第七章非线性系统2

1、自动化与电气工程学院自动化与电气工程学院College of Automation and Electrical EngineeringCollege of Automation and Electrical Engineering抓服务, 促教学, 兴科研! 第七章第七章 非线性系统非线性系统自动化与电气工程学院自动化与电气工程学院College of Automation and Electrical EngineeringCollege of Automation and Electrical Engineering抓服务, 促教学, 兴科研! 第七章第七章 非线性系统非线性系统 7 7

2、1 1 非线性系统的基本概念非线性系统的基本概念一、概述一、概述 当当系统中所有元件都具有线性的输入输出关系时，它就系统中所有元件都具有线性的输入输出关系时，它就是线性系统，否则就是非线性系统。线性系统和非线性系统是线性系统，否则就是非线性系统。线性系统和非线性系统在输入输出特性上的本质区分是前者具有在输入输出特性上的本质区分是前者具有叠加性和齐次性，叠加性和齐次性，而后者则不具有这些性质。而后者则不具有这些性质。 系系统在以下两种条件下工作时，可按线性系统来处理，统在以下两种条件下工作时，可按线性系统来处理，一是系统中的非线性因素对系统的工作影响极小，完全可以一是系统中的非线性因素对系统的工

3、作影响极小，完全可以忽略不计忽略不计，二，二是系统具有非线性的性质，但在某些限制条件是系统具有非线性的性质，但在某些限制条件下，如在某一工作点上工作，输入小信下，如在某一工作点上工作，输入小信号号。3自动化与电气工程学院抓服务, 促教学, 兴科研! 如如果果系统的非线性因素既不能忽略，又不符合线性化处理系统的非线性因素既不能忽略，又不符合线性化处理的条件，的条件，则就要按非线性系统的概念来进行讨论了则就要按非线性系统的概念来进行讨论了。本。本章介绍章介绍的描述函数法和相平面的描述函数法和相平面法法。 系系统的非线性一般会对系统的工作产生不利的影响，但在统的非线性一般会对系统的工作产生不利的影响

4、，但在某些情况下，人为地使系统非线性也可以使控制系统结构简化某些情况下，人为地使系统非线性也可以使控制系统结构简化而又改善系统的某些性能。因此正确运用非线性系统的概念，而又改善系统的某些性能。因此正确运用非线性系统的概念，在系统没计中也是至关重要的。在系统没计中也是至关重要的。 4自动化与电气工程学院抓服务, 促教学, 兴科研! 二、典型非线性特性二、典型非线性特性 1 1死区死区( (不灵敏区不灵敏区) )特性特性 输输入在低于某值时无输出。入在低于某值时无输出。例如测速发电例如测速发电机的输出电压与输入转速应成正比，但由机的输出电压与输入转速应成正比，但由于有电刷压降的存在，只有在转速超过

5、某于有电刷压降的存在，只有在转速超过某一值后，才会有电压的输出，形成了一定一值后，才会有电压的输出，形成了一定的转速、电压关系的死区。二极管正向开的转速、电压关系的死区。二极管正向开放电压、机械运动中的静摩擦等都能产生死区。放电压、机械运动中的静摩擦等都能产生死区。 死死区的存在会使系统的稳态误差增大，在调速系统中使区的存在会使系统的稳态误差增大，在调速系统中使低速运动的不平滑性增大。低速运动的不平滑性增大。5自动化与电气工程学院抓服务, 促教学, 兴科研! 2 2饱和特性饱和特性 饱和特性的输入输出关系如图饱和特性的输入输出关系如图7 72 2，有时为简化，可把它近似为理想饱和特性，即由两条

6、有时为简化，可把它近似为理想饱和特性，即由两条直线来表示。也就是说，直线来表示。也就是说，当输入低于某值时，输出与当输入低于某值时，输出与输入成正比，而当输入超过此值后，输出就保持定值输入成正比，而当输入超过此值后，输出就保持定值而不再变化。而不再变化。例如电机的磁化特性曲线，线性放大器例如电机的磁化特性曲线，线性放大器设置限幅时都具有这种饱和特性。设置限幅时都具有这种饱和特性。6自动化与电气工程学院抓服务, 促教学, 兴科研! 3 3间隙间隙( (回环回环) )特性特性 输输出在输入增加、出在输入增加、减少时与输入成不同的直线关减少时与输入成不同的直线关系系, ,即即输出不输出不仅与输入量的

7、大小有关，而且还与输入量的仅与输入量的大小有关，而且还与输入量的变化状态有关。变化状态有关。4 4继电特性继电特性 它相当于上述三它相当于上述三种特性种特性的综合：的综合：输出存在死区，输出存在死区，当输入达某值时，输出立即跃变当输入达某值时，输出立即跃变为定值，相当于饱和，而在输出为定值，相当于饱和，而在输出饱和区中又存在回环。饱和区中又存在回环。7自动化与电气工程学院抓服务, 促教学, 兴科研! 5 5变增益特性变增益特性 在在输入信号不同范围输入信号不同范围时，元件或系统的增益也不同，时，元件或系统的增益也不同，小信号时小信号时增益低，大信号时增益高增益低，大信号时增益高( (当然也可以

8、相当然也可以相反反) )。 这这种特性一般是人为设置的，可以用来影响系统的性能；种特性一般是人为设置的，可以用来影响系统的性能；还可以起抑制高频低振幅噪音的作用。还可以起抑制高频低振幅噪音的作用。8自动化与电气工程学院抓服务, 促教学, 兴科研! 三、非线性系统的工作特点三、非线性系统的工作特点 描描述非线性系统运动过程的数学模型是非线性微分方程，述非线性系统运动过程的数学模型是非线性微分方程，它它不能使用叠加原不能使用叠加原理理。非线性系统的运动规律也与线性系统非线性系统的运动规律也与线性系统有许多不同之处。例如有许多不同之处。例如 (1)(1)线性系统的稳定性只取决于系统的结构和参数，而与

9、输线性系统的稳定性只取决于系统的结构和参数，而与输入信号的大小及系统的初始条件无关。但入信号的大小及系统的初始条件无关。但非线性系统的稳定非线性系统的稳定性，除了和系统的结构和参数有关外，还与输入信号的大小性，除了和系统的结构和参数有关外，还与输入信号的大小及系统的初始条件有关及系统的初始条件有关。9自动化与电气工程学院抓服务, 促教学, 兴科研! (2)(2)线性系统暂态过程的形式与初始条件或外作用的大小无线性系统暂态过程的形式与初始条件或外作用的大小无关，如果线性系统在某一初始条件或某一输入幅值下的时间关，如果线性系统在某一初始条件或某一输入幅值下的时间响应是衰减振荡的形式，那么它在任何初

10、始条件或同一形式响应是衰减振荡的形式，那么它在任何初始条件或同一形式输入的任何幅值下的时间响应将仍是衰减振荡的形式。对于输入的任何幅值下的时间响应将仍是衰减振荡的形式。对于非线性系统，它的暂态过程的形式与初始条件有关。非线性系统，它的暂态过程的形式与初始条件有关。 10自动化与电气工程学院抓服务, 促教学, 兴科研!(3)(3)定常线性系统在没有外作用时，只有在阻尼系数定常线性系统在没有外作用时，只有在阻尼系数0 0时才可能发生等幅的周期振荡，而实际上，任时才可能发生等幅的周期振荡，而实际上，任何真实的物理系统都存在不同程度的阻尼，即阻尼何真实的物理系统都存在不同程度的阻尼，即阻尼系数不可能为

11、零。退一步说，即使系统能达到系数不可能为零。退一步说，即使系统能达到0 0的临界状态，由于各种扰动，等幅的周期振荡也是的临界状态，由于各种扰动，等幅的周期振荡也是不可能维持的。不可能维持的。对于非线性系统，在没有外作用时，对于非线性系统，在没有外作用时，也可能会产生频率、振幅不变的稳定的周期运动也可能会产生频率、振幅不变的稳定的周期运动，而且在系统参数一定的变化范围内仍能维持。而且在系统参数一定的变化范围内仍能维持。11自动化与电气工程学院抓服务, 促教学, 兴科研!这种产生于非线性系统内部的稳定的周期运动，这种产生于非线性系统内部的稳定的周期运动，叫做自振荡或叫做自振荡或自持振荡自持振荡，简

12、称自振。通常认为，简称自振。通常认为自振是不好的，强烈的自振会对系统起破坏作自振是不好的，强烈的自振会对系统起破坏作用。但是，自振也被用来改善系统的某些性能，用。但是，自振也被用来改善系统的某些性能，如用高频小振幅的颤振克服摩擦和间隙等的影如用高频小振幅的颤振克服摩擦和间隙等的影响。自振问题是研究非线性系统的重要内容之响。自振问题是研究非线性系统的重要内容之一。一。12自动化与电气工程学院抓服务, 促教学, 兴科研! (4)(4)线性系统在正弦输入下的输出是同频率的线性系统在正弦输入下的输出是同频率的正弦函数。而非线性系统在正弦输入下的输出是正弦函数。而非线性系统在正弦输入下的输出是比较复杂的

13、，它可以包含高次谐波，系统可能产比较复杂的，它可以包含高次谐波，系统可能产生除与输入频率相同的振荡外，还会产生其它频生除与输入频率相同的振荡外，还会产生其它频率的振荡。当输入频率由小到大变化时，其率的振荡。当输入频率由小到大变化时，其幅频幅频的数值可能会发生跳跃式的突变，的数值可能会发生跳跃式的突变，出现所谓出现所谓跳跃跳跃谐振和多值响应。谐振和多值响应。13自动化与电气工程学院抓服务, 促教学, 兴科研!7 72 2 相平面法相平面法二阶非线性系统解的轨迹能用平面上的曲线表示，因此非二阶非线性系统解的轨迹能用平面上的曲线表示，因此非线性系统的许多概念都能有简单、明确的几何解释。线性系统的许多

14、概念都能有简单、明确的几何解释。相平面相平面法是一种求解二阶非线性方程的图解方法，法是一种求解二阶非线性方程的图解方法，是状态空间法在是状态空间法在二维空间情况下的应用。用这种方法不但能判定非线性系统二维空间情况下的应用。用这种方法不但能判定非线性系统的稳定性，还可以给出系统的时间响应。的稳定性，还可以给出系统的时间响应。14自动化与电气工程学院抓服务, 促教学, 兴科研! 设二阶系统的微分方程为设二阶系统的微分方程为 若若a a1 1 、a a2 2是是的函数，那么微分方程就是非线性的。取两的函数，那么微分方程就是非线性的。取两个个状态变量状态变量 ，则二阶系统可用如下两个一阶微，则二阶系统

15、可用如下两个一阶微分方程来表示，即分方程来表示，即 021xaxax ; 21xxxx1221221xaxaxxx 当当t t变化时，以解出的变化时，以解出的1 1为横坐标为横坐标;2 2为纵坐标为纵坐标绘出的轨迹称为状态平面绘出的轨迹称为状态平面轨迹。对于轨迹。对于 这种特定形式的状态这种特定形式的状态平面，称为相平面。对应的轨迹称为相轨迹。某系统的相轨迹平面，称为相平面。对应的轨迹称为相轨迹。某系统的相轨迹如图如图7 76 6所示。所示。由于由于 即为系统的输出量，即为系统的输出量，因此，从图中因此，从图中可以看出，该系统是衰减振荡的，最终系统输出为零。故系统可以看出，该系统是衰减振荡的，

16、最终系统输出为零。故系统稳定。也就是说，相轨迹包含了二阶非线性系统的时间响应的稳定。也就是说，相轨迹包含了二阶非线性系统的时间响应的许多信息。只要绘出了相轨迹，就可以对二阶非线性系统进行许多信息。只要绘出了相轨迹，就可以对二阶非线性系统进行时域分析了。时域分析了。21xx 1xx 15自动化与电气工程学院抓服务, 促教学, 兴科研!下面将讨论如何由已知非线性微分方程画出相轨迹的方法。下面将讨论如何由已知非线性微分方程画出相轨迹的方法。 二、相轨迹的绘制方法二、相轨迹的绘制方法 根据已知系统的初始条件和微分方程，绘制系统相轨迹的方根据已知系统的初始条件和微分方程，绘制系统相轨迹的方法可以是解析法

17、和图解法。对于可以对微分方程实行分段积分法可以是解析法和图解法。对于可以对微分方程实行分段积分的非线性系统，应用解析法是方便的，这实质上是非钱性系统的非线性系统，应用解析法是方便的，这实质上是非钱性系统的分段线性化，但这究竟是属于少数的情况。就一的般非线性的分段线性化，但这究竟是属于少数的情况。就一的般非线性系统而言，常需要用图解法来绘制相轨迹。图解法常用的方法系统而言，常需要用图解法来绘制相轨迹。图解法常用的方法有两种、即等倾线法和有两种、即等倾线法和法。本书只介绍法。本书只介绍等倾线法。等倾线法。 设巳知系统微分方程为设巳知系统微分方程为 如前所述，取两个状态变量如前所述，取两个状态变量

18、，则，则状态方程为状态方程为021xaxax ）（17 ),(211221221xxfxaxaxxx ; 21xxxx16自动化与电气工程学院抓服务, 促教学, 兴科研!将以上两个状态方程相除，可以得到下式将以上两个状态方程相除，可以得到下式很显然这是很显然这是相轨迹的斜率相轨迹的斜率，从其关系式可知，从其关系式可知，相轨迹的斜相轨迹的斜率完全取决于它的微分方程，率完全取决于它的微分方程，因此不同的系统有不同的相轨因此不同的系统有不同的相轨迹，与线性系统的根轨迹、频率特性一样，迹，与线性系统的根轨迹、频率特性一样，相轨迹完全反映相轨迹完全反映系统的特性。系统的特性。根据式（根据式（7-27-2

19、）可以得到）可以得到绘制相轨迹的方法。绘制相轨迹的方法。若要绘制从初若要绘制从初始状态开始的相轨迹，只要始状态开始的相轨迹，只要把状态变量值代入式（把状态变量值代入式（7-27-2）算出）算出该点相轨迹的斜率，该点相轨迹的斜率，由于在小范围内，曲线的切线与曲线是由于在小范围内，曲线的切线与曲线是重合的，因此重合的，因此沿着该点的切线画一小段，沿着该点的切线画一小段，这段也近似为相轨这段也近似为相轨迹上的一小段，迹上的一小段，得到新的状态变量值后，重复以上步骤得到新的状态变量值后，重复以上步骤就可就可绘出系统的相轨迹了。绘出系统的相轨迹了。 xoBoxxoBox分析软件包含了用上述方法编制的绘制

20、相轨迹子程序分析软件包含了用上述方法编制的绘制相轨迹子程序，下面举一个例子来说明相轨迹的绘制方法及，下面举一个例子来说明相轨迹的绘制方法及xoBoxxoBox软件绘制软件绘制相轨迹子程序的使用方法。相轨迹子程序的使用方法。）（27 ),(2211212xxxfdxdxxx17自动化与电气工程学院抓服务, 促教学, 兴科研!例例7-1 7-1 非线性系统如图非线性系统如图7 77 7所示，绘制相轨迹。所示，绘制相轨迹。 解解 系统线性部分的微分方程为系统线性部分的微分方程为 系统非线性部分特性为系统非线性部分特性为 为使系统的平衡点移至相平面原点为使系统的平衡点移至相平面原点, ,可令可令 则可

21、得到则可得到于是有于是有creydtdcdtcd 221 , 111 , 01 , 1)(eeeefyexexecr21 , , , 0 )(21221xxfxxx18自动化与电气工程学院抓服务, 促教学, 兴科研!用用xoBoxxoBox软件绘制相轨迹非常简单，只需输入非线性特性的软件绘制相轨迹非常简单，只需输入非线性特性的特征值、线性部分的传递函数及初始状态值即可。上例用特征值、线性部分的传递函数及初始状态值即可。上例用xoBoxxoBox软件绘制的相轨迹与图软件绘制的相轨迹与图7-87-8一样。由图可知，系统稳定，一样。由图可知，系统稳定，并且无振荡。稳态误差并且无振荡。稳态误差0.05

22、 0.05 。 7 73 3 描述函数法描述函数法一、概述一、概述如果非线性系统的阶数高于二阶则相轨迹法不再适用，对如果非线性系统的阶数高于二阶则相轨迹法不再适用，对此可以用描述函数法进行分析。此可以用描述函数法进行分析。 22112)(xxxfdxdx 初始状态确定后，例如初始状态确定后，例如 ，将状态变量值代入上式就可开始绘图，将状态变量值代入上式就可开始绘图了，由于非线性特性了，由于非线性特性f f(e)(e)有三种可能的值，有三种可能的值，因此在计算斜率时，要根据因此在计算斜率时，要根据1 1的大小正的大小正确选用确选用f f(e)(e)三种取值中的一个。绘出的相三种取值中的一个。绘出

23、的相轨迹如图轨迹如图7-8 7-8 例例7-17-1的相轨迹所示。的相轨迹所示。0 , 3 , 02010 xxr19自动化与电气工程学院抓服务, 促教学, 兴科研! 7 73 3 描述函数法描述函数法一、概述一、概述如果非线性系统的阶数高于二阶则相轨迹法不再适如果非线性系统的阶数高于二阶则相轨迹法不再适用，对此可以用描述函数法进行分析。用，对此可以用描述函数法进行分析。 对于线性元件或系统，当输入正弦函数时，它的对于线性元件或系统，当输入正弦函数时，它的输出也是正弦函数，而且频率完全相同，输出与输输出也是正弦函数，而且频率完全相同，输出与输入的幅值比和相位差是频率的函数，它也就是元件入的幅值

24、比和相位差是频率的函数，它也就是元件或系统的频率特性。线性元件或系统的频率特性与或系统的频率特性。线性元件或系统的频率特性与输入函数的幅值无关。输入函数的幅值无关。20自动化与电气工程学院抓服务, 促教学, 兴科研!非非线性元件输入正弦函数时，它的输出将是一个周期函数线性元件输入正弦函数时，它的输出将是一个周期函数，除了有和输入相同频率的正弦函数外，还存在其它频率的，除了有和输入相同频率的正弦函数外，还存在其它频率的所谓谐波成分。按照谐波分析的方法，可以把输出分解为和所谓谐波成分。按照谐波分析的方法，可以把输出分解为和输入同频率的基波和其它频率的谐波。如果现在输入同频率的基波和其它频率的谐波。

25、如果现在忽略各次谐忽略各次谐波，只讨论输出的基波正弦函数与输入正弦函数的关系，波，只讨论输出的基波正弦函数与输入正弦函数的关系，这这就是谐波线性化的基本出发点。在这种情况下，同样可以讨就是谐波线性化的基本出发点。在这种情况下，同样可以讨论非线性元件输出与输入正弦函数的幅值比和相位差，论非线性元件输出与输入正弦函数的幅值比和相位差，但这但这个幅值比和相位差与输入正弦函数的幅值有个幅值比和相位差与输入正弦函数的幅值有关，或者说它是关，或者说它是输入幅值的函数。如果用复数来表示输入幅值的函数。如果用复数来表示幅值比和相位差与输入幅值比和相位差与输入幅值的函数关系，幅值的函数关系，那么这个复变函数就称

26、为那么这个复变函数就称为非线性元件的描非线性元件的描述函数。述函数。21自动化与电气工程学院抓服务, 促教学, 兴科研! 综综上所述，若把描述函数用复函数表示出来，它的幅值等上所述，若把描述函数用复函数表示出来，它的幅值等于非线性元件输出信号的基波分量的幅值与输入正弦信号的于非线性元件输出信号的基波分量的幅值与输入正弦信号的幅值之比，它的相角等于上述两个正弦函数的相角差，即幅值之比，它的相角等于上述两个正弦函数的相角差，即22自动化与电气工程学院抓服务, 促教学, 兴科研!式中式中 N(X)N(X)非线性元件的描述函数，非线性元件的描述函数， X X正弦输入信号的幅值，正弦输入信号的幅值， X

27、 Xc1c1非线性元件输出信号基波分量的幅值非线性元件输出信号基波分量的幅值 1 1非线性元件输出信号基波分量与输入正弦信非线性元件输出信号基波分量与输入正弦信号的相位差。号的相位差。描述函数一般为输入信号幅值的函数。描述函数一般为输入信号幅值的函数。二、描述函数的计算二、描述函数的计算 设非线性元件的设非线性元件的输入为输入为 ，输出，输出c c为周期函数，为周期函数，则可将它展开则可将它展开为为傅立傅立叶叶级级数形式为数形式为 tXxr sin0101( )(cos sin ) sin( ) 7-4cnnncnnnx tAAntBntAXnt（）11() 7-3jcXN XeX（）23自动

28、化与电气工程学院抓服务, 促教学, 兴科研!式中式中 考考虑一般的非线性特性都是奇对称的，故虑一般的非线性特性都是奇对称的，故A A0 00 0，再忽略式，再忽略式（7-47-4）中的高次谐波，可得）中的高次谐波，可得输出信号的基波分量为输出信号的基波分量为200 )(21tdtxAc3 , 2 , 1 sin)(1 cos)(1222020nBAarctgBAXttdntxBttdntxAnnnnncncncn）（5-7 ) sin( sin cos)(11111tXtBtAtxcc0101( )(cos sin ) sin( ) 7-4cnnncnnnx tAAntBntAXnt（）24自

29、动化与电气工程学院抓服务, 促教学, 兴科研!式式中中 于于是可得到是可得到非线性环节的描述函数为非线性环节的描述函数为201 cos)(1ttdtxAc210210221111111( )cos 1( )sin cccAx ttdtBx ttdtXABAarctgB）（6-7 )(1 )(11 21211111jABXeXBAeXXXNBAjarctgjc11111( )cos sin sin( ) 7-5ccxtAtBtXt（）25自动化与电气工程学院抓服务, 促教学, 兴科研! 求非线性环节的描述函数时，必须求非线性环节的描述函数时，必须先先求非线性环节的正弦响应函数求非线性环节的正弦响

30、应函数c c（t t），），然后再把然后再把c c（t t）按傅立叶级按傅立叶级数展开数展开即即可。可。 下面通过求图下面通过求图7-9 7-9 所示饱和特所示饱和特性的描述函数来进一步说明求取描述函性的描述函数来进一步说明求取描述函数的方法。数的方法。饱和特性的数学表达式为饱和特性的数学表达式为 axxsignkaaxkxxrrrrc XatkatttkXxcarcsin - , 0 sin 令输入令输入 ，则环节的，则环节的正弦响应函数正弦响应函数c c为为tXxr sin26自动化与电气工程学院抓服务, 促教学, 兴科研!将将c c按富氏级数展开，由于饱和特性是单值奇对称的，故。按富氏级

31、数展开，由于饱和特性是单值奇对称的，故。 而而饱和特性的描述函数为饱和特性的描述函数为0, 0, 0110AA20220201 sin 4 sin 4 sin)( 4 sin)(1ttdkattdkXttdtxttdtxBcc21arcsin2XaXaXakX 1arcsin2 )(1 )(2111aXXaXaXakXBjABXXN27自动化与电气工程学院抓服务, 促教学, 兴科研!27用描述函数分析非线性系统的性能用描述函数分析非线性系统的性能非线性系统典型结构非线性系统典型结构描述函数负倒数：1N X 假设非线性系统的线性部分传递函数G(s)为开环稳定，在同一平面上画出G(j)曲线和-1/

32、N（X）曲线若-1/N（X）曲线没有被G(j)曲线包围，则系统是稳定的28自动化与电气工程学院抓服务, 促教学, 兴科研!若-1/N（X）曲线被G(j)曲线包围，则系统是不稳定的29自动化与电气工程学院抓服务, 促教学, 兴科研!若-1/N（X）曲线与G(j)曲线相交，则系统中可能会产生自激振荡，即系统中有极限环存在。30自动化与电气工程学院抓服务, 促教学, 兴科研!非线性系统自激振荡的分析 非线性系统自激振荡的稳定性可根据交点处-1/N(X)曲线和G(j)曲线的相对走向确定 如果在交点处，-1/N(X)曲线当幅值X增大时，向G(j)曲线包围区域内移动，则该点的自激振荡是不稳定的；反之，若当

33、X增大时，-1/N(X)曲线向G(j)曲线包围区域以外运动，则该点的自激振荡是稳定的。 自激振荡的参数（振幅与频率）由两曲线的交点确定31自动化与电气工程学院抓服务, 促教学, 兴科研!式中式中XaXa系统才会进入饱和区，否则系统始终在线性区内工作，系统才会进入饱和区，否则系统始终在线性区内工作，再求描述函数就没有意义了。再求描述函数就没有意义了。 实际应用中，常将描述函数表示为实际应用中，常将描述函数表示为X/aX/a的函数，并将其中与的函数，并将其中与线性部分增益有相同作用的参量线性部分增益有相同作用的参量K Kn n分离出来。于是有分离出来。于是有 习惯上将习惯上将 称为相对描述函数。称

34、为相对描述函数。 分析非线性系统时，为了与系统线性部分相配合使用线性分析非线性系统时，为了与系统线性部分相配合使用线性理论的某些结论，经常用到理论的某些结论，经常用到“负倒相对描述函数负倒相对描述函数 ”的的形式，并将其写成幅相特性的形式，即形式，并将其写成幅相特性的形式，即 与线性系统一样，对上式的幅值取对数，还可以绘出对数与线性系统一样，对上式的幅值取对数，还可以绘出对数幅相特性曲线图，这样分析非线性系统就更加方便了。幅相特性曲线图，这样分析非线性系统就更加方便了。kKaXNKaXNXNnn )/()/()(0 )/(0aXN )/(10aXN)/()/(1 )/(1000aXNjeaXN

35、aXN32自动化与电气工程学院抓服务, 促教学, 兴科研! 但是，应该强调的是，但是，应该强调的是，描述函数虽然可以写成与频率特性类描述函数虽然可以写成与频率特性类似的形式，但其变量不是频率，而是非线性特性的参数及输入似的形式，但其变量不是频率，而是非线性特性的参数及输入正弦信号的幅值。正弦信号的幅值。 三、用描述函数分析非线性系统的性能三、用描述函数分析非线性系统的性能 设非线性系统可以分为非线性部分和线性部分。前面已经提设非线性系统可以分为非线性部分和线性部分。前面已经提到过，线性部分一般具有低通性质，故非线性部分在输入正弦到过，线性部分一般具有低通性质，故非线性部分在输入正弦函数后所产生

36、的高次谐波将被衰减，因此用频率特性法分析此函数后所产生的高次谐波将被衰减，因此用频率特性法分析此系统时，非线性元件用描述函数等效是可以的。在这种情况下系统时，非线性元件用描述函数等效是可以的。在这种情况下，非线性系统就可以表示为如图，非线性系统就可以表示为如图7-107-10的方框图。图中为非线性的方框图。图中为非线性元件的描述函数，元件的描述函数，G G0 0(j)(j)为线性部分的频率特性。为线性部分的频率特性。此系统的闭环频率特性为此系统的闭环频率特性为 故系统的故系统的闭环特征方程的频率函闭环特征方程的频率函数为数为 )()/(1)()/()(0000jGaXNKjGaXNKjGnn3

37、3自动化与电气工程学院抓服务, 促教学, 兴科研! 即即 如果如果 1 1，则系统就是线性的，此时的，则系统就是线性的，此时的 就就是系统的开环频率特性，根据奈氏稳定判据，如果开环稳定是系统的开环频率特性，根据奈氏稳定判据，如果开环稳定，则，则 曲线不包围曲线不包围(-1(-1，j0)j0)点时系统闭环稳定，点时系统闭环稳定，0)()/(100jGaXNKn)/(1)(00aXNjGKn)/(0aXN)(0jGKn)(0jGKn)(0jGKn曲线包围曲线包围(-1(-1，j0)j0)点时系统闭环不稳定。现在用点时系统闭环不稳定。现在用 代替代替了了1 1，那么可以利用同样的概念，可得，那么可以

38、利用同样的概念，可得非线性系统的奈氏稳非线性系统的奈氏稳定判据如下：定判据如下： 若线性部分开环频率特性若线性部分开环频率特性 是稳定的，则是稳定的，则 (1)(1)如果如果 曲线没有被曲线没有被 曲线所包围，那么非线曲线所包围，那么非线性系统是稳定的。性系统是稳定的。)/(10aXN)(0jGKn)/(10aXN)(0jGKn34自动化与电气工程学院抓服务, 促教学, 兴科研! (2)(2)如果如果 曲线被曲线被 曲线包围，那么非线性系统曲线包围，那么非线性系统是不稳定的。是不稳定的。 (3)(3)如果如果 曲线与曲线与 曲线相交，那么非线性系统曲线相交，那么非线性系统可能出现自持振荡。振荡

39、幅值由自持振荡点处上对应的可能出现自持振荡。振荡幅值由自持振荡点处上对应的X X值确值确定，振荡频率由自持振荡点处上对应的定，振荡频率由自持振荡点处上对应的确定。确定。)/(10aXN)/(10aXN)(0jGKn)(0jGKn35自动化与电气工程学院抓服务, 促教学, 兴科研!图图7-117-11绘出了三种可能出现的情况。其中，图绘出了三种可能出现的情况。其中，图a a）不包围，）不包围，故系统稳定。图故系统稳定。图b b）包围。故系统不稳定；图）包围。故系统不稳定；图c) c) )(0jGKn与与 曲线相交，系统出现自持振荡，其中交点曲线相交，系统出现自持振荡，其中交点a a是自持是自持振

40、荡点，假设由于某种原因，使周期振荡的振幅大于振荡点，假设由于某种原因，使周期振荡的振幅大于X Xa a, ,这时这时工作点将从工作点将从a a移到移到c c点，另一方面，点，另一方面， 将不包围将不包围 系系统进入稳定区，系统呈衰减振荡状态，振幅将逐步减小直至统进入稳定区，系统呈衰减振荡状态，振幅将逐步减小直至回到回到X Xa a，反之，假设由于某种原因，使周期振荡的振幅小于，反之，假设由于某种原因，使周期振荡的振幅小于X Xa a, ,这时工作点将从这时工作点将从a a移到移到d d点，另一方面，点，另一方面， 将包围将包围 系统进入不稳定区，系统呈增幅振荡状态，振幅将逐步增大系统进入不稳定

41、区，系统呈增幅振荡状态，振幅将逐步增大直至回到直至回到X Xa a，因此周期振荡点，因此周期振荡点a a点是稳定振荡点，我们把这样点是稳定振荡点，我们把这样的交点叫做自持振荡点。的交点叫做自持振荡点。 )(0jGKn)/(10aXN)/(10aXN)(0jGKn)/(10aXN36自动化与电气工程学院抓服务, 促教学, 兴科研! 同样的方法可以判断出交点同样的方法可以判断出交点b b点是不稳定的周期振荡点。假点是不稳定的周期振荡点。假设由于某种原因，使周期振荡的振幅大于设由于某种原因，使周期振荡的振幅大于X Xb b, ,这时工作点将从这时工作点将从b b移到移到e e点，另一方面，点，另一方

42、面， 将包围将包围 系统进入不稳定系统进入不稳定区，系统呈增幅振荡状态，振幅将逐步增大直至到达区，系统呈增幅振荡状态，振幅将逐步增大直至到达X Xa a，假，假设由于某种原因，使周期振荡的振幅小于设由于某种原因，使周期振荡的振幅小于X Xb b, ,这时工作点将从这时工作点将从b b移到移到f f点，另一方面，点，另一方面， 将包围将包围 系统进入稳定区，系统进入稳定区，系统呈衰减振荡状态，振幅将逐步减小直至到达零为止，因系统呈衰减振荡状态，振幅将逐步减小直至到达零为止，因此周期振荡点此周期振荡点b b点是不稳定振荡点。点是不稳定振荡点。 因此，判断自持振荡点的准则是：因此，判断自持振荡点的准

43、则是：负倒相对描述函数沿负倒相对描述函数沿X X增增大的方向从被大的方向从被 包围的不稳定区域穿出，则该交点就包围的不稳定区域穿出，则该交点就是自持振荡点。是自持振荡点。)/(10aXN)(0jGKn)(0jGKn)/(10aXN)(0jGKn37自动化与电气工程学院抓服务, 促教学, 兴科研! 例例7 72 2 已知系统方框图如图已知系统方框图如图7 712 12 所示。非线性元件为理想饱所示。非线性元件为理想饱和特性，它的参数为和特性，它的参数为a a2 2，K K1010。试分析此非线性系统的稳定性。试分析此非线性系统的稳定性。若若a a2 2，K K2020又将如何又将如何? ? 1a

44、rcsin21)/(120XaXaXaaXN 令令K Kn nK K1010，分别绘出，分别绘出 和和 的幅相特性曲线的幅相特性曲线如图如图7-137-13所示，从图中看出，所示，从图中看出， 不包围不包围 故系统稳定。故系统稳定。)/(10aXN)/(10aXN)(0jGKn)(0jGKn 解解 分析系统稳定性就要先求出非线性元件的负倒相对描述分析系统稳定性就要先求出非线性元件的负倒相对描述函数特和线性部分的幅相频率特性。理想饱和特性的负倒相对函数特和线性部分的幅相频率特性。理想饱和特性的负倒相对描述函数为描述函数为 38自动化与电气工程学院抓服务, 促教学, 兴科研! a a2 2，K K

45、n nK K2020时，如图中时，如图中K Kn n2020的幅相频率特性，从图中看的幅相频率特性，从图中看出，两条曲线相交，且沿着出，两条曲线相交，且沿着X X增增大的方向大的方向 从不稳定区穿出，从不稳定区穿出，故交点为自持振荡点，该点对应故交点为自持振荡点，该点对应的的X/aX/a1.551.55，X X3.13.1；7.1rad/s7.1rad/s，即自持振荡的振幅为，即自持振荡的振幅为3.13.1，振荡频率为，振荡频率为7.1rad/s7.1rad/s。)/(10aXN 7 74 4 非线性系统的仿真分析非线性系统的仿真分析通过前面几节的介绍，对非线性系统的基本概念及基本系通过前面几

46、节的介绍，对非线性系统的基本概念及基本系统方法有了基本的了解，从中也发现，要用上述方法分析非统方法有了基本的了解，从中也发现，要用上述方法分析非线性系统其实是非常困难的，并且分析结果的误差也很大。线性系统其实是非常困难的，并且分析结果的误差也很大。xoBoxxoBox分析软件把非线性环节与线性环节连接后再进行仿真，分析软件把非线性环节与线性环节连接后再进行仿真，就实现了非线性系统的仿真。下面就使用就实现了非线性系统的仿真。下面就使用xoBoxxoBox分析软件来分分析软件来分析各种非线性系统的特性。析各种非线性系统的特性。39自动化与电气工程学院抓服务, 促教学, 兴科研! 一、非线性系统结构

47、图的简化一、非线性系统结构图的简化 要讨论、分析非线性系统，需要将各种结构形式归化为要讨论、分析非线性系统，需要将各种结构形式归化为典典型结构，型结构，即其结构组成上均属即其结构组成上均属一个非线性部分与一个线性部一个非线性部分与一个线性部分串联分串联如图如图7-127-12所示，实际系统作出的原始结构图，并非完所示，实际系统作出的原始结构图，并非完全符合上述形式。为了应用相轨迹法、描述函数法或全符合上述形式。为了应用相轨迹法、描述函数法或xoBoxxoBox软软件分析系统的性能，需要将各种结构形式归化为典型结构。件分析系统的性能，需要将各种结构形式归化为典型结构。 在讨论相轨迹法时，只研究由

48、系统内部造成的周期运动，并在讨论相轨迹法时，只研究由系统内部造成的周期运动，并不考虑外作用。因此不考虑外作用。因此, ,结构图进行归化变换时，可以认为结构图进行归化变换时，可以认为所有所有外作用均为零，只考虑系统的封闭回路。外作用均为零，只考虑系统的封闭回路。 下面示例说明归化的一般方法。下面示例说明归化的一般方法。 两个并联的非线性两个并联的非线性部件，在部件，在结构归化时，可以结构归化时，可以将两个非线将两个非线性特性进行叠加，性特性进行叠加，如图如图7 71414所所示，一个继电特性和一个死区示，一个继电特性和一个死区特性并联，其等效的非线性特特性并联，其等效的非线性特性为具有跳变的死区

49、特性。性为具有跳变的死区特性。40自动化与电气工程学院抓服务, 促教学, 兴科研! 当当两个非钱性环节串联两个非钱性环节串联时，则可将两个环节的特性等效为一时，则可将两个环节的特性等效为一个特性，即第一个环节的输出为第二个环节的输入，个特性，即第一个环节的输出为第二个环节的输入，第一个环第一个环节的各种可能的输出作用于第二个环节后，第二个环节可能的节的各种可能的输出作用于第二个环节后，第二个环节可能的输出就是等效环节的特性曲线。输出就是等效环节的特性曲线。 图图7 71515表示了死区特性与带死区的继电特性相串联的等效表示了死区特性与带死区的继电特性相串联的等效非线性图形。非线性图形。 应当注

50、意，调换串联的前后次序，等效特性将会不同。因此应当注意，调换串联的前后次序，等效特性将会不同。因此不能随便更动位置，这一点是与线性环节的串联有所区别的。不能随便更动位置，这一点是与线性环节的串联有所区别的。41自动化与电气工程学院抓服务, 促教学, 兴科研! 如图如图7-167-16所示，非线性部分被线性所示，非线性部分被线性局部反馈所包围，如果只研究系统的局部反馈所包围，如果只研究系统的稳定性和自持振荡情况，可令稳定性和自持振荡情况，可令 ，则系统归化为典型结构形式了，这样则系统归化为典型结构形式了，这样就可直接使用相轨迹法或者描述函数就可直接使用相轨迹法或者描述函数法进行分析了。同样也法进

51、行分析了。同样也可用可用xoBoxxoBox软件软件对归化后的典型结构形式进行分析，对归化后的典型结构形式进行分析，只是这时只有关于系统稳定性及自持只是这时只有关于系统稳定性及自持振荡的信息是正确的，而暂、稳态指振荡的信息是正确的，而暂、稳态指标与未归化的系统是有差别的。标与未归化的系统是有差别的。 若非线性部分被线性局部反馈所包围，或者非线性部分和若非线性部分被线性局部反馈所包围，或者非线性部分和线性线性部分的位置不是典型结构形式。则可线性线性部分的位置不是典型结构形式。则可通过方框图的通过方框图的变换来将系统归化为典型结构形式。变换来将系统归化为典型结构形式。 0rxoBoxxoBox专业

52、版中，系统结构更加复杂，可以包含绝大多数系专业版中，系统结构更加复杂，可以包含绝大多数系统，这样分析非线性系统时就不需归化了，并且可像典型结统，这样分析非线性系统时就不需归化了，并且可像典型结构那样进行暂、稳态性能分析。构那样进行暂、稳态性能分析。42自动化与电气工程学院抓服务, 促教学, 兴科研! 其它系统均可用这种方法进行归化。需要指出的是，并不其它系统均可用这种方法进行归化。需要指出的是，并不是所有系统都能归化为典型结构形式，如多个线性部件和非是所有系统都能归化为典型结构形式，如多个线性部件和非线性部件相间排列，一般难于甚至无法归化为前述典型结构线性部件相间排列，一般难于甚至无法归化为前

53、述典型结构。用描述函数法对此类系统进行分析比较麻烦，只能采用计。用描述函数法对此类系统进行分析比较麻烦，只能采用计算机仿真分析，在此不赘述。算机仿真分析，在此不赘述。 二、饱和特性二、饱和特性 饱和特性对系统性能的影响与饱和特性对系统性能的影响与饱和特性的特征值斜率饱和特性的特征值斜率K K及饱和及饱和起始点起始点a a有关。有关。K K1, a11, a1，则，则系统为线性系统。当系统为线性系统。当a a一定时，一定时，斜率斜率K K越大，稳态精度越高，上越大，稳态精度越高，上升速度越快，但平稳性变差，升速度越快，但平稳性变差，K K过大，系统将进入自持振荡或不过大，系统将进入自持振荡或不稳

54、定状态。稳定状态。 43自动化与电气工程学院抓服务, 促教学, 兴科研!具有饱和环节系统的阶跃响应如图具有饱和环节系统的阶跃响应如图7-177-17所示。系统线性部所示。系统线性部分的传递函数为分的传递函数为 ，为，为0 0型系统，故稳态误差不为型系统，故稳态误差不为零，如图中曲线零，如图中曲线1 1所示。饱和环节斜率所示。饱和环节斜率K1K1时，相当于线性部时，相当于线性部分增益提高，故稳态误差减小，上升时间减小，分增益提高，故稳态误差减小，上升时间减小，增大，增大，图中曲线图中曲线2 2所示，这与增大开环增益的作用是一样的，后面的所示，这与增大开环增益的作用是一样的，后面的分析中不再讨论分

55、析中不再讨论K Kn n变化对系统性能的影响。若再使饱和起始变化对系统性能的影响。若再使饱和起始点点a1a1，则，则又会减小，并且稳态误差近似不变，图中曲线又会减小，并且稳态误差近似不变，图中曲线3 3所示。所示。根据以上分析，控制系统中，经常人为地加入饱和（输出根据以上分析，控制系统中，经常人为地加入饱和（输出限幅）环节，并限幅）环节，并取较大的开环增益，这样系统输出的上升速取较大的开环增益，这样系统输出的上升速度可以很快，当输出接近输入时，饱和特性起作用，对输出度可以很快，当输出接近输入时，饱和特性起作用，对输出进行强制限幅，从而时系统超调量不会很大进行强制限幅，从而时系统超调量不会很大，

56、做到了既迅速，做到了既迅速又平稳。又平稳。三、死区特性三、死区特性具有死区环节的非线性系统的阶跃响应如图具有死区环节的非线性系统的阶跃响应如图7-187-18所示。系所示。系统的线性部分是一个统的线性部分是一个1 1型二阶振荡环节，如图中型二阶振荡环节，如图中a a0 0 的曲线的曲线所示所示 ) 14)(12(8)(0sssG44自动化与电气工程学院抓服务, 促教学, 兴科研! 其单位阶跃输入时的稳态误其单位阶跃输入时的稳态误差为零。死区特性起作用后，差为零。死区特性起作用后，系统平稳性变化不大，但是，系统平稳性变化不大，但是，系统的上升时间、稳态误差却系统的上升时间、稳态误差却增大了许多。

57、如增大了许多。如 a a0.40.4的曲的曲线所示，稳态误差到达了线所示，稳态误差到达了30%30%左右。而如左右。而如a a0.60.6的曲线所示，的曲线所示，稳态误差到达了稳态误差到达了50%50%左右，且左右，且是负的误差，即输出稳态值大是负的误差，即输出稳态值大于输入量。于输入量。 需要指出的是，具有死区环节的非线性系统的稳态输出具需要指出的是，具有死区环节的非线性系统的稳态输出具有很大的不确定性，即有很大的不确定性，即K K，a a的微小变化，都会引起输出的巨的微小变化，都会引起输出的巨大变化，并且大变化，并且稳态误差的绝对值总是很大。稳态误差的绝对值总是很大。因此，死区特性因此，死

58、区特性对系统的响应多数是负面的，必须尽量削弱死区特性，即尽对系统的响应多数是负面的，必须尽量削弱死区特性，即尽量缩小死区的宽度。量缩小死区的宽度。45自动化与电气工程学院抓服务, 促教学, 兴科研! 系统阶跃响应如图系统阶跃响应如图7-197-19所示，其中线性部分传递函数为所示，其中线性部分传递函数为 曲线曲线1 1是无非线性环节时系统的影响曲线，由于是无非线性环节时系统的影响曲线，由于是是0 0型二阶系统，故稳态误差很大，加入变增益环节后，取型二阶系统，故稳态误差很大，加入变增益环节后，取K K1 11010，K K2 20.10.1，a a0.10.1，其阶跃响应曲线为图中曲线，其阶跃响

59、应曲线为图中曲线2 2。可。可以看出，稳态误差大幅降低，超调量也不是很大。这主要是以看出，稳态误差大幅降低，超调量也不是很大。这主要是因为在偏差较大时等效开环增益为因为在偏差较大时等效开环增益为K KK K2 2，减小了十倍，因此，减小了十倍，因此上升的加速度减小，故超调量减小，而进入稳态后等效开环上升的加速度减小，故超调量减小，而进入稳态后等效开环增益为增益为K KK K1 1，增加了十倍，故稳态误差减小，增加了十倍，故稳态误差减小。) 14)(14(2)(0sssG 四、变增益特性四、变增益特性 变增益特性对系统的影响与线变增益特性对系统的影响与线性系统中开环增益变化对系统的性系统中开环增

60、益变化对系统的影响差不多。影响差不多。K K1 1是偏差是偏差e e较小时较小时的增益，的增益，增大增大K K1 1可以提高稳态精可以提高稳态精度；度；K K2 2是偏差较大时的增益，减是偏差较大时的增益，减小小K K2 2可以提高系统平稳性。可以提高系统平稳性。变增变增益益46自动化与电气工程学院抓服务, 促教学, 兴科研!五、间隙特性五、间隙特性通过大量的仿真，发现间隙特性的存在必然使系统出现自通过大量的仿真，发现间隙特性的存在必然使系统出现自持振荡，振荡的振幅与间隙持振荡，振荡的振幅与间隙a a的大小有关，的大小有关，间隙越小，振幅越间隙越小，振幅越小。小。改变斜率改变斜率K K只能改变