量子力学教程Ch3-456

1、Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism13.7 3.7 算符对易关系两力学量同时可测的条件算符对易关系两力学量同时可测的条件 测不准关系测不准关系（续）1 1算符对易关系算符对易关系一般来说算符之积不满足一般来说算符之积不满足 交换律，即交换律，即 这是算符与通常数运算这是算符与通常数运算 规则的唯一不同之处。规则的唯一不同之处。若若 ，则称则称 与与 不对易。不对易。不不对对易易。例例如如：算算符符 xxipx xxxxiixpx )() 1 (证证： xxxxiixixp )() 2 (显然二者结果不相等，所以显然二者结果不相等

2、，所以: :ixppxixppxxppxxxxxxx 所所以以是是任任意意波波函函数数，因因为为）（而而 对易对易关系关系（1 1）坐标算符与动量算坐标算符与动量算符的对易关系符的对易关系 Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism23.7 3.7 算符对易关系两力学量同时可测的条件算符对易关系两力学量同时可测的条件 测不准关系测不准关系（续）（续）, 0, 0, 0 xyyzzxpppppp , 0 xx,1, 2, 3 ,0pp 123,xx xy xz1,2,3()xyzpppppp,1, 2, 3 ,0,0,0,yzxyxzxy

3、zx px px piy piy py pz pz pz pi,( ,1, 2, 3)xpi ,0 ,0,0 x yy zz x但是坐标算符与其非共轭动量但是坐标算符与其非共轭动量 对易，各动量之间相互对易。对易，各动量之间相互对易。Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism3证明对易关系式证明对易关系式 xxUipxUx)(),(ExProve设设 为任一可微函数为任一可微函数, ,f x y z ,xxxxxU xPfUPPUfUP fPUf ,xUU x Pix Uffi UixxUUi fifxx特别地，当特别地，当 代入上对易

4、式，即证得代入上对易式，即证得 U xx,xx Pi同理可证：同理可证：,yy Pi,zz Pi3.7 3.7 算符对易关系两力学量同时可测的条件算符对易关系两力学量同时可测的条件 测不准关系测不准关系（续）（续）fUfi Ui fi UxxxChap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism4 ,0AA , ,A BBA ,CABACBA,CBCACBA,CABCBACBA,CBABCACBA , , , , , , 0AB CBC ACA Bprove:（2 2）对易恒等式）对易恒等式雅可比恒等式雅可比恒等式双线性双线性 BACBACABC

5、BCA,CABCBA ,A BC ABCBCA3.7 3.7 算符对易关系两力学量同时可测的条件算符对易关系两力学量同时可测的条件 测不准关系测不准关系（续）Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism5,LLiL LLi L,xyzyzxzxyLLi LLLi LLLi L（3 3）角动量算符的对易关系）角动量算符的对易关系110is an even permutation of xyzis an odd permutation of xyzotherwise222,0,0,0 xyzLLLLLL2,0LL,xyz3.7 3.7 算符对

6、易关系两力学量同时可测的条件算符对易关系两力学量同时可测的条件 测不准关系测不准关系（续）Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism6,yyzyxLpzpyLL, , ,zyyzyyyyy p Ly L pz p Lz L p, ,zxzxzyy p zpxpz zpxp p, ,zzxzxyzyp xpzy p zpypz xpp pz, , ,zzxxzyzyp pzy p z pyzp px zxp pxyi ypi xpzLiProve:Prove: ,0yy L,0yypL等于零等于零()yxixpyp 等于零等于零3.7 3

7、.7 算符对易关系两力学量同时可测的条件算符对易关系两力学量同时可测的条件 测不准关系测不准关系（续）Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism7定 理定 理prove:prove:2 2力学量同时有确定值的条件力学量同时有确定值的条件3.7 3.7 算符对易关系两力学量同时可测的条件算符对易关系两力学量同时可测的条件 测不准关系测不准关系（续6）设设 是是 和和 的共同本征函数完全系，则的共同本征函数完全系，则 nFG,nnnnnnFG 0nnnnnnFG GF 设设 是任一状态波函数，是任一状态波函数，1n nna0nnnFG GF

8、a FG GF,0FG GFF G 若算符若算符 和和 具有共同的本征函数完全具有共同的本征函数完全系，则系，则 和和 必对易。必对易。FGGFChap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism8逆 定 理逆 定 理prove:prove:设设 是是 的本征函数完全系，则的本征函数完全系，则 nF若算符若算符 与与 对易，则对易，则FGFGGFnnnF （1 1）nnnnFGGFG（2 2） 为简单起见，先考虑非简并情况。由（为简单起见，先考虑非简并情况。由（1 1）、（）、（2 2）式知，式知， 和和 都是都是 属于本征值属于本征值 的本征函

9、数，它的本征函数，它们最多相差一个常数因子们最多相差一个常数因子 ，即，即nnGFnnnnnG 可见，可见， 也是也是 的本征方程的解。因此，的本征方程的解。因此， 是是 的本征函数完全系的本征函数完全系nG nG若算符若算符 与与 对易，则它们具有共同的本对易，则它们具有共同的本征函数完全系征函数完全系FG3.7 3.7 算符对易关系两力学量同时可测的条件算符对易关系两力学量同时可测的条件 测不准关系测不准关系（续7）Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism9 若两个力学量算符彼此不对易，则一般说来这两若两个力学量算符彼此不对易，则

10、一般说来这两个算符表示的两个力学量不能同时具有确定性，或个算符表示的两个力学量不能同时具有确定性，或者说不能同时测定。者说不能同时测定。 两个算符有共同本征函数系的充要条件是这两个两个算符有共同本征函数系的充要条件是这两个算符彼此对易；在两个力学量算符的共同本征函数算符彼此对易；在两个力学量算符的共同本征函数所描写的状态中，这两个算符所表示的力学量同时所描写的状态中，这两个算符所表示的力学量同时有确定值。或者说有确定值。或者说两个力学量算符所表示的力学量两个力学量算符所表示的力学量同时有确定值的条件是这两个力学量算符相互对易。同时有确定值的条件是这两个力学量算符相互对易。注注3.7 3.7 算

11、符对易关系两力学量同时可测的条件算符对易关系两力学量同时可测的条件 测不准关系测不准关系（续8） 为简单起见，以上定理和逆定理的证明是在非简为简单起见，以上定理和逆定理的证明是在非简并情况下证明的；在简并的情况下，结论仍成立并情况下证明的；在简并的情况下，结论仍成立（这里就不再证明了（这里就不再证明了）Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism10Ex.2Ex.2 角动量算符角动量算符 和和 对易，即对易，即 因此它们有共同的本征函数完备系因此它们有共同的本征函数完备系 。0,2LLz( , ) l mY zL2L22(1)zLl lL

12、m，3.7 3.7 算符对易关系两力学量同时可测的条件算符对易关系两力学量同时可测的条件 测不准关系测不准关系（续9）( )pr同时有确定值。同时有确定值。,xyzppp在在 描述的状态中，描述的状态中，在在 描述的状态中，描述的状态中，,lmY 和和 可同时有确定值可同时有确定值: :2LzLEx.1Ex.1动量算符动量算符 彼此对易，它们有共同的彼此对易，它们有共同的本征函数完备系本征函数完备系 ,xyzp p prpiper23)2()(Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism11Ex.5Ex.5 彼此不对易，故彼此不对易，故

13、一般不一般不可能同时有确定值。可能同时有确定值。zyxLLL,zyxLLL, Ex.4 坐标算符与动量算符不对易坐标算符与动量算符不对易 ，故故 一般不可同时具有确定值。一般不可同时具有确定值。 iPxx,xPx,3.7 3.7 算符对易关系两力学量同时可测的条件算符对易关系两力学量同时可测的条件 测不准关系测不准关系（续10）42222,(1),2snzeELl lLmn Ex.3 氢原子的算符氢原子的算符 彼此对易：彼此对易：2zHL L、 、0,2LH0,zLH0,2zLL它们有共同的本征函数完备系它们有共同的本征函数完备系 ( , , ) nlmr 故故 可可同时有确定值同时有确定值:

14、 :zLLH,2在在 状态中，状态中，, ,nlmr Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism12（1 1）定义：为完全确定状态所需要的一组两两对易的）定义：为完全确定状态所需要的一组两两对易的力学量算符的最小（数目）集合称为力学量完全集。力学量算符的最小（数目）集合称为力学量完全集。三维空间中自由粒子，完全确三维空间中自由粒子，完全确定其状态需要三个两两对易的定其状态需要三个两两对易的力学量：力学量：.,zyxpppEx.2Ex.2氢原子，完全确定其状态也需氢原子，完全确定其状态也需要三个两两对易的力学量：要三个两两对易的力学量：.

15、,2zLLH一维谐振子，只需要一个力学一维谐振子，只需要一个力学量就可完全确定其状态：量就可完全确定其状态：H（2 2）力学量完全集中力学量的数目一般与体系自由度）力学量完全集中力学量的数目一般与体系自由度数相同。数相同。（3 3）由力学量完全集所确定的本征函数系，构成该体）由力学量完全集所确定的本征函数系，构成该体系态空间的一组完备的本征函数，即体系的任何状态系态空间的一组完备的本征函数，即体系的任何状态均可用它展开。均可用它展开。3.3.力学量完全集合力学量完全集合Ex.3Ex.3Ex.1Ex.13.7 3.7 算符对易关系两力学量同时可测的条件算符对易关系两力学量同时可测的条件 测不准关

16、系测不准关系（续11）Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism134 4测不准关系测不准关系3.7 3.7 算符对易关系两力学量同时可测的条件算符对易关系两力学量同时可测的条件 测不准关系测不准关系（续2 ） 测不准关系的严格推导测不准关系的严格推导 坐标和动量的测不准关系坐标和动量的测不准关系 角动量的测不准关系角动量的测不准关系引 言引 言由前面讨论表明，两对易力学量算符则同由前面讨论表明，两对易力学量算符则同时有确定值；不对易两力学量算符，一般时有确定值；不对易两力学量算符，一般来说，不存在共同本征函数，不同时具有来说，不存在共

17、同本征函数，不同时具有确定值。确定值。问 题问 题两个不对易算符所对应的力学量在某一状两个不对易算符所对应的力学量在某一状态中究竟不确定到什么程度？即不确定度态中究竟不确定到什么程度？即不确定度是多少？是多少？不确定度：不确定度：测量值测量值 F Fn n 与平均值与平均值 F 的偏差的的偏差的大小。大小。Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism14GGGFFF,)()(FFGGGGFFFGGF() ()FG FG FG FGGF GF GF GFk iFGGF 设设 和和 的对易关系为的对易关系为GFk iGF,k iFGGF考虑积

18、分：考虑积分：2( )()IFi Gd dGiFGiF)()(*dFGGFidFF)()()()()(*2dGG)()(*（再利用力学量算符的厄米性）（再利用力学量算符的厄米性） 测不准关系的严格推导测不准关系的严格推导 Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism150)()(222GkF由代数中二次定理知，这个不等式成立的条件由代数中二次定理知，这个不等式成立的条件是系数必须满足下列关系：是系数必须满足下列关系： 4)()(222kGF（称为测不准关系）（称为测不准关系） 如果如果 不等于零，则不等于零，则 和和 的均方偏差不会同时为

19、的均方偏差不会同时为零，它们的乘积要大于一正数，这意味着零，它们的乘积要大于一正数，这意味着 和和 不能不能同时测定。同时测定。kFGFG222*()()FdiF GG FdGd 3.7 3.7 算符对易关系两力学量同时可测的条件算符对易关系两力学量同时可测的条件 测不准关系测不准关系（续3）Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism16 由测不准关系由测不准关系 看出：若两个力学量看出：若两个力学量算符算符 和和 不对易，则一般说来不对易，则一般说来 与与 不能同不能同时为零，即时为零，即 和和 不能同时测定（但注意不能同时测定（但注

20、意 的特殊态可能是例外），或者说它们不能有共同本征的特殊态可能是例外），或者说它们不能有共同本征态。反之，若两个厄米算符态。反之，若两个厄米算符 和和 对易，则可以找对易，则可以找出这样的态，使出这样的态，使 和和 同时满足，即可同时满足，即可以找出它们的共同本征态。以找出它们的共同本征态。 222() ()4FGkFGFG , 0F G FG0F0GFGxx pi 4)()(222xpx故有故有 坐标和动量的测不准关系坐标和动量的测不准关系 22)2xxp （或写成或写成Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism172xpx简记为简记

21、为 表明：表明： 和和 不能同时为零，坐标不能同时为零，坐标 的均方差越的均方差越小，则与它共轭的动量小，则与它共轭的动量 的均方偏差越大，亦就是说，的均方偏差越大，亦就是说，坐标愈测量准，动量就愈测不准。坐标愈测量准，动量就愈测不准。xxpxPx3.7 3.7 算符对易关系两力学量同时可测的条件算符对易关系两力学量同时可测的条件 测不准关系测不准关系（续4） 角动量的测不准关系角动量的测不准关系22224)zyxzyxLLLLiLL （，2222241)()44xyLLmm （当粒子处在当粒子处在 的本征态时的本征态时zLChap.3 The Dynamical variable in Qu

22、antum Mechanism18测不准关系的应用测不准关系的应用 Ex. 1 利用测不准关系估算线性谐振子的零点能利用测不准关系估算线性谐振子的零点能0ESolve：谐振子的能量谐振子的能量 21nEn222( )()xnnnxN eHx222212xpH平均能量：平均能量： 2222121xpHEdxxPxPnn)()(*dxxdxdxinn)()(dxxxdxdixxinnnn)()()()(3.7 3.7 算符对易关系两力学量同时可测的条件算符对易关系两力学量同时可测的条件 测不准关系测不准关系（续5）Chap.3 The Dynamical variable in Quantum M

23、echanism190)(2dxxxxn222222222()()()() ()4PPPPxxxxPx2224Px22222221112228EHpxxx0P ( )nnpx dxP3.7 3.7 算符对易关系两力学量同时可测的条件算符对易关系两力学量同时可测的条件 测不准关系测不准关系（续16)Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism20222221280ExxdEdxmin012EE 故所谓零点能即为测不准关系要求的最小能量，故所谓零点能即为测不准关系要求的最小能量，零点能在旧量子理论是没有的。零点能在旧量子理论是没有的。22x（

24、零点能）（零点能）3.7 3.7 算符对易关系两力学量同时可测的条件算符对易关系两力学量同时可测的条件 测不准关系测不准关系（续（续17 17）Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism21Prove:22224)xzyxzyLLLLiLL （，则测不准关系：则测不准关系：222224040)xxyLLL （平均值的平方平均值的平方为非负数为非负数欲保证不等式成立，必有：欲保证不等式成立，必有：0 xL同 理同 理0 yL由于在由于在 本征态本征态 中，测量力学量中，测量力学量 有确定值，有确定值，所以所以 均方偏差必为零，即均方偏差必

25、为零，即zLlmYzLzLEx.2 利用测不准关系证明，在利用测不准关系证明，在 本征态本征态 下，下，zLlmY0 xL0 yLChap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism22（1 1）若两个厄米算符有共同本征态，它们是否就彼）若两个厄米算符有共同本征态，它们是否就彼此对易。此对易。（2 2）若两个厄米算符不对易，是否一定就没有共同）若两个厄米算符不对易，是否一定就没有共同本征态。本征态。（3 3）若两个厄米算符对易，是否在所有态下它们都）若两个厄米算符对易，是否在所有态下它们都同时具有确定值。同时具有确定值。（4 4）若）若 = =常

26、数，常数， 和和 能否有共同本征态。能否有共同本征态。（5 5）角动量分量）角动量分量 和和 能否有共同本征态。能否有共同本征态。（6 6）利用测不准关系理解势垒贯穿中在势垒内部粒）利用测不准关系理解势垒贯穿中在势垒内部粒子动能为负值的问题子动能为负值的问题,BAAByLxL)0,()(22axUExUpE思 考 题思 考 题3.7 3.7 算符对易关系两力学量同时可测的条件算符对易关系两力学量同时可测的条件 测不准关系测不准关系（续8)Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism23此式表明力学量此式表明力学量平均值平均值随时间变化有两

27、方面的原因随时间变化有两方面的原因: :体系所处的状态体系所处的状态 随时间而变化随时间而变化力学量算符力学量算符 是时间的显函数，使是时间的显函数，使 随时间变化随时间变化FF),( tx*( , ),( , )Fx t F x tx t dx*dFFF dxdxFdxdtttt（1 1）3.8 3.8 力学量随时间的变化力学量随时间的变化 守恒律守恒律1 1、力学量平均值随时间的变化、力学量平均值随时间的变化Hit1*)(1Hit由薛定格方程有由薛定格方程有 代入（代入（1 1），则有），则有Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanis

28、m24 *11dFFdFH dHFddttii因因 是厄米算符是厄米算符 H3.8 3.8 力学量随时间的变化力学量随时间的变化 守恒律守恒律（续（续）*1 ()dFFdxFH HFdxdtti利用对易子记号利用对易子记号 ,HFFHHF)(1FHHFitFdtFd（2）,1HFitFdtFd则则 HFdHF dChap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism25结论结论: :力学量力学量 的平均值的平均值 不随时间而变化不随时间而变化, ,则则称称 为运动积分，或为运动积分，或 在运动中守恒。在运动中守恒。FFFF2 2、运动积分、运动积分

29、力学量守恒的条件力学量守恒的条件若力学量算符若力学量算符 不显含时间不显含时间t,t,且与哈米顿算符且与哈米顿算符 对易对易FH0dFdt则有则有F 常量常量0,FHHFHF即即 ，0tF3.8 3.8 力学量随时间的变化力学量随时间的变化 守恒律守恒律（续（续2 2）Ex1.Ex1. 自由粒子的动量自由粒子的动量 0PtPi 不显含时间不显含时间Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism26又又221PmTH21 , , 02P HPPm0dPdt故故 守恒守恒P3.8 3.8 力学量随时间的变化力学量随时间的变化 守恒律守恒律（续（

30、续3 3）哈米顿算符可表示为哈米顿算符可表示为： 在球坐标系中算符在球坐标系中算符 等只是等只是 的函的函数，与时间（数，与时间（r,tr,t）无关，对时间偏微商为无关，对时间偏微商为0 0。 2,LLLLzyx( ,)Ex2. Ex2. 粒子在辏力场中运动的角动量粒子在辏力场中运动的角动量自由粒子的动量是运动积分自由粒子的动量是运动积分动量守恒动量守恒Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism27222221( )22HrLU rmrrrmr 角动量各分量算符及角动量平方算符均与哈米角动量各分量算符及角动量平方算符均与哈米顿算符对易顿

31、算符对易角动量各分量算符及角动量平方算符均角动量各分量算符及角动量平方算符均为守恒量。为守恒量。 角动量守恒定律！角动量守恒定律！3.8 3.8 力学量随时间的变化力学量随时间的变化 守恒律守恒律（续（续4 4）Ex3. Ex3. 哈米顿算符不显含时间的体系哈米顿算符不显含时间的体系的的能量能量0tH当当 不显含不显含t t时，时，H0,HH 又又0dHdt即：能量守恒定律！即：能量守恒定律！Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism28),(),(trtrI 空间反演算符也称为宇称算符空间反演算符也称为宇称算符),(),(),(),(

32、2trItrtrItrII3 3、哈米顿算符对空间反演时的不变宇称、哈米顿算符对空间反演时的不变宇称空间反演：空间反演：( , )r t(, )r t空间反演算符空间反演算符I21I 反演算符反演算符 的本征值的本征值I本征值本征值1I 3.8 3.8 力学量随时间的变化力学量随时间的变化 守恒律守恒律（续（续5 5）rrChap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism29 具有偶宇称或奇宇称的波函数称为具有确定的宇具有偶宇称或奇宇称的波函数称为具有确定的宇称。宇称是运动空间对称性的描述。称。宇称是运动空间对称性的描述。宇称守恒律：宇称守恒律

33、：若体系的哈米顿算符具有空间反演不变性若体系的哈米顿算符具有空间反演不变性( , )(, )( , )IH r tHr tH r t即即则则 为运动积分，即为运动积分，即宇称守恒宇称守恒I3.8 3.8 力学量随时间的变化力学量随时间的变化 守恒律守恒律（续（续6 6）( ) ( , )() (, )( )( , )IH rr tHrr tH r Ir tProveProve：( , )( , )Ir tr t( , )( , )Ir tr t( (偶宇称偶宇称) )( (奇宇称奇宇称) )11IChap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanis

34、m30 故故 0,1HIitIdtId 宇称守恒表示体系的哈米顿算符和宇称算符具有共宇称守恒表示体系的哈米顿算符和宇称算符具有共同本征函数同本征函数, , 因而体系能量本征函数可以有确定的宇因而体系能量本征函数可以有确定的宇称，而且不随时间变化。称，而且不随时间变化。 衰变宇称不守恒！衰变宇称不守恒！ 3.8 3.8 力学量随时间的变化力学量随时间的变化 守恒律守恒律（续（续7 7）因此因此, ,为运动积分，亦即宇称守恒为运动积分，亦即宇称守恒IIHHI0,HI0It又又 不显含不显含t t，IChap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism

35、31一、力学量与算符一、力学量与算符 1 1厄米算符的定义厄米算符的定义 2 2力学量与厄米算符的关系力学量与厄米算符的关系 力学量用厄米算符表示，表示力学量的厄米力学量用厄米算符表示，表示力学量的厄米算符有组成完全系的本征函数系（假设）算符有组成完全系的本征函数系（假设） 3 3厄米算符的性质厄米算符的性质 厄米算符的本征值是实数，属于不同本征厄米算符的本征值是实数，属于不同本征值的本征函数正交值的本征函数正交 4 4力学量算符的构成（对应原则）（假设）力学量算符的构成（对应原则）（假设） 5 5力学量的平均值力学量的平均值 注注 2 2和和4 4合起来作为一个假设合起来作为一个假设 第三章

36、第三章 复复 习习Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism32二、力学量的测量值与力学量算符关系：二、力学量的测量值与力学量算符关系： 假设假设力学量算符的本征值是力学量的可测量力学量算符的本征值是力学量的可测量值。将体系的状态波函数值。将体系的状态波函数用算符用算符 的本征函数系的本征函数系 展开展开则在则在 态中测量力学量态中测量力学量 得到结果为得到结果为 的几率的几率是是 ，得到结果在，得到结果在 范围内的几率是范围内的几率是n2nCd2C dFFnnnndcc三、力学量算符之间的关系三、力学量算符之间的关系 1 1不同力学量

37、同时可测定的条件不同力学量同时可测定的条件力学量力学量算符彼此对易。一体系的所有可彼此对易的力学算符彼此对易。一体系的所有可彼此对易的力学量算符构成一个完全集。量算符构成一个完全集。第三章第三章 复复 习习Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism33四、力学量算符的本征值问题四、力学量算符的本征值问题 1 1动量算符的本征值问题动量算符的本征值问题 2 2 ， 的本征值问题的本征值问题 3 3中心力场问题中心力场问题 氢原子问题氢原子问题五、力学量守恒五、力学量守恒2LzL 2 2测不准关系测不准关系3 3算符的对易关系算符的对易关系

38、 （1 1）基本对易关系）基本对易关系 （2 2）角动量算符的对易关系）角动量算符的对易关系第三章第三章 复复 习习Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism34例例1 1：已知空间转子处于如下状态：已知空间转子处于如下状态),(32),(312111 YY 试问：试问： （1 1）是否是是否是 L L2 2 的本征态？的本征态？ （2 2）是否是是否是 L Lz z 的本征态？的本征态？ （3 3）求）求 L L2 2 的平均值；的平均值； （4 4）在）在 态中分别测量态中分别测量 L L2 2 和和 L Lz z 时得到的可能值及

39、时得到的可能值及其相应的几率。其相应的几率。解：解： ),(32),(31)1(211122 YYLL 212112)12(232)11(131YY 211122312YY 没有确定的没有确定的 L L2 2 的本征值，故的本征值，故 不是不是 L L2 2 的本征态。的本征态。第三章第三章 复复 习习Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism35 ),(32),(31)2(2111 YYLLzz21113231YY 21113231YY是是 L Lz z 的本征态，本征值为的本征态，本征值为 。（3 3）求）求 L L2 2 的平均值的平均值方法方法 I I）已已归归一一化化（ dxxFxF)()(*验证归一化：验证归一化： dc *21 dYYYYc2111211123231*3231