六大数学思想之五：特殊与一般_最新修正版

1、最新修正版高中数学六大思想之五：特殊与一般1 .什么是特殊化思想：对于某个一般性的数学问题，如果一时难以解决，那么可以先解决它的特殊情况，即从 研究对象的全体转变为研究属于这个全体中的一个对象或部分对象，然后再把解决特殊情况 的方法或结论应用或者推广到一般问题上，从而获得一般性问题的解答，这种用来指导解决 问题的思想称之为特殊化思想.2 .什么是一般化思想：当我们遇到某些特殊问题很难解决时，不妨适当放宽条件，把待处理的特殊问题放在一 个更为广泛、更为一般的问题中加以研究，先解决一般情形，再把解决一般情形的方法或结 果应用到特殊问题上，最后获得特殊问题的解决，这种用来指导解决问题的思想称之为一般

2、 化思想.特殊与一般的思想方法主要表现在如下几方面：1 .特殊问题一般化：在解决数学问题的过程中，我们思考一个问题，有时可以跳出它的范围去思考比它更一 般的问题，有时一般的问题比特殊的问题更易于解决或解决了一般的问题就得到了许多类似 问题的结果.因此只要解决了一般性的问题，特殊性的问题也就迎刃而解了 .espl :求 证： sin70 +sin10 >sin100 >sin70 -sin10 .【分析】 此题按照一般解法去做，要分别证明两个不等式.经观察发现，此题中涉及的三个角之和恰为1 8 0 °,这提醒我们将问题放到三角形中研究，所证问题转化为：sinA+sinB&g

3、t;sinC>sinA-sinB.而三角形中最常用的不等关系就是 主角形两边之和大于第三边” 和主角形两边之差小于第三边”，实现边角关系相互转化的常用工具是 正弦定理”和余弦定 理：解： 在AABC中，设/A、/B、/C的对边分别是a、b、c,则得 a+b>c>a-b.口 _ b _ .由正弦定理得门4=k- =k ,故 ksin A + ksinB>ksinC>ksinA-ksinB ,sinA+sinB>sinC>sinA-sinB.特殊地：将人=7 0°、B = 1 0 °、C = 1 0 0。代入上面的不等式即得所求证的结论

4、2 . 一般问题特殊化：esp2:如图1 ,在多面体AB CD EF中，已知面A B C D是边长3的正方形，E F /AB, EF与面AC的距离为2,则该多面体的体积可能为（解：本题的图形是多面体，需要对其进行必要的分割 .连EB、EC,得四棱锥E AB CD和三棱锥E BCF ,这当中，四棱锥E ABCD的体积易求3X 3 X 3 X 2 = 6 ,又因为一个几何体积的体积应大于它的部分体积，所以不必计算三棱锥E BCF的体积，就可以排除A, B, C,故选D.3 .特殊问题特殊化:对具体的问题，给出另一种解释，其目的是为了使问题中的对象进入某一领域，以便利 用此领域的知识及方法来解决给定

5、的问题Cfl GTesp3:求函数的最大值与最小值.般解法：:对一切x安，2 sinx为都成立,.函数的定义域为R .一 匚口红X= 2-sirx二,函数的定义域为R ,.函数的最大值与最小值分别为:特殊解法：把函数值看成由点A （2, 0）和点P （ sinx, -cosx）构成直线的斜率由图易求函数的最大值与最小值分别为VT4 .取特殊数值:esp4 : （2008重庆卷，理6）若定义在月上的函数 八月）满足：对任意1c匕匚及有“则下列说法一定正确的是（A）为奇函数（B） ”为偶函数（C） ,八）+1为奇函数（D） /（f）+i为偶函数分析：判断函数的奇偶性需要用定义,即找小）与小）之间的

6、关系，由于"（7”。所以需要先求出“0）的值，这时需要取特殊值、三工一口解答。罚三。' 得 /(0)1' 令 K1=K,三=T 彳寸 /(J)+/(-.¥)- -2/（7）+1 一工卜丁 八力1为奇函数，故选C 答案：（esp5:5,.取特殊酉数：.（2008陕西卷，理11.改编）定义在R上的函数/ 满足/（x + y） . f（工y£R)， /(I)-1'贝年A. 2B. 3C. 6D. 9分析:由"1）,2及/（上+歹）/（0+ /（¥）4 2沙，可令为特殊值，求出,，/，再取特值研究函数的奇偶性；或直接取满足条件的

7、特殊函数解答。解法取：，贝U满足 f（x + 刃，/ + Jy） + 2一炉和/1 1，7（-3） 9，选 D解法一：/1 + 刃/（jr） + /（y） + 2_ry 中，令 k = /，= 】，行/（2）4 '再令，= 2 行/（3） g ' 再令上=14.0，得令y = T得，再令”-3,得八3）9,选D。邂特殊数列二esp6 : （2008四川卷，理7）已知等比数列,中 一则其前3项的和忆的取值范围是（）（A）（-吗-（B）（_b,0）®1,+x）（°）3,+®）3 （_4一|率,+*）分析：本题中的等比数列只知道,如果再知道公比，数列就可

8、以确定，而选项是范围问题，可取定公比加以排除。解法;等比数列（/）中.当公比为1时，叫生一1，S1；当公比为一1时， i t 1从而淘汰(A) (B) (C)lij 19 C/2 = 1? Hj = - I= I故选D;解法二：.等比数列S)中G.l 1、rj 7 S3 - + a2 + a3 -aJ l+47 + -l + i7 + 1 以 9时飞g3M.3 q g马£（-啊-1国3+8）故选D；评注：取特殊数列入手淘汰，如果一次不能区分，则需多次取有区分度的值进行排除，直至能辨别出正确答案为止，也可多种方法并存。要重视等比数列的通项公式，前 丹项和公式,最新修正版以及均值不等式的

9、应用，特别注重均值不等式使用的条件是否具备，不具备就要进行分类讨论。4.取特殊位置：esp7 : （2008宁夏区银川一中）如图，边长为 a的正川田匚中线月厂与中位线de相交于g ，已知AJ宏。是&4即绕DE旋转过程中的一个图形，现给出下列命题，其中正确的命题有（填上所有正确命题的序号） 1/z / I（1）动点H在平面上的射影在线段月尸上；b一- ，.一（2）三棱锥/_F£o的体积有最大值；（3）包有平面H'GFL平面ECED ；（4）异面直线4后与80不可能互相垂直；排U瞰分析：由于是AJEO绕DE旋转过程中的一个图形，可以转动到特殊位置，需要考虑特殊 情况.解：

10、不论怎样转动，。£_|_面 FGA, （1） （3）正确，（2）回上予一不再变化，当高最大时，三棱 锥d-FEQ的体积有最大值，即当4G_L面加?C-时，三棱锥4-FEO的体积有最大值也正确，（4）不正确，由三垂线定理知，当©E在平面0Be内的射影与平行时就一定垂直.esp8:（福建省八闽高中）某校高三年级老师到外校参观学习2天,留下6位老师值班，记每天上午、下午、晚上各为一 “工作时”，则每位老师必须且只需值班一个“工作时”，由于有事，甲老师不能值晚班，乙老师不能值下午班，那么年级值班排法共有A. 288 种 B . 312 种 C . 336 种 D . 360 种分析

11、：甲老师、乙老师都有特殊要求，应该先满足他们的特殊要求先排，如果先排甲老师， 则由于他排在上午和下午会影响到乙老师的排法，所以需要分类讨论。解：先排甲老师有两种情况，（1）甲老师排在上午值班，有2种方法，乙老师排在晚上值班 也有2种方法，其余4位老师有用”种方法，共2X2X24=96种方法。（2）甲老师排在 下午值班，有2种方法，乙老师与其他 4位老师随便排都可以，有 £.120种方法，共有 240种方法；由（1） （2）可知共336种方法。评注：本题为排列组合的特殊元素和特殊位置题，按特殊元素和特殊位置优先的原则，分情最新修正版r;2CD（1与1）'则X （A > 1

12、）'1咱A解：由已知得12” （口）取特殊值工=0和-1时，图象所过的点为况讨论5 .取特殊的点:的图象是（）esp9 : （2009山东文登三中）已知函数f（x）分析：可以根据已知函数写出所研究的函数，没有必要画出函数图象，只需取特殊点就可以判断。（° 2）结合图形知选Do答案：D6 .由一般到特殊和由特殊到一般：esp 10: （2008湖北卷，理15）观察下列等式:-452330621212,0分析：本题为找规律题，可以纵观全局，就会发现这些式子的特点，纵向观察，找出规律和 共性，得到答案。解：纵向观察每个式子的第一项，1 I 1可知 再看每个式子的第二项，都espll

13、 : （2008辽宁卷，理21）在数列，人 中，ai=2, bi=4,且八 厂".成等差数列，5以 力成等比数列（£N.）（I）求a2, a3, a4及b2, b3, b4,由此猜测，3 的通项公式，并证明你的结论；I 4 I 也 I（n）证明： q .+，+ . 一 + 'V 4的十4 an+bn 12分析：由已知条件可先算出前几项，再归纳总结，用数学归纳法证明。解：（I）由条件得外. hh由此可得0a 6, 49 a3-12 & -16 q20” 4.25 猜测见四。+ l*m-（/i + 1）2用数学归纳法证明：当n=1时，由上可得结论成立.假设当n=k时，结论成立，即那么当n=k+1时，=24 一 / . 2芭+iy _ 上优+1)=6+以上+2), “川=&=/ * 2r仇所以当n=k+1时，结论也成立.由，可知 ,1、区,2对一切正整数都成立.an - n(n + )t ,疗+ 】)一(n).1 15.一