高考数学复习 第八章 立体几何 第四节 直线、平面垂直的判定与性质课件 理

1、第四节直线、平面垂直的判定与性质总纲目录教材研读1.直线与平面垂直考点突破2.直线与平面所成的角3.二面角的有关概念考点二平面与平面垂直的判定与性质考点二平面与平面垂直的判定与性质考点一直线与平面垂直的判定与性质直线与平面垂直的判定与性质4.平面与平面垂直的判定定理考点三平行与垂直的综合问题考点三平行与垂直的综合问题教材研读教材研读1.直线与平面垂直直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义直线l与平面内的任意一条任意一条直线都垂直,就说直线l与平面互相垂直.(2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理2.直线与平面所成的角直线与平面所成的角(1)定义:平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角

2、锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角.一条直线垂直于平面,就说它们所成的角是直角;一条直线和平面平行,或在平面内,就说它们所成的角是0的角.如图所示,PAO 就是斜线AP与平面所成的角.(2)线面角的范围:.0,23.二面角的有关概念二面角的有关概念(1)二面角:从一条直线出发的两个半平面两个半平面所组成的图形叫做二面角.(2)二面角的平面角:以二面角的棱上任一点为端点,在两个半平面内分别作垂直于棱垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.4.平面与平面垂直的判定定理平面与平面垂直的判定定理1.已知互相垂直的平面,交于直线l.若直线m,n满足m,n,则()A.mlB.mnC.n

3、lD.mnC答案答案C对于A,m与l可能平行或异面,故A错;对于B、D,m与n可能平行、相交或异面,故B、D错;对于C,因为n,l,所以nl,故C正确.故选C.2.已知直线a,b和平面,且ab,a,则b与的位置关系为()A.bB.bC.b或bD.b与相交C答案答案C由ab,a知b或b,但直线b不与平面相交.3.如图,O为正方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD的中心,则下列直线中与B1O垂直的是()A.A1DB.AA1C.A1D1D.A1C1D答案答案D易知AC平面BB1D1D.A1C1AC,A1C1平面BB1D1D.又B1O平面BB1D1D,A1C1B1O,故选D.4.一平面垂直于另一

4、平面的一条平行线,则这两个平面的位置关系是垂直垂直 .答案答案垂直解析解析由线面平行的性质定理知,若一直线平行于一平面,则该面内必有一直线与已知直线平行,再根据“两平行线中一条垂直于一平面,另一条也垂直于该平面”得出结论.5.如图,已知PA平面ABC,BCAC,则图中直角三角形的个数为4 .答案答案4解析解析题图中直角三角形为PAC、PAB、BCA、BCP,故直角三角形的个数为4.考点一直线与平面垂直的判定与性质考点一直线与平面垂直的判定与性质考点突破考点突破典例典例1如图,在四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,ABAD,ACCD,ABC=60,PA=AB=BC,E是PC的中点.(1)证明

5、:CDAE;(2)证明:PD平面ABE.证明证明(1)在四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,CD平面ABCD,PACD.ACCD,PAAC=A,CD平面PAC.而AE平面PAC,CDAE.(2)由PA=AB=BC,ABC=60,可得AC=PA.E是PC的中点,AEPC.由(1)知,AECD,且PCCD=C,AE平面PCD.而PD平面PCD,AEPD.PA底面ABCD,PD在底面ABCD内的射影是AD,又ABAD,ABPD.又ABAE=A,PD平面ABE.方法技巧方法技巧证明直线与平面垂直的常用方法(1)利用线面垂直的判定定理.(2)利用“两平行线中的一条与一平面垂直,则另一条也与这个平面垂

6、直”.(3)利用“一条直线垂直于两个平行平面中的一个,则该直线与另一个平面也垂直”.(4)利用面面垂直的性质定理.1-1 S是RtABC所在平面外一点,且SA=SB=SC,D为斜边AC的中点.(1)求证:SD面ABC;(2)若AB=BC,求证:BD面SAC.证明证明(1)如图所示,取AB的中点E,连接SE,DE,在RtABC中,D、E分别为AC、AB的中点,DEBC,DEAB,SA=SB,SAB为等腰三角形,SEAB.又SEDE=E,AB面SDE.又SD面SDE,ABSD.在SAC中,SA=SC,D为AC的中点,SDAC.又ACAB=A,SD面ABC.(2)由于AB=BC,则BDAC,由(1)

7、知,SD面ABC,又BD面ABC,SDBD,又SDAC=D,BD面SAC.典例典例2如图,四边形ABCD是平行四边形,平面AED平面ABCD,EFAB,AB=2,BC=EF=1,BAD=60,G为BC的中点.(1)求证:FG平面BED;(2)求证:平面BED平面AED.考点二平面与平面垂直的判定与性质考点二平面与平面垂直的判定与性质证明证明(1)取BD的中点O,连接OE,OG.在BCD中,因为G是BC的中点,所以OGDC且OG=DC=1,又因为EFAB,ABDC,EF=1,所以EFOG且EF=OG,即四边形OGFE是平行四边形,所以FGOE.又FG 平面BED,OE平面BED,所以FG平面BE

8、D.12(2)在ABD中,AD=1,AB=2,BAD=60,由余弦定理可得BD=,进而ADB=90,即BDAD.又因为平面AED平面ABCD,BD平面ABCD,平面AED平面ABCD=AD,所以BD平面AED.又因为BD平面BED,所以平面BED平面AED.3方法技巧方法技巧面面垂直的证明方法(1)定义法:利用面面垂直的定义,即判定两平面所成的二面角为直二面角,将证明面面垂直问题转化为证明二面角的平面角为直角的问题.(2)定理法:利用面面垂直的判定定理,即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线,进而把问题转化成证明线线垂直加以解决.2-1如图所示,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD平面ABC

9、D,ABDC,PAD是等边三角形,已知AD=4,BD=4,AB=2CD=8.(1)设M是PC上的一点,证明:平面MBD平面PAD;(2)求四棱锥P-ABCD的体积.3解析解析(1)证明:在ABD中,AD=4,BD=4,AB=8,AD2+BD2=AB2.ADBD.又平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,BD平面ABCD,BD平面PAD.又BD平面MBD,平面MBD平面PAD.(2)过点P作POAD于O,平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,PO平面ABCD.即PO为四棱锥P-ABCD的高.3又PAD是边长为4的等边三角形,PO=4=2.在RtADB中,斜边AB上的

10、高为=2,此即为梯形ABCD的高.S梯形ABCD=2=12.VP-ABCD=122=24.3234 4 383482331333考点三平行与垂直的综合问题考点三平行与垂直的综合问题命题方向一平行与垂直关系的证明命题方向一平行与垂直关系的证明典例典例3如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为AB,BC的中点,点F在侧棱B1B上,且B1DA1F,A1C1A1B1.求证:(1)直线DE平面A1C1F;(2)平面B1DE平面A1C1F.证明证明(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C1AC.在ABC中,因为D,E分别为AB,BC的中点,所以DEAC,于是DEA1C1.又因为DE 平面

11、A1C1F,A1C1平面A1C1F,所以直线DE平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A平面A1B1C1.因为A1C1平面A1B1C1,所以A1AA1C1.又因为A1C1A1B1,A1A平面ABB1A1,A1B1平面ABB1A1,A1AA1B1=A1,所以A1C1平面ABB1A1.因为B1D平面ABB1A1,所以A1C1B1D.又因为B1DA1F,A1C1平面A1C1F,A1F平面A1C1F,A1C1A1F=A1,所以B1D平面A1C1F.因为直线B1D平面B1DE,所以平面B1DE平面A1C1F.典例典例4如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是矩形,AD=2AB,

12、SA=SD,SAAB,N是棱AD的中点.(1)求证:AB平面SCD;(2)求证:SN平面ABCD;(3)在棱SC上是否存在一点P,使得平面PBD平面ABCD?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.SPPC命题方向二平行与垂直关系中的探索性问题命题方向二平行与垂直关系中的探索性问题解析解析(1)证明:因为ABCD是矩形,所以ABCD,又因为AB 平面SCD,CD平面SCD,所以AB平面SCD.(2)证明:因为ABSA,ABAD,SAAD=A,所以AB平面SAD,又因为SN平面SAD,所以ABSN.因为SA=SD,且N为AD的中点,所以SNAD.又因为ABAD=A,所以SN平面ABCD.(3)在

13、棱SC上存在一点P,使得平面PBD平面ABCD.理由:如图,连接BD交NC于点F,在SNC中,过F作FPSN,交SC于点P,连接PB,PD.因为SN平面ABCD,所以FP平面ABCD.又因为FP平面PBD,所以平面PBD平面ABCD.在矩形ABCD中,因为NDBC,且N为AD的中点,所以=.在SNC中,因为FPSN,所以=.所以在棱SC上存在一点P,使得平面PBD平面ABCD,此时=.NFFCNDBC12NFFCSPPC12SPPC12方法技巧方法技巧平行与垂直的综合应用问题的处理策略(1)探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明,探索点存在问题,点多为中点或三等分点中的某一个,也可以根据相似知识取点.(2)折叠问题中的平行与垂直关系的处理关键是结合图形弄清折叠前后变与不变的数量关系及位置关系.3-1如图,在四棱锥P-ABCD中,ABCD,ABAD,CD=2AB,平面PAD底面ABCD,PAAD.E和F分别是CD和PC的中点.求证:(1)PA底面ABCD;(2)BE平面PAD;(3)平面BEF平面PCD.证明证明(1)因为平面PAD底面ABCD,且PA垂直于这两个平面的交线AD,所以PA底面ABCD.(2)因为ABCD,CD=2AB,E为CD的中点,所以ABDE,且AB=DE.所以四边形ABED