：分析：此题符合平方差公式的特点，因此利用平方差公式分解因式可简化运算。 解：解：原式 ()()236236 ()()236236 2 22364 64 264 68 3()第二部分：技能技巧题 方法技巧一：巧拆项法 例 6. 化简12 23122334532 25()()()() 分析：分析：此题如果按常规的方法来解显然很麻烦，观察题目特点，将

7、分子适当组合，然后约分，再将分母有理化，即可迅速化简。 解：解：原式 ()()()()()()()()12231223322532 25 1231121251323221522351()()()() 方法技巧二：逆用运算法则法： 例 7. 化简 3535 分析：分析： 35350 可利用进行化简aaa20() 解：解：原式 ()35352 35235 3535642()() 方法技巧三：取倒数法 例 8. 化简：()()533152 31 分析：分析：此题如果按常规的方法分母有理化，则会使解题陷入麻烦，考虑取其倒数，再利用例 6 的巧拆项法可使运算简便。 解：解：设A ()()533152 3

8、1 则152 315331A()() ()()()()53315331 131153312532512 A 251512 原式 512第三部分：规律探索题 例 9. ( ) 1322143325443比较大小：与；与；与 （2）由（1）中比较的结果猜想。 （3）对（2）中的猜想给出证明。 分析：分析：二次根式比较大小的方法较多，习惯上我们为比较两个二次根式的大小，一般将分母变为有理数，把分母化成一样，然后通过比较它们分子的大小来判定二次根式的大小。 而本题反其道而行之，将分子变成一样；通过比较分母的大小来判定其大小，另外，本题设置的层层递进的 3 问，正好反映了人们认识事物的规律。 解：解：（

9、 )() 又132121 1321210 即 3221 同理4332 5443 （ ）猜想211nnnn （3）证明： nnnnnnnnnn111111()() 同理： nnnn111 又 nnnn11 1111nnnn nnnn 11【模拟试题模拟试题】（一）填空题： （1）若，化简_xy 0 x y2 （2）已知，则_xx13xx221 （3）若，则_35x|xxx7962 （4）已知实数 a、b 在数轴上对应点的位置如下图所示，化简_bba()2 （5）若在实数范围内有意义，则 a 的取值范围是（ ）1231aaa （6）把根号外面的因式移入根号内得_()()1

10、51mm m （7）在实数范围内分解因式_xx4221 （8）比较大小：_3 22 3 _14131312 （9）已知ABC 的三边分别是 a、b、c，则 _()|abcbac2 （10）如果，则_ab 0aaabba1（二）选择题： （1）化简的结果为_a3 A. B. C. D. a aaaaaa a （2）若，即么 a、b 的关系是（ ）ab13232， A. B. C. D. abab 0ab 1ab 1 （3）已知，化简二次根式的正确结果为（ ）xy 0 xyx2 A. B. C. D. yyy y （4）代数式的值等于（ ）xx2211 A. 非正数B. 负数C. 0D. 正数 （

11、5）若，则 x 的取值范围是（ ）x 138187176165 A. B. C. D. x 101x12xx 2 （6）如果成立，则（ ）x xxx()66 A. B. C. D. x 为任意实数x 606xx 0 （7）已知 x、y 为实数，且，则（ ）yxx13121112xy A. B. C. 4D. 121413 （8）若为实数，且，那么的值是（ ）ab、()ab21202ba A. 4B. C. D. 41414 （9）已知，那么 x 的取值范围是（ ）()21122xx A. B. C. D. x 12x 12x 12x 12 （10）已知的值等于（ ）xxx32321012，则

12、A. B. 0C. D. 10 630 618 6（三）已知，求的值。x 512xxx331（四）已知：abab224250 求的值。()ababaab24（五）求的值。635635（六）在ABC 中，三边分别为 a、b、c 且满足，abc3 22abc22232试探求ABC 的形状。（七）解方程：xyzxyz1212()【试题答案试题答案】（一） （1）（2）7（3）4xy （4）a（5）aa113且 （6）（7）512m m()() ()xx1122 （8），（9）0（10）1（二） （1）C（2）B（3）B（4）C（5）B （6）A（7）A（8）C（9）D（10）B（三） 解：xx512251， ，21521522xx()() xx21 原式xxxxxxxxx32323431512()（四）解：abab224250 ，()()abab2102122 原式()214 22232 2222 ()()212212121222（五）设，x 635635x 0 将上式两边平方得： 6356352