统计学第八章：假设检验

1、1 第八章 假设检验2STAT 加入WTO之后，我国的企业面临着异常严重的挑战，汽车行业的形势尤为严峻。是挑战也是机遇，为了迎接挑战，国内汽车行业纷纷采取各种应对措施。A汽车集团公司对本公司的A1型号汽车的发动机系统进行了一系列改进，提高了启动速度，降低了噪音，改称为A2型。其中，公司关心的一个重要问题是汽车的节能性。节油是汽车的一个卖点，改进前的A1型汽车油耗较高，每百公里油耗为8.48升，公司希望改进后的车型比改进前节油，至少不比改进前更费油。实践中的统计3STAT为此，随机抽取了15辆A2型汽车做试验，测得15辆汽车的每百公里耗油量的数据如下表： 15辆汽车每百公里耗油量（单位：升）其平

2、均数为8.377。对此数据，技术部经理认为可以肯定改进后的汽车更省油。实践中的统计8.508.758.338.218.528.308.318.198.408.868.418.018.208.268.394STAT公司质量部经理对此结论有不同看法，他认为这个现象有可能是由抽样的随机性造成的，现在就下结论说改进后的汽车更省油还为时过早，应该对此问题作统计上的假设检验。质量部的张工程师刚通过国家质量工程师从业资格认证考试，学会了不少统计方法，质量部经理就派张工解决这个问题。通过简单的计算，很快张工就得到结论，他说，以现有的数据并不能认为改进前后汽车的油耗有明显变化。那么，张工是怎样作出他的统计分析结

3、论的呢？实践中的统计5STAT则上例中我们可建立如下的零假设和备择假设：则上例中我们可建立如下的零假设和备择假设：0:8.48:8.48HH6STAT第一节 假设检验（hypothesis testing）的基本原理一、零（原）假设和备择假设例一名被告即将接受法庭的审判。 H0： （null hypothesis） H1： （alternative hypothesis）假设检验 检验假设：检验零假设的正确性。1.零假设：接受检验的假设； 研究者怀疑并希望否定的命题。2.备择假设：研究者希望肯定的命题。7STAT例 据一调查公司声称2002年某市职工月收入XN（=750，2= 1502）。现随

4、机抽取100名职工，计算出其月平均收入为780元。问该声称是否可以接受（显著性水平=0.05）。分析建立假设：H0： =750 H1：750拒绝接受倾向于7507803501250 x00HExHExxx“量变”，接受时当“质变”，拒绝时当检验规则030400500 xEx8STAT例一调查公司声称2002年某市职工月收入XN（ 750， 1502 ）。现随机抽取100名职工，得其月平均收入为780元，问该声称是否可以接受（=0.05）。H0： =750 XZ)1 (接受域)1 (接受域接受拒绝xxExEx接受域拒绝域或xxxxExEExEx96. 12/Z查表得：2nxZ4 .292nZEx

5、xExE9STAT三、两类错误例法官判案过程中的错误 H0：被告是无罪的 ：判定一个无罪的人有罪；：判定一个有罪的人无罪。 减小 限制警察获取证词的权力，防止逼、供、信或用刑等增大。10STAT四、检验类型例新生儿的体重服从正态分布。根据2002年的统计，新生儿的平均体重为3190克。现从2003年的新生儿中随机抽取50名，测得其平均体重为3210克。问2003年的新生儿与2002年相比，？ （1）2003= 2002=3190 （2）2003 2002=3190 H0： =3190 H1： 3190 接受域200HExHExxx拒绝接受双侧检验：过大过小均拒绝xExE11STAT例市府欲购入

6、10万只灯泡，合同规定其使用寿命平均不能低于1000小时。已知灯泡使用寿命服从正态分布，为200，现从中随机抽取100只，测得样本均值为960小时，（=0.05） H0：1000 H1： 1000 注：当样本数据 总体数据0时 H1： 5% 注：当样本数据总体数据P0时 H1： P P0 0000HPpHPp拒绝当接受当%10)4(%7)3(%1)2(%4) 1 (pppp若)1 (接受域右单侧检验右单侧检验“怕大不怕小怕大不怕小”p 13STAT 建立零假设和备择假设总结： 设设 表示在零假设和备择假设中考虑的某一特定数值。一般来表示在零假设和备择假设中考虑的某一特定数值。一般来说，对总体均

7、值的假设检验采取下面的三种形式之一：说，对总体均值的假设检验采取下面的三种形式之一：0左单侧检验左单侧检验“怕小不怕大怕小不怕大”右单侧检验右单侧检验“怕大不怕小怕大不怕小”双侧检验：过大过小均拒绝双侧检验：过大过小均拒绝0100:HH左侧检验0100:HH右侧检验0100:HH双侧检验14STAT 在实践中，我们通常确定允许犯第一类错误的概率的最大值，将其称为显著性水平。 可以选择= =0.05( (在单侧检验时，其临界值为在单侧检验时，其临界值为1.645)1.645) 或= =0.01( (在单侧检验时，其临界值为在单侧检验时，其临界值为2.33)2.33) 15STAT 例：联邦贸易委

8、员会定期进行调查，目的是检验生产商们对自己产品的陈述。例如，大听的希尔托普（Hilltop）咖啡的标签标明：听内至少装有3磅的咖啡，我们用假设检验来检验标签的陈述是否正确。若抽取了36听咖啡作为样本。 步骤：1.建立零假设和备择假设。 H0：3 H1：3 若根据样本计算出来的样本平均重量低于3磅，我们就可以怀疑零假设的正确性。究竟样本低到什么程度我们才可以认为对总体所作的假定是错误的呢?即愿意冒犯第一类错误的风险，错误地控告该公司违背了标签的陈述。 这将取决于决策者的态度。 第二节 大样本情况下总体均值的单侧检验16STAT 当n=36时，样本均值服从正态分布，我们可以用统计量 的取值来衡量样

9、本均值偏离总体均值的程度。 我们先考察 的情况，下图表明观察到的样本均值低于总体均值的1.6451.645倍标准差的概率是倍标准差的概率是0.05(0.05(在在单侧检验时单侧检验时) )。如果FTC认为，犯第一类错误的概率为0.05是可以接受的，那么，只要统计量z的值显示样本均值低于总体均值的1.645倍的标准差以上，我们就可以拒绝零假设。也就是xxz01.645,Hz 我们就拒绝。317STATx 的抽样分布xn图1 样本均值低于总体均值的1.645倍的标准差的概率1.645x0.05318STAT 在进行检验之前，我们要确定犯第一类错误的最大允许概率，即显著性水平。 在上例中，假定FTC

10、的检验计划的主管人员作出了下列陈述：如果公司的产品重量符合技术规格的要求 ,我们就有99%的概率不对该公司采取不利的行动。当我们控告该公司的产品重量不足时，我们愿意冒的犯这类错误的风险的概率是1%。 可以推定 。查标准正态分布表，可得临界值为2.33 ( (在单侧检验时在单侧检验时) ) 。30.0119STAT若根据样本均值计算得Z值小于-2.33，就可以拒绝零假设，接受备择假设。 称 假定根据36个听装咖啡样本计算出的均值 ，又根据以前的研究，我们知道总体的标准差 ，计算z值：2.33z 为拒绝域。2.9232.670.18/362.33,xxzz 落入拒绝域，则可以拒绝零假设。0.182

11、.92x 20STAT 若 ，则统计量的值 2.97x 2.9731.000.18/362.33,xxzz 落入接受域，则不能拒绝零假设。21STAT总结 在大样本情况下，无论总体标准差已知或未知，样本在大样本情况下，无论总体标准差已知或未知，样本均值总是服从正态分布，则可归纳左侧检验的一般步骤：均值总是服从正态分布，则可归纳左侧检验的一般步骤： 1.1.建立零假设和备择假设建立零假设和备择假设 H0： 0 H1： 0 2.2.确定检验统计量，并计算其值确定检验统计量，并计算其值 3.3.根据事先确定的显著性水平，查标准正态分布表得临界值根据事先确定的显著性水平，查标准正态分布表得临界值 4.

12、4.拒绝规则：拒绝规则：,xxxxsznn或一、一、单个总体均值的单侧假设检验单个总体均值的单侧假设检验0,Hzz 拒绝。22STAT同理，在大样本情况下，右侧检验的一般步骤：同理，在大样本情况下，右侧检验的一般步骤： 1.1.建立零假设和备择假设建立零假设和备择假设 H0： 0 H1： 0 2.2.确定检验统计量，并计算其值确定检验统计量，并计算其值 3.3.根据事先确定的显著性水平，查标准正态分布表根据事先确定的显著性水平，查标准正态分布表得临界值得临界值 4.4.拒绝规则：拒绝规则：0,Hzz拒绝。,xxxxsznn或23STAT 例：某市的一家公司生产一种新型的轮胎，这种新型轮胎的设计

13、规格是平均行驶里程至少为28000英里。随机抽取了30只轮胎作为一个样本进行检验，结果，样本均值是27500英里，样本标准差是1000英里。采用0.05的显著性水平，检验是否有足够的证据拒绝轮胎的平均行驶里程至少为28000英里的陈述。解：已知1.建立零假设和备择假设 H0： 28000 H1： 28000 028000,30,27500,1000,0.05,1.645nxsz24STAT 2.确定检验统计量，并计算其值3.4.27500280002.74/1000/30 xxxzsn 0.05,1.645z02.741.645,Hzz 拒绝。即不能接受该公司关于轮胎的陈述。25STAT P值

14、是指观察到的样本均值小于或等于观察值的概率。也可以称为观测的显著性水平。 以希尔托普公司的咖啡问题为例来计算样本均值 的P值。 我们已经给出检验统计量的值z=-2.67,查标准正态分布表，可以求出在均值与z=-2.67之间的区域面积是0.4962。由此得到样本均值小于或等于观察值 的概率是0.5000-0.4962=0.0038，即P值就是0.0038。2.92x 2.92x 26STAT P值可以用来进行假设检验的决策，如果P值比显著性水平小，则检验统计量的值就在拒绝域内，若更大，则落入接受域内。上例中，P=0.0038, 假设检验的P值标准 0.01,P应该拒绝零假设。,P如果拒绝零假设。

15、27STAT一、双侧检验例：根据美国高尔夫球协会的准则，只有射程和滚动距离平均正好是280码的高尔夫球可在比赛中使用。假定某公司最近开发了一种高技术生产方法，用这种方法生产的高尔夫球的射程和滚动距离平均为280码。现在抽取一个由36个高尔夫球的随机样本来检验该公司的陈述是否为真。数据如下表。（假定在显著性水平为0.05的条件下进行）。第三节 大样本情况下总体均值的双侧检验26930129627528227628427226330029526528226328626028526426828827126027029329929327327827827926626927427728129128STA

16、T 该问题就是一个双侧检验的例子。 先建立如下的零假设和备择假设：H0：= 280 H1: 280在大样本的情况下，仍然选择统计量Z,和单侧检验不同的是，此时的拒绝域分布在正态曲线的两侧，对应的概率均为 。查表时应该查 对应的临界值/xxxzsn22/2z29STAT 上例中，依据表中资料可计算得， 则统计量的值为根据给定的显著性水平278.5,12xs278.52800.75/12/36xxxzsn /20.05,1.96z可查表得/2/2,zzz落入接受域，不能拒绝零假设。30STAT归纳：在大样本情况下，双侧检验的一般步骤：归纳：在大样本情况下，双侧检验的一般步骤： 1.1.建立零假设和

17、备择假设建立零假设和备择假设: :H0：= 0 H1: 0 2.2.确定检验统计量，并计算其值确定检验统计量，并计算其值 3.3.根据事先确定的显著性水平，查标准正态分布表得临界值根据事先确定的显著性水平，查标准正态分布表得临界值 4.4.拒绝规则：拒绝规则：/2/20,Hzzzz 或拒绝。,xxxxsznn或31STAT对于前面关于高尔夫球的例子，我们已知对应样本均值 的z值是-0.75，从标准正态分布表可以查到，在均值和z值-0.75之间的面积是0.2734。因此，左侧的面积为0.2266，而此时左侧的拒绝域内的面积为 =0.025。0.22660.025，统计量不在拒绝域内，不能拒绝零假

18、设，与前的结论相同。 P值为z值对应一侧面积的2倍。 此时，判断的标准仍然是 二、双侧检验的P值278.5x 2,P如果拒绝零假设。32STAT在大样本的情况下，给定置信水平 的总体均值的置信区间为：进行假设检验时，首先需要对总体的参数作出假定： 双侧检验双侧检验 H0：= 0 H1: 0 1已知时nZx2未知时2sxZn三、 区间估计和假设检验的关系00/2/2根据拒绝规则，可知不能拒绝H 的区域包括位于 的-z和z个标准差之间的所有样本均值。（1）33STAT 因此，双侧假设检验的样本均值的非拒绝区域可以由下式给出：双侧假设检验的非拒绝域和置信区间之间的关系：已知时02Zn未知时02sZn

19、200如果x在式（ ）中所定义的非拒绝区域之内，假定的值就在式（1）所定义的置信区间之内。反过来说，如果假定值就在式（1）所定义的置信区间之内，样本均值就在（2）所定义的假设检验的非拒绝区域之内。（2）34STAT 由此得到由置信区间方法到假设检验的运算过程：假设的形式： H0：= 0 H1: 0（1）从总体中抽取一个简单随即样本构建总体均值的置信区间：（2）如果置信区间包含假定的 值，则不拒绝零假设 。 否则，拒绝已知时nZx2未知时2sxZn00H0H35STAT 例：仍然采用前述关于高尔夫球的双侧检验的例子： H0： = 280 H1: 280根据样本数据我们已经计算得到：对于给定的置信

20、水平可以得到总体均值的95%的置信区间为： 278.5,12xs2195%,1.96Z2sxZn12278.5 1.9636即274.58282.42总体均值的假设值 在这个区间，所以我们不能拒绝零假设。028036STAT 在小样本情况下，且总体方差未知时，此时只能使用样本标准差，样本统计量服从t分布，这时对总体均值的检验就应该采用t统计量来进行。例：如果机场的总体平均质量等级得分大于或等于7分，那么就可以认为该机场提供的服务质量为优良。现随机抽取了12个乘客作为样本，得到伦敦某机场的质量等级分数如下：7、8、10、8、6、9、6、7、7、8、9、8。假定总体的等级近似服从标准正态分布，在0

21、.05的显著性水平下可以认为该机场服务质量优良吗？ (1)/xtt nsn 第四节第四节 小样本情况下总体均值检验小样本情况下总体均值检验37STAT 1.建立零假设和备择假设 2.选择统计量t，并计算 3. 4.7.7572.14/1.125/ 12xtsn7.75,1.215xs依题可计算0.05,(11)1.796可查t分布表得t0.0502.141.796,Htt落入拒绝域，拒绝。即可以认为该机场提供了优良的服务。H0： 7 H1: 738STAT 注意：小样本的情况下的检验步骤与判断准则与大样本情况下的基本相同，唯一的不同是小样本对应t分布，而大样本对应正态分布。 另外，小样本下也可

22、以运用P值来判断，但是由于t分布的表编制不很详细，不能通过查表来准确计算P值，但是判断的原则依然与前相同， ,P如果拒绝零假设。39STAT 0用p表示总体比例，p 表示总体比例的某一特定假设值，总体比例的假设检验有如下形式：第五节 总体比例的检验0100:pPHpPH左侧检验0100:pPHpPH右侧检验0100:pPHpPH双侧检验40STAT 我们只考虑 的情况下，样本比例服从正态分布下的总体比例的假设检验。 由于比例是特殊的均值，因此对比例进行检验的步骤及判断准则与对均值的检验相同，只需要检验统计量中的均值换成比例对应的指标就可。 例：在过去的几个月中，在松树溪打高尔夫球的人中有20%是女性。为了提高女性高尔夫球手的比例，球场采取了一项特殊的激励措施来吸引女性。一周以后，随机抽取了400名球手作为一个样本，结果有300名男性和100名女性。课程经理想知道这些数据是否支持他们的结论：松树溪的女性高尔夫球手的比例有所增加。30,5, (1)5nnpnp41STAT解：已知1.建立零假设和备择假设2.确定检验统计量，并计算