第六章 债务偿还方法

1、第六章债务偿还方法主要内容v等额分期偿还法等额分期偿还法v等额偿债基金法等额偿债基金法v变额偿债法变额偿债法第一节基本基本的债务偿还方法的债务偿还方法一、等额分期偿还法v三个概念v每次偿还的金额每次偿还的金额 v未偿还的本金余额未偿还的本金余额v每次偿还的金额中，利息是多少？本金是多每次偿还的金额中，利息是多少？本金是多少？少？1、每次偿还的金额v设：期初贷款额为设：期初贷款额为L0；贷款；贷款n年；利率为年；利率为i；v每次偿还额为每次偿还额为R，且在每年末偿还。，且在每年末偿还。v 则：则：v inRaL 0inaLR0或：或：2、未偿还的本金余额v1）过去法）过去法v 未偿还本金余额未偿

2、还本金余额= =原始贷款本金原始贷款本金- -过去过去已偿还的本金已偿还的本金)(001iLRLLRiL)1 (0iRsiL10)1 (第第1年已偿还的本金年已偿还的本金第第1年末：年末：第第1年初：年初： L0。)(112iLRLLR)1 (1iL 1)1()1 (20iRiLiiRiL1)1 ()1 (220iRsiL220)1 (第第2年末：年末：。)(223iLRLLiRsiL330)1 (ikkkRsiLL)1 (0第第k年末未偿还本金余额：年末未偿还本金余额：k=0,1,2,3 -n-第第3年末：年末：2）将来法v将来需要偿还的总金额在该年初的现值。将来需要偿还的总金额在该年初的现

3、值。v inRaL11iknkRaLinRaL 0第第k年末未偿还本金余额：年末未偿还本金余额： k=0,1,2,-n过去法与将来法等价iknkRaLikkRsiL)1 (0iknkRaLivRkn11)1 (1)1(iiiviRknkikkinRsiRa)1 (ikkRsiL)1 (0证明：证明：3、每次偿还的本金和利息v1）每次偿还的利息v 01iLI )1 (ninvRiRa12iLI)1 (11ninvRiRa)3 , 2 , 1 , 0()1 (nkvRiRakniknkkiLI1-2)每次偿还的本金11IRPnninRviviRiRaRiLR)11 (022IRP111ninRvi

4、RaRiLR。kkIRP111kniknkRviRaRiLR10kninvaL。nkkPL10nkknnkkvRP111)()(1vvvRnn0LRain证明：证明：且：且：。inaLR0iknkRaLkkIRP1kkiLI每次偿还额每次偿还额未偿还本金余额未偿还本金余额每次支付的利息每次支付的利息每次偿还的本金每次偿还的本金(K=1,2,3,-n) 不变不变 变化变化 变化变化 变化变化例：已知某住房贷款例：已知某住房贷款100，000元，分元，分10年还清，每年还清，每月末还款一次，每年计息月末还款一次，每年计息12次的年名义利率为次的年名义利率为6%，试计算试计算v1）每次的还款额；）每

5、次的还款额；2）分别利用过去法和将来法计算还款）分别利用过去法和将来法计算还款50次后次后的贷款余额；的贷款余额；3）第）第50次所还的利息及本金。次所还的利息及本金。v解：1） i=6%/12=0.5%v %5 . 01200RaL 元205.1110100000%5 . 0120RRa2）过去法）过去法元84.6543474.6288758.128322)1 (5050050iRsiLL将来法将来法元84.654345012050iRaL4950iLI元07.331150iRLi元13.7795050IRP3）iRLLRiLLkkkk1)1 (11二、等额偿债基金法v贷款利率为贷款利率为i

6、，存款利率为，存款利率为j。 0 1 2 3 - n-1 n I I I - I I D j D j D j D j DL0 期初借款期初借款L0，每年末偿还利息，每年末偿还利息I，并每年末存入，并每年末存入D，到期时作为本金的偿还。，到期时作为本金的偿还。1、每次支付的利息0iLI 2、每次存款v如果偿债基金利率为jv jnDsL 0jnsLD0insLD0如果如果j=i: 3、每次偿还的金额DIR)1(000jnjnsiLsLiL)1(0insiLRRaLin0当当j=i时时 4、第k年末的贷款净额0LLkjkDs)1 (000jnjkjkjnssLssLL存款积累值存款积累值当j=i时)

7、1 (0inikkssLL)1)1 (1)1 (1 (0nkiiL)1)1 ()1 ()1 (0nkniiiL)11(0nknvvLikninaaL0iknRa本金余额本金余额5、第k年实际支付的利息jkkjDsII1年初的积累值为第k1 jkDs当j=i时ikkiDsII1ikinssLiiL100)1)1 (1)1 (1 (10nkiiiL)1)1 ()1 ()1 (10nkniiiiL)11(10nknvviLikninaaLi10kiknIiRa1例、某贷款为例、某贷款为1，000元，元，10年期，年利率为年期，年利率为5%，采，采取偿债基金法偿还，每年末借款人支付相等的利息，取偿债基

8、金法偿还，每年末借款人支付相等的利息，同时在偿债基金中存入本金，额度相等，年利率为同时在偿债基金中存入本金，额度相等，年利率为4%，求：，求：v1）每年末的存款额；v2）第5年末贷款的净额；v3）第5年实际支付的利息。元29.830061.121000%41000sLsLDjn元85.35246. 429.83%4%51000%4%445DsII元90.548416. 529.831000%4505DsLL1）每年末的存款额；）每年末的存款额；2）第）第5年末贷款净额年末贷款净额3）第）第5年实际支付的利息年实际支付的利息三、变额分期偿还法v期初贷款L0 ，每年末偿还额Rt (t=1,2,3-

9、n)v则：v ntttRvL101、第k年末未偿还的本金余额nkttktkRvL1nknkkRvRvvR2212、第、第k年支付的利息年支付的利息1kkiLIkkkIRP 3 、 第第k年末偿还的本金年末偿还的本金例例1 1、假设某人从银行获得一笔贷款，期限、假设某人从银行获得一笔贷款，期限5 5年，年实年，年实际利率为际利率为6%6%，借款人在每年末分期偿还，每年末偿还，借款人在每年末分期偿还，每年末偿还的金额分别为的金额分别为2 2，000000、1 1，800800、1 1，600600、1 1，400400、1 1，200200元。试求：元。试求：v1）贷款本金为多少？v2）第3年末偿

10、还的利息为多少？v3）第3年末偿还的本金为多少？v解：1）v2）v3） P3=R3-I3=1600-225.78=1374.21元元82.6837)(2001000550DaaL元97.3762)(2001000332DaaL元78.22523iLI.v例例2 2、一笔、一笔1010，000000元的贷款，期限为元的贷款，期限为5 5年，年年，年利率为利率为5%5%，每年偿还，每年偿还2 2，000000元的本金，试构元的本金，试构造分期偿还表。造分期偿还表。解：第1年支付的利息 =100005%=500v第1年末偿还的金额vR1=P1+I1=2000+500=2500v第1年末的本金余额vL

11、1=L0-P1=10000-2000=8000v同理：01iLI 60002400400222LRI40002300300223LRI20002200200424LRI000. 02100100525LRI每年末的偿每年末的偿还金额还金额支付当年的支付当年的利息利息偿还的本偿还的本金金未偿还本金未偿还本金余额余额0-10，00012，00022，00032，00042，00052，0008，0006，0004，0002，0000.0005004003002001002，5002，4002，3002，2002，100例例3 3、假设某人从银行获得一笔贷款，期限为、假设某人从银行获得一笔贷款，期限

12、为5 5年，年年，年利率为利率为8%8%，借款人用偿债基金法偿还，每年支付的总，借款人用偿债基金法偿还，每年支付的总额依次为额依次为2 2，000000、1 1，800800、1 1，600600、1 1，400400、1 1，200200元，偿债基金利率为元，偿债基金利率为7%7%，试求贷款本金为多少？，试求贷款本金为多少？v解：每年支付的利息：v每年末的存款Dv分解：0iLI 01800iL02000iL01400iL01200iL01600iL01000iL01000iL01000iL01000iL01000iL1000 800 600 400 200.jjDssiLL5500)(200

13、)1000(元31.6408.v例例4 4某银行发放某银行发放1010年期贷款，利率为年期贷款，利率为9.9%9.9%，某借款，某借款人计划分期还款，首年末还款人计划分期还款，首年末还款4 4，000000元，以后每年元，以后每年比上年减少比上年减少10%10%。试计算贷款本金及第。试计算贷款本金及第8 8次还款中的次还款中的本金部分和利息部分。本金部分和利息部分。v解：贷款的本金v v =17373.69元v第8年的还款额vR8=4000(1-0.1)7=1913.19元2910040004000(1 0.1)4000(1 0.1)Lvvv。v第7年末未偿还的本金余额vL7=4000(1-0

14、.1)7v+(1-0.1)8v2+(1-0.1)9v3v =4333.95元v第8年偿还的利息vI8=iL7=0.094333.95=429.06元v第8年偿还的本金vP8=R8-I8=1484.13元第二节一般一般债务偿还法债务偿还法主要内容v一年结转一年结转k次利息时的债务偿还法次利息时的债务偿还法v一年支付一年支付m次的债务偿还法次的债务偿还法v一、一年结转一、一年结转k次利息时的债务偿还次利息时的债务偿还法法1、分期偿还法v期初贷款期初贷款L0，每次利率为，每次利率为i，每年末偿还额为，每年末偿还额为R，期限为期限为n年。年。v1）每年的偿还额）每年的偿还额v )(20nkkkvvvR

15、LkknsaR2）未偿还的贷款余额）未偿还的贷款余额v第一年初：v第一年末：v-v第j年末：kknsaRL 0knksaRL)1(1kjnkjsaRL)( 令：令：m=kn，与书本相同，与书本相同3）每年偿还的利息）每年偿还的利息v第一年：v第二年：v-v第j年：)1 ( 1)1()1()1(12nknkkvRRiaLiI)1 ( 1)1()1()1(1jnkjnkjkjvRRiaLiI)1 ( 1)1(01knknkvRRiaLiI4）每年偿还的本金）每年偿还的本金v第一年末：v第二年末：v-v第j年末：knRvIRP11)1(22nkRvIRP)1(jnkjjRvIRP。v例：某人贷款例：

16、某人贷款1 1，000000元，每年计息元，每年计息4 4次的年名次的年名义利率为义利率为12%12%，每次偿还如下：第，每次偿还如下：第1 1年末偿还年末偿还400400元，第元，第5 5年末偿还年末偿还800800元，第元，第1010年末偿还年末偿还657.86657.86元。求：元。求：v1 1）第）第5 5年末未偿还的贷款余额；年末未偿还的贷款余额；v2 2）第二次偿还的利息是多少？）第二次偿还的利息是多少？v3 3）第二次偿还的本金是多少？）第二次偿还的本金是多少？ 解：年实际利率为v1）第5年末未偿还的贷款余额为v第1年末未偿还的贷款余额为元24.36486.65755105vvR

17、L%5508.121)4%121 (4i元51.72586.65780094910451vvvRvRL。v2）第二次偿还的利息是v3）第二次偿还的本金是元72.438 1)1()2(14LiI元28.36172.438800)2(P2、偿债基金法v例：甲借款例：甲借款2 2，000000元，为期元，为期4 4年，贷款利率为年，贷款利率为12%12%，一年，一年4 4次结息。借款人每年末存款一次，次结息。借款人每年末存款一次，建立偿债基金，存款利率为建立偿债基金，存款利率为3%3%，试求：，试求：v1 1）每年存款的额度；）每年存款的额度；v2 2）每年偿还的金额；）每年偿还的金额；v3 3）第

18、）第3 3年末的贷款净额；年末的贷款净额；v4 4）第）第3 3年偿还的实际利息。年偿还的实际利息。解：年实际利率为v1）每年存款的额度v2）每年偿还的金额元05.478183627. 42000%340sLD元07.72905.478%5508.122000DIR%5508.121)4%121 (4i。v3）第3年末的贷款净额；v4）第3年偿还的实际利息。元40.5220909. 305.4782000%3303DsLL元91.221%3030. 205.478%5508.122000%3%323DsII二、一年支付m次的债务偿还法v1、分期偿还法、分期偿还法v期初贷款期初贷款L0，年实际利

19、率为，年实际利率为i，每年末偿还额为，每年末偿还额为R，一年偿还，一年偿还m次，期限为次，期限为n年。年。v1）每次的偿还额）每次的偿还额)(0mnRaL )(0mnmaLmRR2）每次的贷款余额v1/m:v2/m:v-vk/m: )(22mmnRaL)(11mmnRaL)(mmknkRaL3）每次偿还的利息v1/m:v2/m:v-vk/m: )1 ()()(0)(1nmnmmvmRRamiLmiI)1 (1)(1)(1)(2mnmmnmmvmRRamiLmiI)1 (1)(1)(1)(mknmmknmkmkvmRRamiLmiI4）每次偿还的本金v1/m:v2/m:v-vk/m: nnvmR

20、vmRmRIRP)1 (11mnvmRIRP122mknkkvmRIRP1。v例例1 1：一种贷款要在每半年末偿还：一种贷款要在每半年末偿还100100元，共元，共1010次，年实际利率为次，年实际利率为5%5%，试计算：，试计算：v1 1）第）第8 8次末偿还的本金；次末偿还的本金；v2 2）第）第8 8次偿还的利息；次偿还的利息；v3 3）第）第8 8次末未偿还的贷款余额。次末未偿还的贷款余额。解：已知：v1）第8次末偿还的本金；v2）第8次偿还的利息；%552100inmR元9428.9210010023)2185()1(8vvvRPmkn元0571. 71001002388vPRI。v

21、3）第8次末为偿还的贷款余额。)(8mmknRaL元8287.1922001002)2(1)2(285aa)(mmknaRm。v例例2 2：甲购买住房时，贷款了：甲购买住房时，贷款了2 2，000000，000000元，元，分分3 3次领取。期初领取次领取。期初领取1 1，000000，000000元，半年元，半年后领取后领取500500，000000元，元，1 1年后再领取年后再领取500500，000000元。元。贷款按每年计息贷款按每年计息2 2次的年名义利率次的年名义利率15%15%积累到积累到第第2 2年末，然后按每月计息一次的年名义利率年末，然后按每月计息一次的年名义利率12%12

22、%进行分期按月偿还，为期进行分期按月偿还，为期2020年，试计算：年，试计算：v1 1）第）第4040次偿还额的数量；次偿还额的数量；v2 2）第）第4040次末未偿还的贷款余额；次末未偿还的贷款余额；v3 3）第）第4040次偿还的本金。次偿还的本金。v解：贷款的半年实际利率为v贷款在2年末的积累值：v %5 . 72%151i253546%)5 . 71 (105%)5 . 71 (105%)5 . 71 (101L元10.2354430v还款的月实际利率为1%：v1）第第40次偿还额的数量次偿还额的数量(每月的还款额）每月的还款额）元30.25924R2354430.10%1240Ra。

23、v2）第）第40次末未偿还的贷款余额次末未偿还的贷款余额v3）第）第40次偿还的本金次偿还的本金元4 .223808RL%120040a元42.3508RP20114024040Rvv二、偿债基金法v例：甲借款例：甲借款2 2，000000元，为期元，为期2 2年，贷款利率为年，贷款利率为10%10%。借款人建立偿债基金并每半年末存款一次，存款借款人建立偿债基金并每半年末存款一次，存款利率为利率为8%8%，为每年计息，为每年计息4 4次的年名义利率。试建立次的年名义利率。试建立偿债基金表。偿债基金表。v解：1）借款每年支付的利息：v I=200010%=200元v 2）每季度的实际利率：v %

24、24%80i。v3）半年的实际利率：）半年的实际利率：v每次存款的额度：每次存款的额度：0404. 01)1 (20ii元70.47040isLD时间时间 支付的支付的利息利息I偿债基金偿债基金存款存款D偿债基金偿债基金利息利息J偿债基金偿债基金余额余额P净贷款净贷款余额余额L 020001/41/2470.703/41200470.705/43/2470.707/42200470.702000470.701529.309.41480.111519.899.601039.59960.4119.21979.621020.3819.591469.91530.6929.401499.31500.69

25、29。9920000.00习题v1、一笔、一笔5050，000000的贷款，期限为的贷款，期限为4 4年，年实际年，年实际利率为利率为8%8%，每年末等额分期偿还。试计算下，每年末等额分期偿还。试计算下列各项：列各项：v1 1）借款人第三年末应该支付的总金额；）借款人第三年末应该支付的总金额；v2 2）第三年末未偿还的本金余额；）第三年末未偿还的本金余额；v3 3）第三年支付的利息和偿还的本金。）第三年支付的利息和偿还的本金。 v 。v2 2、某人向一基金投资、某人向一基金投资1010，000000元，希望在今元，希望在今后的后的3 3年内每年末获得年内每年末获得4 4，000000元的收入。

26、试计元的收入。试计算基金的年实际利率应该是多少？如果从第算基金的年实际利率应该是多少？如果从第二年开始，基金的年实际利率上升了一个百二年开始，基金的年实际利率上升了一个百分点，试计算投资者在今后的分点，试计算投资者在今后的2 2年中，每年末年中，每年末可获得多少收入？可获得多少收入？。v3 3、一笔、一笔2020，000000元的贷款，期限为元的贷款，期限为4 4年，年实年，年实际利率为际利率为8%8%。借款人必须在每年末偿还。借款人必须在每年末偿还1616，000000元的利息，并建立一笔偿债基金用于清偿元的利息，并建立一笔偿债基金用于清偿贷款本金，偿债基金的利率与贷款利率相同。贷款本金，偿

27、债基金的利率与贷款利率相同。试计算下列各项：试计算下列各项：v1 1）借款人在第二年末向偿债基金存入的额度；）借款人在第二年末向偿债基金存入的额度；v2 2）偿债基金在第二年末的余额；）偿债基金在第二年末的余额；v3 3）第二年末的贷款净额。）第二年末的贷款净额。v4 4、假设偿债基金的年实际利率为、假设偿债基金的年实际利率为7%7%，重新计，重新计算第算第3 3题。题。v5 5、有两笔贷款的本金均为、有两笔贷款的本金均为2020，000000元，期限元，期限均为均为4 4年，但偿还方法不同。第一笔贷款采用年，但偿还方法不同。第一笔贷款采用偿债基金方式，贷款利率为偿债基金方式，贷款利率为8%8

28、%，偿债基金利，偿债基金利率为率为7%7%。第二笔贷款采用等额分期偿还方式。第二笔贷款采用等额分期偿还方式。试计算当第二笔贷款的利率为多少时，两笔试计算当第二笔贷款的利率为多少时，两笔贷款对借款人是等价的。贷款对借款人是等价的。v6 6、一笔、一笔1010，000000元的贷款，期限为元的贷款，期限为5 5年，年实年，年实际利率为际利率为8%8%，每半年等额分期付款一次。试，每半年等额分期付款一次。试计算下列各项：计算下列各项：v1 1）借款人第四年末应该支付的总金额；）借款人第四年末应该支付的总金额；v2 2）第四年末未偿还的本金；）第四年末未偿还的本金；v3 3）第四年支付的利息和本金。）第四年支付的利息和本金。v7 7、一笔、一笔1010，000000元的贷款，期限为元的贷款，期限为5 5年，年实年，年实际利率为际利率为8%8%。借款人必须在每年末向贷款人。借款人必须在每年末向贷款人支付当年的利息支付当年的利息800800元，并每隔半年向偿债基元，并每隔半年向偿债基金储蓄一次。该偿债基金每年结转金储蓄一次。该偿债基金每年结转4 4次利息的次利息的年名义利率为年名义利率为6%6%，试计算下