向量的加法的教学设计

1、向量的加法的教学设计江苏省邳州市宿羊山高级中学黄静（221354）一.设计思想：1 .本节课采用“支架式（scaffolding）”教学模式。scaffolding本意是建筑行业的脚手架，这里用来形象的说明一种教学模式：教师引导着教学的进行，使学生掌握、建构和内化所学的知识技能，从而使他们进行更高水平的认知活动。简言之，是通过支架（教师的帮助）把管理学生学习的任务逐渐由教师转移给学生自己，最后撤去支架。数学课程标准倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式。显然，“支架式”教学模式符合新课标的理念。在本节课中，教师通过五个问题情景，为学生的学习创设一个又一个“脚手架”。学生通过

2、自主探索，合作交流，理解了向量的加法及其性质产生过程，明白了其中蕴涵的思想方法。通过例题及其变式练习为学生灵活运用向量加法的两个法则再创设“脚手架”。2 .重视合情推理能力的培养。所谓合情推理，就是合乎情理，好似为真的一种推理，它是相对于演绎推理而言的。演绎推理的主要方式是分析、综合、演绎、概括、完全归纳、等价变换；合情推理的主要方式是纵横类比、不完全归纳、情景回归、低维化、特殊化等。合情推理虽不像演绎推理那样严谨，不能作为数学证明，所得的结论也不一定正确，但运用合情推理常能得到与演绎推理相同的结果。正因为如此，合情推理被广泛地应用与科学、生产和社会研究之中，是科学发现、发明创造、揭示真理和生

3、产经营决策的有力武器。数学课程标准在选彳2-2的第二部分一推理与证明里指出：结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用。也就是说，合情推理的内容不仅局限于分布在教材中各个章节的隐含的个案，新的课程标准已经把合情推理作为选修的一部分内容来处理。本节课中，通过类比位移的合成引入向量的加法，通过一个个特殊的例子探索向量加法的性质、规律，都体现了对学生合情推理能力（主要是类比和不完全归纳）的培养。当然，合情推理毕竟是一种或然推理，对其猜想出的结果尽量要做理论上的验证，如性质1的猜想与论证、例2两种方式的到达时间的比较就

4、体现了合情推理与演绎推理的完美结合。3 .重视对学生提出问题能力的培养。爱因斯坦说过：“提出一个问题比解决一个问题更重要。”著名美籍华人学者杨振宁教授在比较中、外留学生有哪些不同时曾提出，中国学生普遍成绩比较出色，特别是在数学运算和推理方面比国外学生有明显优势，但中国学生最大的缺憾就是不善于提出问题，缺乏创新精神。而学生自主学习，善于发现、提出问题和解决问题，从而有所感悟、有所创新的能力，正是下一个世纪具有竞争力人才的关键素质所在。由此可见，提出问题的能力的培养是当务之需，每一节课上都要尽可能的让学生自己提出一些问题。如本节课中，通过创设问题情景，给学生提出问题创设一个良好的氛围；通过问题的变

5、式引中，给学生提供一些提出问题的方法；通过课堂的适度“布白”通过创设有争议的问题，给学生提出问题提供再给学生提出问题提供时间的保证；锲机。二.教学过程（一）创设情景，导入课题问题情景一：如图1（多媒体投影），由于大陆和台湾没有直航，因此2003年春节探亲，乘飞机要先从台北到香港，位移之和是什么？学生（齐答）：这人两次的位移的和是从台北到上海。教师：如果设A为台北，图1图2B为香港，C为上海，你能用数学语言叙绘二1*吆学生1:AB+BC=AC',并画出如图2所示的示意图。教师：你能总结这种加法规则的规律吗？学生2:如果一个有向线段的终点和另一个有向线段的起点相连，那么它们相加的结果是以前

6、一个有向线段的起点为起点，后一个有向线段的终点为终点的有向线段教师:jy子们可以用八个字概括：”尾首相接，首尾相连”trAB+BC=AC叫做两个向量的和。对于两个尾首不相连的向吗我们杳么杳义两个向量的和呢？（画出如图3两个*/向量a和b）。金学$3：可以将向量a平移，使它的起点/与向量b的终点重合，然后就和上面的一样了。$教师：很好！这就是化归与转化的思想，图3即把不熟悉的问题转化为熟悉口勺、已经解决的问题中来。教师：能不能平移向量b呢？学生：可以（投影出向量加法的三角形法则）1.向量加法的定义TT4H探求：如图3,已知向量a,b求作向量a+b作法（1）如图4,在平面内任取一点O;（教师：当然

7、根据向量相等的定义，我°们还可以在平面上任意选一点O)(2)作oA=a,oB=b；(多媒体动态演示平移的过吗。44T4*(3)OB=ab(3)OB=ab.求两个向量和的运算叫做向量的加法，这种作法叫做向量加法的三角形法则。要点：尾首相接，首尾相连。设计说明：教育家苏霍姆林斯基说过：“教师如果不想方设法使学生产生情绪高昂和智力振奋的内心状态，而是不动情感的脑力劳动，就会带来疲倦，处于疲倦状态下的头脑，是很难有效地吸取知识的。”因此，创设一个有趣的情景,目的在于激发学生学习的兴趣，体验向量加法法则的F生过程问题情景2:当向量a和b共线时,三角形法则是否适合？.教师给出如图5两组向量a和b

8、,找两个同学到黑板上按照“写首相接,首尾相连”的原则作出a+b0.学生4很顺利的完成了向量a和b同向时的情况，学生5在作向量a和b异向时的情况时出现了错误，教师引导学生订正，进一步强调这种法则的要义。并借助几何画板给出如图6动态的示意图，进一步说明这种法则满足向量共线时的。府口A同向图6BBOAO厌口A石向设计说明：通过电脑动画的展示，进一步让学生明白向量加法对共线向量一样适用。二.搭建支架，导出性质问田卜甲产.(1a0和0-a相等吗？学生"答J.叶匕投畛：a.0=0/a=(2)a+(-a)和(-a)+a相等吗?学生6:相等。教师：等于什么？学生6:00下面有很多学生说不对，是0o教

9、师：注意两个向量相加的结果仍然是一个向量。投影:a+(_a)=(_a)+a=0。(3)你哼总于以华规律吗？给个名字。学生7:a+b=b+a,加法交换律(教师投影)教师：这只是一个猜测，怎么验证呢？学生议论,用图形，很多以学仃说。tt,(4)如图3所示的向量a和b,请两位同学分别作出a+b和b+a。两位同学生(齐声)：相等。教师：为什么？学生10:因为两个图形正好能拼成一个平行四边形。教师：很好！多媒体显示图7(1)、7(2)经过平移，恰好构成平行四边形的过程。教师：这就是我们比较熟悉的力学中关于力的合成与分解的平行四边形法则，它告诉我们在求两个向量的和时，可以把它们平移至同一起点的位置，利用平

10、行四边形法则作出向量的和。(投影).平彳四边形法则的定义：.)若向量a与b是不共线向量，雪匕a与b的起点平移到同一点o(如图7(3),作平行四边形OABC,则OB=a+b。这个法则叫平行四边形法则。设计说明：通过特殊例子归纳出一般规律，旨在培养学生的合情推理能力。通过学生自己动手验证，培养学生主动探索、动手实践、严谨思维的能力。教师：比较两个法则的异同点？学生11:三角形法则强调两个向量的终点和起点相接，结果是先平移的向量起点作为和向量的起点，后平移的向量的终点作为和向量的终点。而平行四边形法则是把两个向量的起点平移至同一点，和向量就是它们的对角线。教师：很好！我们也用八个字概括平行四边形法则

11、的特点：起点重合，邻边作形(平行四边形)。t1T问题情景4:(1)化简：(AB+BC)+CD=,AB+(BC+CD)=。学生12:都是AD.(2)你能得到什么规律？学生12:加法交与律鼻.投影：交换律：(ab)-c=a(bc)设计说明：书上采用图形直接证明，尽管比较直观严谨，但来的突兀，不符合学生的认知发展规律。这样推导，不仅自然流畅，而且能让学生进一步明白向量加法的实质（起点可以自由选择）。i_-犬（三）例题探究，变式引中7*/例1（投影投出）如图8,O为正六边/形ABCDEF的空心，作出下列向量：一/八/&TrrTFfCy（1）OA0旬2四FE;（3）OAFE.学生13:OA+OC

12、=O'B;/教师：依据是什么？/41三平行四边形法则。*/BCFE*=AD,依据是（略有沉思）年H8&三角形法则。教师：对，是三角2法则的特殊情况。（3）呢？学生13:0,不，0。（下面学生在笑，刚才已经有人犯过这个错误）教师：很好，本题主要考查三角形法则和平行四边形法则的理解和应用。应用两个法则要记住八个字：尾首相接，首尾相连；起点重合，邻边作形。问题.景（,I1J变式题）5:（1）OB+BC+CO-；（2）AB+画+CO+0A=_=（3）Ab+bC+Cd+de+ef+fA=。给学生留下两年中的思考时间。学生14:都是0。教师：很好，你能总结出一般规律吗？.学生14:（沉思一

13、会）如果几个向量相加，尾首逐个相连，结果为Oo学生15:不对，最后一个向量的终点必须和第一个向量的起点相同。教师：很好。投影投出这个结论，并用符号语言重新描述。（投影）如果平面内有n个向量依次首尾连接组成一条封闭的折线，那么这n个向量的和是零向量。（书上思考题的结论）如果这个n边形的顶点分别记作A1,A2，%则罚+藐+AZAn+AX=0变式思考：藐+获+京=。教师：这个也就是学生14说的情况，结果应该是什么呢？学生16：aa°教师：很好！利用三角形法则不难得到，这个结论常用，大家要记住。对于例1这个图形，你能设计出一个问题让别的同学解答吗？学生七嘴八舌的开始讨论，他们纷纷主动提出问题

14、，如：TE+FA=AEBC=等等，其他同学迅速给出了解答。设计说明：美国著名数学大师波利亚说过，一个善于备课的老师，会拿出一道像样的题目，联系更多的知识。通过例1及其变式练习的解决，巩固了两个重要的法则，探索出书上思考题的结论，也为学生提出问题提供了方法。例2.（投影投出）在长江南岸某渡口处，江水以12.5km/h的速度向东流，渡船的速度为25km/h。渡,一船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？教师：船头能不能按垂直于对岸的方向航行？-.学生（齐答）：不能。教师：应该怎样？给学生留下四分钟的思考时间，教师巡视，将学生17的结果投影在屏幕上。（投影）解：设AB表示水流的速度,A.AC表示渡船的

15、速度，AD表示渡船的实际过江的速度。因为AbAD=后,所以四边形ABCD为平行四边形。在RtACD中，AB=12.5DCBACD=900AD=25,/CAD=300教师：解题过程很好，计算也无误，好像少点什么？学生（齐答）：答案。（师生共同补齐答案，答案为：渡船要垂直地渡过长江，其航向应为北偏西30度。）教师：解答应用题的关键是提取有效信息，如本题中“渡船要垂直地渡过长江”是最关键的一条信息。然后联想相应的数学模型，如本题联想两向量的和的模型。变式练习：若渡船以25km/h的速度按垂直于河岸的速度航行，那么，受水流影响，渡船的实际航向如何（求出和河岸夹角的余弦值）?速度为多大？实际航向和河岸夹

16、角为30度，原因是受初中的结论（若直角三角形的一条直角边是斜边边长一半，则其对应的角度为30度）的影响，形成了错误的思维定势。教师及时进行点拨纠正。投影学生18的解题过程，这里从略。教师：对于例2及其变式，你能提出什么问题吗？学生19:这两种方式哪一种先到达对岸？教师：很好？同学们认为呢？学生有的说是第一种方式，有的说是第二种方式，下面有争论学生20:我认为是第一种，原因是航行的距离短。学生21:我认为是第二种，原因是航行的速度快。教师：你们说的都有道理，但是考虑的不全面，因为时间既和距离有关，又和速度有关，到底哪个先到呢？同学们做一下。大约过了四分钟，一位同学站了起来。学生22:第二种方式先

17、到，因为第一种方式到达的时间是:ti25.'3t2=3教225为河岸的垂直距离，教师板书并画出草图），第二种方式到达的时间是:师板书并画出草图）。显然tit2,故第二种方式先到教师：很好，数学里的许多问题靠直觉可以得到，但是直觉在很多时候是不可靠的，需要我们借助于理性思维来再认识。设计说明：例2及其变式练习的设计，旨在进一步巩固平行四边形法则的运用，进一步培养学生分析问题、解决问题、提出问题的能力，培养学生科学的人生观和锲而不舍的精神。（四）反思小结，理性升华教师：哪位同学来总结本节课的内容？学生23:本节课主要学习了向量加法的三角形法则和平行四边形法则以及它们的两个性质：结合律和交换律。（这时，下课铃已响起）教师：很好，这位同学从知识的角度