同角三角函数的基本关系知识点与题型归纳汇总

1、第三鼎角奎礴的基本关系高考明方向1 .理解同角三角函数的基本关系式：sin2a+cos2a=1,sn=tan民cosa2 .能利用单位圆中的三角函数线兀.、推导出2土a,冗方的正弦、余弦、正切的诱导公式.备考知考情.一一一一一1T同角关系式和诱导公式中的冗丸2土a是图考的热点,题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度为中低档题，主要是诱导公式在三角式求值、化简的过程中与同角三角函数的关系式、和差角公式及倍角公式的综合应用，一般不单独命题，在考查基本运算的同时，注重考查等价转化的思想方法.一、知识梳理名师一号P47知识点一同角三角函数的基本关系平方关系：sin2cos21;商数关系：tansn-

2、cos注意：名师一号P50问题探究问题1在利用同角三角函数的基本关系中应注意哪些技巧？利用同角三角函数基本关系式化简求值时，涉及两个同角基本关系sin2a+cos2a=1和tana=sn”,cosa它们揭示同一角a的各三角函数间的关系，需要在复习中通过解题、理解、掌握.尤其是利用sin2a+cos2a=1及变形形式sin2a=1cos2a或cos2a=1-sin2a进行开方运算时，要注意符号判断.知识点诱导公式组数*-四五角A-2ir+(1(freZ)一a(2*+1)it十a(teZ)TT+a一TT一a一正弦slntl-sina-51DQcosetrosa余弦CMflr-CO&Oi.-

3、sinafina正切lanet-出口口tanaNJ口快函数名不变符号着象限函数名改变符号看象限记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限！注意：名师一号P50问题探究问题2诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”中的“符号”是否与a的大小有关？无关，只是把a从形式上看作锐角,从而2k兀+o(kCZ),冗+a,a,九a,?a,2+a分别是第一、三、四，二、一、二象限角.二、例题分析：(一)求值例1.(1)名师一号P50对点自测4(09全国卷I文)sin585°的值为(A)9(B)吃(C)(D)答案：A例1.(补充)(2)cos17的值为3答案：12例1.(补充)(3)tan1665的值为答案

4、：1注意：(补充)求任意角的三角函数值：负化正正化主0,2主化锐例1.(4)名师一号P51高频考点例2(1)(2014安徽卷)设函数f(x)(xCR)满足f(x+Ttf(x)+sinx.当00x<九时，f(x)=0,贝Uf=()A.1B.坐C.0D.-2解:(1)由题意得£等，祟+而宏.Hjt1.111755,.5115=f$+sin$+sin$=f6+sin$+sin$17兀1111+sin-6-=0+2+/2练习：(补充)(2009重庆卷文)下列关系式中正确的是()A.sin110cos100sin1680B.sin1$80sin110cos100C.sin11°

5、sin1$8°cos10°D.sin1$8°cos10°sin11°【答案】Csin1$8sin(18012)sin12,cos10cos(9080)sin80由于正弦函数ysinx在区间0,90上为递增函数，因此sin11sin12sin80,即sin11sin168cos10练习：如图所示的程序框图，运行后输出结果为(A.1例2.(1)B.2680C,2010D,1340名师一号P51高频考点例1(1)已知aCtt,3JT2,tana=2,贝Ucosa=sin民门,一、tana=TZZT=2,解:依题息得cosasin2a+cos2a=1,

6、1由此斛行8s2片5；L3冗EV5又正阳万，因此8s片一看.法二:？利用直角三角形求解注意：（补充）三角函数求值中直角三角形的运用先根据所给三角函数值，把角看成锐角构造相应的直角三角形，求出该锐角的各三角函数值，再添上符号即可.变式1:已知a是第二象限角，tana=2,则cosa=变式2:已知tana=2,则cosa=注意：(补充)利用同角关系由正弦、余弦、正切三个中知一求二关注角终边所在位置对三角函数值符号的影响，12练习：已知cos,求sin和tan。55【答案】当是第一象限时，sin,tan131255当是第四象限时，sin,tan1312例2.(2)名师一号P51高频考点例3(1)(1

7、)记cos(80°)=k,那么tan100等于()解析因为cos(80°)=cos80°=k,所以sin80=°11cos280°=<1-k2,所以tan100=°tan800sin80cos80一k例3.(1)名师一号已知由6-=*»P51高频考点例2(2)5例3.(2)(补充)已知cosA.冗a一二：43132则sin2a=(4、c31D.32答案：A与待求角是否满足注意：(补充)关注已知角kZ或是倍半关系。k2与3sin26练习1:已知cos6贝Ucos562.33练习2：已知8s旗+4=3,且一<-2贝c

8、os（12a）=.22答案："3.兀1一.兀_练习3:已知sin6a=4,则sing+Za=答案8卫一JtTT解析sin6+2a=cos26-2a=cosJtc3-2a=1-2sin26-oc=78.10练习4:对任意的a(一0°,0),总存在x0使彳Sacosx+a>0.、一.兀，.一成立，则sin(2xo6)的值为.例4.名师一号P52特色专题【典例】（1）已知sinocosa=1,且某妙会842贝Ucosasina的值为（）3333A.-B.C.-4D.4【规范解答】（1）丁52t<抬3;cosa<0,sina<0且|coso|<|sin

9、o|.、/138=4二cosasino>0.又（cosasino）2=12sin«cosa=123cosasina=2.11(2)已知sin(无a)cos(#®=贝Usinacosa=.0<九)【规范解答】2(2)由sin(无oi)cos(#o()=&.32G得sina+cosa=77,32将两边平万得1+2sinocosa=G，9故2sin«cosa=-9.=1-9=又.2Vo<九,169.sino>0,coso<0.二sinacosa=43.(sinacoso)2=12sinacosa【名师点评】解决此类问题的关键是等式（

10、sinaicos42=1强sinocosa但要特别注意对sina+cosa,sinO-cosa,12sinocosa符号的关注.I数学思想系列之（三）sinaicosa及sinocosa间的方程思想对于sina+cosa,sinacosa,sinocosa这三个式子，已知其中的一个式子的值，可利用公式（sinaicosa）2=1及sinocosa,求其余两式的值，体现了方程思想的应用.6月19日15班讲解至此例5.（补充）（2）已知sincos贝Utan-1-tan答案：82汪忠：（补充）（1）sincos12sin.cos（2）利用tan.，进行切化弦cos涉及sincos,sincos,s

11、incos的问题常采用平方法求解例4.（3）名师一号P51高频考点例3（2）13已知sina5=a（aw+，aw0）.求cosa+15tan11五5tana+9T十一方的值.26几cos-a5解cos14几a+厂5tan11a357t9-tana+5=costana-5+一一4tana5工cos5oc=sinjtsina75-=2cos-a-a-；1-a2练习：已知0,sina3-2a1a2求sinx求皿2cosx的值；空3的位cosx1tanx145175练习：已知sin,cos是方程4x24mx2m10的两个一3.根，一2,求角.2答案：m或m11（舍去）2 253法二:2x12x2m10

12、1 1x-,xm一2 2例5.(1)名师一号P50对点自测2若tana=2,则的值为(sinacosasina+cosa15A.B.1C-3D-313-16sinacosatana121解析=sina+cosatana+12+1例5.(1)名师一号P51高频考点例1(2)已知sn*3cos5贝jsin2asinocosa的值是()3cosasinaA.2B.-2C.-2D.255方,sina+3cosa/日tana+3门口,c解：由:;-=5,得丁二一=5,即tana=2.3cosasina3tanam2sin2asinocosa所以sin2asinocosa=.2.+c0s2&tan

13、2atana2一tan2a+15.注意：(补充)知tan的值，求关于sin、cos齐次式的值(1)利用sin2cos21;将关于sin>cos齐次整式化为关于sin、cos齐次分式，如我一也0J年csindcos(2)利用tan,进行弦化切，cos即将关于sin、cos齐次分式的分子、分母同除以cos、cos2等转化为关于tan的表达式求解。周练15-16(2)16、(本小题满分12分)已知tan2.sincoscos2-的值.11求tan2求sin一的值;4sin2i1cosaV1+cosa（二）化简例1.（补充）化简：1+sina4一sina1sina1+sina17分析：“脱”去根号是我们的目标，这就希望根号下能成为完全平方式，注意到同角三角函数的平方关系式，利用分式的性质可以达到目标.1+sini1sin%=7r-;r|cosd|coso|2sin%2cos%=,；|cosd|sino|1+cos%1cos%II|sino|sina|国在第，三象限时），也在第一、四象限时I18注意：名师一号P48高频考点例2规律方法注意：名师一号P51问题探究问