第09-次定积分概念与变限积分求导ppt课件

1、定积分概念定积分概念与与变限积分求导变限积分求导 . )2(,)()1(记号无关记号无关积分结果与积分变量的积分结果与积分变量的是一个数是一个数定积分定积分dxxfba 1.定积分的概念定积分的概念._)(,)(2)(,)(10 xfdttfxxfxf则则且且是是连连续续函函数数设设例例:,)(:10dttfk 令令分分析析,2)(kxxf 则则,)2()(1010dxkxdxxf ,221kk ,21 k得得. 1)( xxf1: x解答解答2.积分中值定理积分中值定理例：例： .3sinlim, 1lim,2dttfttxfxfxxxx 计计算算且且连连续续设设由积分中值定理由积分中值定理

2、 23sin3sin2 fdttfttxx ,2时时且且间间与与介介于于xxx解解: dttfttxxx 23sinlim f 3sinlim2 63lim2 f . 0)()( ),1 , 0(, 1 , 0 1 , 1 , 0 , 1 , 0 00 ffxfxdtttfxfx使使得得证证明明内内有有解解在在且且方方程程内内可可导导上上连连续续在在设设例例: , 1 , 0 1 00 xxfdtttfx内有解内有解在在由由 , 1 000fxdtttfx 得得证证: , , 0,0 x 利利用用积积分分中中值值定定理理 ,100fxfx , )1()( ff 即即 ,xxfxg 令令 , 1

3、 , ,1 ,内内可可导导上上连连续续在在 xg ,1)1()(gffg 且且 ,1 ,01 , 定定理理由由Rolle .0,0 ffg即即使使.导导一一般般离离不不开开变变限限积积分分求求，凡凡在在题题中中出出现现变变限限积积分分3.变限积分求导变限积分求导 xxfxxfdttfdxdxx ,arctan)(2xxf 例例: 0arctan,23232 xdxdyxxfxxfy计计算算的的一一个个原原函函数数是是其其中中设设解：解： 23412323xxxfdxdy22)23(122323arctan xxx4331arctan0 xdxdy:分析分析例例: ._1 , 2ln21ln 2

4、,22 fxdttfxfx则则且且上上连连续续在在设设函函数数 2ln21ln 222 xdttfx方程方程 xxxfx1222 求求导导得得两两边边对对 22212xxf .61)1(,3 fx得得取取61:解答解答例例:.111322对对应应点点处处切切线线方方程程在在求求曲曲线线 tdueyduextutu解解: 0 , 0,1 yxt时时432ttetdtdxedtdy 4321ttetdxdy 211 tdxdyk切切xy21: 切线方程切线方程例例: 1,arctan0ln12FdudttxFxeu 求求设设 解解: 2ln1arctanxexFxtdt e 21arctanxxe

5、tdt 221arctanarctan2xxxFxetdtexx eeF 421例例: dtdfvxvttxxduexfxu求求确确定定由由参参数数方方程程而而设设,sin2cos,1sin111 解解:dtdxdxdfdtdf dtdxxex cos1sin11xvvvdvdtdvdxdtdx41sin412sin2cos 而而 xxedtdfx41cos1sin11 xexxsin1114cos.4arccosarcsin,20 22sin0cos0 xxdttdttx 成成立立时时证证明明当当例例:,arccosarcsin)(:22cos0sin0dttdttxFxx 令令证证, 02

6、sin)arccos(cos2sin)arcsin(sin)( xxxxxF则则.)(为一常数为一常数故故xFdttdttFxF 2/102/10arccosarcsin)4()( dttt 2/10)arccos(arcsindt 2/102 4 . 831 , 1 23xfxdttgxgxfxf，求求且且有有关关系系式式都都可可微微及及其其反反函函数数设设函函数数 例例:解解: 求导求导两边对两边对 831 231xxdttgxf 2121212331xxxfxfg 得得 xxfg 又又因因 xxxf212121 cxxf 41 xxf时时当当1 c 1 xxf.),(2)()(1)(,

7、0)(,)(内内有有且且仅仅有有一一实实根根在在方方程程试试证证且且上上连连续续在在设设baxbadttfdttfxfbaxfxbxa 例例:,2)()(1)()(:xbadttfdttfxFxbxa 令令证证,)(上上连连续续在在则则baxF, 0)()(1)( abdttfaFab, 0)()()( abdttfbFba. 0)(),(, Fba使使由零值定理由零值定理, 02)(1)()( xfxfxF又又,)(上上严严格格单单调调增增加加在在即即baxF.唯唯一一故故上上述述 .),(2)()(1)(内内有有且且仅仅有有一一实实根根在在方方程程baxbadttfdttfxbxa 例例:

8、 .,0130032小小点点并并判判定定是是极极大大点点还还是是极极的的极极值值点点所所确确定定的的函函数数求求由由方方程程xyydttdtexyt 解解: xyyx ,求导求导方程两边对方程两边对 031132332 xxyey得得 3233231xexyy 01 xx不不可可导导点点驻驻点点0101000 yxyxyx是极大值点是极大值点1 x.)32)(22(1)(,), 0:,sin)()(022 nnxfndttttxfxn上上在在证证明明为为正正整整数数其其中中设设例例:xxxxxxxfnn222sin)1(sin)()(: 证证), 2 , 1(, 1, 0)( kkxxf 得得

9、驻驻点点令令);1()(, 0)(,10fxfxfx 时时当当, )1()(, 0)(,1fxfxfx 时时当当.)()1(的最大值的最大值为为故故xff有有时时当当,), 0 xdttttfxfn 1022sin)()1()()sin0)1 , 0(ttt .)32)(22(1 nndttttn 1022 )(例例: .,sin2的的最最大大值值与与最最小小值值求求设设xfdttxfxx 解解:为为周周期期的的周周期期函函数数是是以以 tsin dttxfxx 23sinduuxxtu 2sin 令令 xf ,为周期的周期函数为周期的周期函数是以是以 xf 的的情情况况因因此此只只需需考考虑

10、虑 ,0 x 23, 02, 0 xxx时时当当 2, 0 x xxdttxfxxcossinsin2 时时当当 ,2x dttdttxfxx 2sinsin xxsincos2 xxxxxxxf2,sincos220,cossin xxxxxxxf2,cossin20,sincos ,43,40 xxxf得得驻驻点点令令 10,2243,24 ffff 224343244 kffkffxf最最小小值值的的最最大大值值.是是整整数数k例例 dttgtfxgdttgxgxfdttgxFbaxxaxaxa)()()()()()()(1)(,(:2当当证证. ,( )( )()()( ,)( , ,

11、 )( 上上单单调调增增加加在在证证明明函函数数是是正正的的连连续续函函数数上上单单调调增增加加的的连连续续函函数数是是设设badttgdttgtfxFxgbaxfxaxa dttgtfxfdttgxgxaxa )( )()()()(2 ,)(单调增加单调增加由于由于xf, xta ),()(tfxf , 0 )( )()( dttgtfxfxa, 0)( xF于于是是.,()(上单调增加上单调增加在在baxF).( , )()(,)(:0 xFdttxfxFxfx 计计算算连连续续设设例例变限积分求导时变限积分求导时,必须保证被积函数中不出现求导变量必须保证被积函数中不出现求导变量.duuf

12、dttxfxFxxtxux )( )()(:20 令令解解)()2(2)(xfxfxF ,变变量量时时当当被被积积函函数数中中出出现现求求导导;变变量量提提出出积积分分号号或或利利用用代代数数方方法法将将求求导导.,下下限限导导变变量量放放到到积积分分的的上上或或利利用用换换元元积积分分法法将将求求 .sin)(lim, 0,1lnarctan)( 402022xxfxdttxtxxfxx 计算极限计算极限其中其中设设例例:,:2utx 令令解解duuuuxfx 02)1ln(arctan)(duuuux 0)1ln(arctan240040)1ln(arctan2limsin)(limxdu

13、uuuxxfxxx 型型00304)1ln(arctan2limxxxxx 21 :分析分析例例:_cos022 dttxdxdx dttxdxdx 022cos xxxdttx2coscos4022 4202cos2cos2xxdttx . 0)(),( )(lim, )()(,)(010处处的的连连续续性性在在点点讨讨论论为为常常数数且且连连续续设设 xxAAxxfdtxtfxxfx 例例:, 0)0(, 0)0(,: f得得由由已已知知解解)0( )(1)(,0 xduufxxuxtx 有有令令, )()()(,020 xduufxxfxxx 时时当当0)0()(lim(0)0 xxx

14、200 )(limxduufxx xxfx2)(lim0 2A 0 , 20 , )( )()(20 xAxxduufxxfxx 2000 )()(lim)(limxduufxxfxxxx 2000 )(lim)(limxduufxxfxxx )0(22 AAA.0)(处处连连续续在在点点 xx 自测题选解）练习十二. ) ()(),(sin为为原原函函数数的的函函数数是是则则以以有有一一个个原原函函数数为为若若xeFxFxx练习十二练习十二/一一(2) ? )( , sin)( : xeFxxxF分分析析 xxxeeFeF )( )(.sinsinxxxxeeee )(: B解答解答._)(

15、,)2()(1)(1010 xfdxxfxdxxfxf则则若若练习十二练习十二/二二(1),)2(,)(1010dxxfldxxfk 解解：令令)2( 21)2( )1(1)(lxkxflxkxf 则则)3(211 )1()()1(1010lkdxlxkdxxfk 得得由式由式)4(1 )21()2()2(1010lkdxlxkdxxfl 得得由由式式, 2, 3),4()3( lk解解得得与与式式联联立立式式,231)(xxf .24)(xxf 即即._)( , )()(10 xfdtxttxf则则设设练习十二练习十二/二二(2),0:时时当当解解 x, 231 )()(10 xdtxttx

16、f ,10时时当当 x, 3123 )( )()(310 xxdtxttdttxtxfxx,1时时当当 x, 312 )()(10 xdttxtxf注意注意:函数的定义域为整个实数域函数的定义域为整个实数域.1,31210,31230,231)(3xxxxxxxxf1, 2/110, 2/10, 2/1)(2xxxxxf.)1()0(要用可导充要条件计算要用可导充要条件计算与与其中其中ff 练习十二练习十二/四四.|,)(1220ln220222 ttuuutuudxyddueyduexxyy求求所确定所确定由参数方程由参数方程设函数设函数,:2ln22ln2222teeedxdytttttt

17、 解解,22222ttetdxyd eedxydt22|1122 练习十二练习十二/十十. )(31 )(),(, 0)(,)(dxxfdxxfbaxfbaxfbaa 使使证证明明且且上上连连续续在在设设函函数数, )(31 )()( :dttfdttfxFbaxa 令令证证,.)(上上连连续续在在则则baxF, 0 )(310)( dttfaFba, 0 )(32)( dttfbFba, 0)(),(, Fba使使由由零零值值定定理理dxxfdxxfbaa )(31 )( 即即练习十二练习十二/十一十一. )()( , 0)( 0, 0)(),(0dttfxfxfxaaxfxfx 又又满满足

18、足时时且且当当上上可可积积在在对对任任意意正正数数使使求求函函数数可积可积解解)( :xf )(0连续连续dttfx 连连续续)(xf可可导导 )(0dttfx 可可导导)(xfdttfxfx )()(02 )()()(2:xfxfxfx 求导求导对对21)(0)( xfxf得得由由Cxxf 2)(故故0, 0)0( Cf于是于是又又2)(xxf .)( ,)(:, )()2()(,),()(0单调不减单调不减则则单调不增单调不增若若试证试证且且上连续上连续在在设函数设函数xFxfdttftxxFxfx 练习十二练习十二/十二十二, )( 2 )()(:00dttftdttfxxFxx 证证)

19、( )( )(2)( )()(00 xxfdttfxxfxxfdttfxFxx . )()(0dtxftfx 所以所以单调不增单调不增因因,)(xf),()(,0 ,0 xftfxtx 时时当当; 0)( xF),()(, 0,0 xftftxx 时时当当; 0)( xF, 0)(,0 xFx时时当当.)(单调不减单调不减于是于是xF. )(2 )(, ,)( dxxfbadxxxfbaxfbaba 证明证明上连续单增上连续单增在在若函数若函数练习十二练习十二/十三十三, )(2 )( )(:dttfxadtttfxFxaxa 令令证证, 0)( aF则则)(2 )(21)()(xfxadtt

20、fxxfxFxa dttfxfaxxa )(21)(2 dttfxfxa )()( 21 , 0)(, xFax时时当当 )(xF, 0)()( aFbF. )(2 )( dxxfbadxxxfbaba 在在什什么么范范围围取取值值时时，有有，问问若若xxttxFxt)0(de)(1 xxFln)( 解：解：xxFxgln)()( 令令)0( x, 01)( xxexgx )(xg0)1( g而而, 0)(10 xgx时时，0)(1 xgx时时，10ln)( xxxF练习十二练习十二/十四十四. )()( , )3 , 0( :, )( )( , 3 , 0 )( 3210 ffdxxfedx

21、xfexfxx 使使证明证明且有且有上可导上可导在在若函数若函数练习十二练习十二/十五十五同）同）注意到积分区间长度相注意到积分区间长度相由积分中值定理由积分中值定理证证( ,:, )( )( ,1 , 011011 fedxxfex 使使, )( )( ,3 , 223222 fedxxfex 使使).()(2121 fefe 于是于是),()(xfexgx 令令,)(21可可导导上上连连续续在在则则 xg),()(21 gg 且且, 0)(),3 , 0(),(,21 g使使由由罗罗尔尔定定理理. 0)()( fefe即即).()(, 0 ffe 故故因因. )()( )()( ),(,)(),(dttfgdttgfbabaxgxfab 使使证证明明上上连连续续在在设设函函数数练