道路与桥梁检测第二章

1、2-1 振动的分类2-2 简 谐 振 动2-3 单自由度系统振动分析第二章 振动与波动理论基础道路桥梁工程动态动态无损检测：1）桩基高低应变动力检测；2）桥梁上部结构动力检测；3）FWD落锤式弯沉仪检测等。 振动是物质的一种运动形式，是自然界十分广泛的运动形式之一，波动是振动的传播过程。美妙的音乐五颜六色的光无线电传输各信息.与振动波动相关什么是振动什么是振动从狭义上说，通常把具有时间周期性的运动称为振动。从广义上说，任何一个物理量在某一数值附近作周期性的往复变化，都称为振动。该物理量称为“振动量”。振动量可以是力学量（位移，角位移），也可以是电磁学量（电量、电流、场强），也可以是其它物理量。

2、从数学上来描述，振动量应该是随时间变化的周期函数。2-1 振动的分类1、按产生振动的原因分： 1）自由振动 2）强迫振动。2、按振动的振型分： 1）单向振动：仅用一个位移量或转角就可表示质点在某一个方向的瞬时位置（一个自由度），如图2-4所示的竖向振动和扭转振动。 2）耦合振动：需用两个或两个以上的位移量或转角才能表示刚体在某一个方向的瞬时位置（多自由度），其振动特点是刚体在一个方向的运动必将引起另一方向的运动，如图2-5所示刚体。3、按振动规律分： 1）谐和振动：是指能用一项正弦函数或余弦函数表达体系运动规律的周期性振动。 2）复合周期振动：是指由有限个不同频率的谐和振动所合成，且任意两个谐

3、和振动频率之比为有理数的振动。 3）随机振动：是指不能用谐和振动或其简单合成来表达运动规律的振动，也就是无规律的非周期振动。在一切振动中，最简单和最基本的振动称为简谐运动。任何复杂的运动都可以看成是若干简谐运动的合成。例：弹簧振子简谐振动的动力学公式2.2简谐振动例：弹簧振子弹簧振子的运动AO：弹性力向右，加速度向右，加速；OB： 向左， 向左，减速；BO： 向左， 向左，加速；OA： 向右， 向右，减速。物体在A、B之间来回往复运动O点：弹簧处于自由状态，m受力平衡。平衡位置物体受到一个始终指向平衡位置的弹性力 f ，称为恢复力。在物体经过平衡位置时，恢复力为零，但是物体由于惯性而继续运动。

4、由牛顿第二定律由牛顿第二定律22ddtxmkxmaF令令mk 2 则则xdtxd222位移 x 所遵从的运动微分方程由虎克定律： F=k x (负号表示弹性力的方向与位移方向相反)0222dtd（简谐振动的动力学方程）在振动学中定义：如果描述系统运动的物理量 遵从微分方程：则该系统的运动就是简谐振动。由数学知识可以得到该微分方程的通解：)sin(0tA描述了振动量随时间的变化规律，因此 (2) 式也可以称为简谐振动的运动学方程。(2)(1) A 和 是积分常数，由初始条件决定。 (2) 式是一个通解，但并不是唯一形式的解，余弦函数和复指数函数也是 (1) 式的解可见： 与 A、 、 0 有关A

5、、 、 0是 描述简谐振动的特征量 2)sin(100222tAdtd注意1 振幅振幅A振幅A 振动量在振动过程中所能达到的最大值 在 A, A 之间变化，A 恒为正值2 周期、频率、圆频率周期、频率、圆频率周期T ：物体作一次完全振动所经历的时间)(sin)2sin(00TtAtA2TkmT 2 弹簧振子二 简谐振动的特征量)sin(0tA频率f ：单位时间内物体所作的完全振动的次数圆频率：物体在 2 秒时间内所作的完全振动次数(又叫角频率)Tf1单位：赫兹（Hz）22T单位：弧度每秒（rad/s）T、v、反映了振动的快慢，由简谐振动系统的物理性质决定，故称它们为固有周期、固有频率、固有圆频

6、率弹簧振子：mk 21 mk kmT 2 )sin(0tA3 相位相位 ( t + ) 在一个周期内，振动量的振动状态（、d /dt）与其相位是一一对应的。振动状态的变化完全可以由相位的变化生动地反映出来。因此，相位是标示和决定振动状态的重要特征量。初相位 决定初始时刻振动物体的运动状态)cos(tA15 4. 振动的分类振动的分类： 单自由度系统的振动 按振动系统的自由度分类按振动系统的自由度分类 多自由度系统的振动 弹性体的振动 按振动产生的原因分类按振动产生的原因分类： 自由振动： 无阻尼的自由振动 有阻尼的自由振动，衰减振动 强迫振动： 无阻尼的强迫振动 有阻尼的强迫振动 自激振动本章

7、重点讨论单自由度系统的自由振动和强迫振动。 如果振动系统中还存在阻尼力，那么振子在运动中所受到的作用力就是回复力与阻尼力的叠加。而阻尼力总是减小回复力，因此使得振动的振幅随时间而减小。从能量的角度来看，阻尼的发生有两种形式，振动系统的能量变成热运动的能量，摩擦阻尼振动系统的能量变成波动形式的能量，辐射阻尼阻尼振动 实际的振动系统总是阻尼振动，那么系统要把振动维持下去必须从外边获得能量，也就是说有外部力的作用。 外部作用力有两种作用形式，即单方向的力和周期作用力。 一个振动系统如果受到周期性的外部驱动力，就称为强迫振动。它在运动中所受到的力，就是在阻尼振动的方程中再加一项周期驱动力，如果外部的周

8、期驱动力也是按照简谐振动的规律变化，则得到受迫振动就会稳定为简谐振动。强迫振动强迫振动 共振最重要的特征就是振幅和外力的频率有关，而且当外力频率满足一定条件时，振幅存在一个最大值，这就是说外力与振动系统发生了共振。在外力不大的情况下，也能导致振子产生很大的振幅。 在周期性外力作用下的强迫振动中，会发生一种特别的现象，就是共振。共振共振19 单自由度系统无阻尼自由振动单自由度系统无阻尼自由振动 一、自由振动的概念一、自由振动的概念：20 21 运动过程中，总指向物体平衡位置的力称为恢复力恢复力。 物体受到初干扰后，仅在系统的恢复力作用下在其平衡位置附近的振动称为无阻尼自由振动无阻尼自由振动。 )

9、/( 0 , 22mkxxkxxmnn 质量质量弹簧系统：弹簧系统： 22二、单自由度系统无阻尼自由振动微分方程及其解二、单自由度系统无阻尼自由振动微分方程及其解 对于任何一个单自由度系统，以q 为广义坐标（从平衡位置开始量取 ），则自由振动的运动微分方程必将是：0cqqa a, c是与系统的物理参数有关的常数。令acn/2则自由振动的微分方程的标准形式：则自由振动的微分方程的标准形式：02qqn 解解为：)sin(tAqn23 0022020arctg , qqqqAnn设 t = 0 时， 则可求得：00 , qqqq 或：tCtCqnnsincos21C1，C2由初始条件决定为nq Cq

10、C/ ,02 01tqtqqnnnsincos 0024 三、自由振动的特点三、自由振动的特点： A物块离开平衡位置的最大位移，称为振幅。 n t + 相位，决定振体在某瞬时 t 的位置 初相位，决定振体运动的起始位置。 T 周期，每振动一次所经历的时间。 f 频率，每秒钟振动的次数， f = 1 / T 。 固有频率，振体在2秒内振动的次数。 反映振动系统的动力学特性，只与系统本身的固有参数有关。 nT2n25 无阻尼自由振动的特点是无阻尼自由振动的特点是： (2) 振幅A和初相位 取决于运动的初始条件(初位移和初速度)；(1) 振动规律为简谐振动；(3)周期T 和固有频率 仅决定于系统本身

11、的固有参数(m,k,I )。n四、其它四、其它 1. 如果系统在振动方向上受到某个常力的作用，该常力只影响静平衡点O的位置，而不影响系统的振动规律，如振动频率、振幅和相位等。 26 2. 弹簧并联系统和弹簧串联系统的等效刚度212121212211 , )( , kkkkkmgkkmgFFmgkFkFeqststst并联2121eq21212121k )11()11( kkkkkkmgkmgkkmgkmgkmgeqstststst串联并联串联271. 由系统的振动微分方程的标准形式由系统的振动微分方程的标准形式2. 静变形法：静变形法：3. 能量法能量法： 求系统固有频率的方法求系统固有频率的

12、方法02qqn stngst：集中质量在全部重力 作用下的静变形n由Tmax=Umax , 求出28 无阻尼自由振动系统为保守系统，机械能守恒。 当振体运动到距静平衡位置最远时，速度为零，即系统动能等于零，势能达到最大值（取系统的静平衡位置为零势能点）。 当振体运动到静平衡位置时，系统的势能为零，动能达到最大值。mgAAkUstst)(2122max2max21 kAUmgkst222max2121nmAxmT如：29 mkkAmAUTnn 2121 222maxmax由 能量法是从机械能守恒定律出发，对于计算较复杂的振能量法是从机械能守恒定律出发，对于计算较复杂的振动系统的固有频率来得更为简

13、便的一种方法。动系统的固有频率来得更为简便的一种方法。 例例1 图示系统。设轮子无侧向摆动，且轮子与绳子间无滑动，不计绳子和弹簧的质量，轮子是均质的，半径为R，质量为M，重物质量 m ，试列出系统微幅振动微分方程，求出其固有频率。30 解解：以 x 为广义坐标（静平衡位置为 坐标原点）RkgRmMst2)(gkmMst2则任意位置x 时：kxgmMxkFst22)2(静平衡时：31 应用动量矩定理：kxRRFgRmMFmxRmMRxMRRxMRxmLAA42)()()23( 212由 ， 有)(FmdtdLAAkxRxRmM4)23( 振动微分方程：固有频率：mMkxmMkxn2380238

14、32 解解2 ： 用机械能守恒定律 以x为广义坐标（取静平衡位置为原点）22222)23(21 21)(22121xmMxmRxMRxMT 以平衡位置为计算势能的零位置，并注意轮心位移x时，弹簧伸长2xgxmMxkkxgxmMxkUststst)(22 )()2(2222因平衡时gxmMxkst)(222kxU 33 由 T+U= 有：constconstkxxmM222)23(2104)23(kxxmM mMkxmMkxn2380238 对时间 t 求导，再消去公因子 ，得x 34 例例2 鼓轮：质量M，对轮心回转半径，在水平面上只滚不滑，大轮半径R，小轮半径 r ，弹簧刚度 ，重物质量为m

15、, 不计轮D和弹簧质量，且绳索不可伸长。求系统微振动的固有频率。21 , kk 解解：取静平衡位置O为坐标原点，取C偏离平衡位置x为广义坐标。系统的最大动能为：35 ) )()( ( )(21 )(21212max21max22max21maxRkkrRmgxkkxRrRmgxkkUststst2max22222max2max22maxmax 21 )(21 )(21)(21xr)m(R)RM(RxRrRmRxMxMT系统的最大势能为：36 设 则有)sin(nAxnAxAxmaxmax , )(21 2)()(221max222222maxAkkUARrRmRMTn根据Tmax=Umax ,

16、 解得222221)()()(rRmRMRkkn37 单自由度系统的有阻尼自由振动单自由度系统的有阻尼自由振动一、阻尼的概念一、阻尼的概念： 阻尼阻尼：振动过程中，系统所受的阻力。 粘性阻尼粘性阻尼：在很多情况下，振体速度不大时，由于介质粘性引起的阻尼认为阻力与速度的一次方成正比，这种阻尼称为粘性阻尼。vcR投影式：xcRx c 粘性阻尼系数，简称阻尼系数。38 二、有阻尼自由振动微分方程及其解二、有阻尼自由振动微分方程及其解： 质量弹簧系统存在粘性阻尼：xckxxm 02 2 , 22nxxnx mcnmkn 则令有阻尼自由振动微分方程的标准形式。39 其通解分三种情况讨论： 1、小阻尼情形

17、、小阻尼情形mkcnn2 )()sin(tAexdnt22nnd有阻尼自由振动的圆频率则时设 , , , 0 00 xxxxt0022012220020tg ; )(nxxnxnnxxxAnn40 衰减振动的特点：(1) 振动周期变大，振动周期变大， 频率减小频率减小。mkcnnTnndd212 222222阻尼比有阻尼自由振动：当 时，可以认为nn1TTdnd 222111ndddffTT41 (2) 振幅按几何级数衰减振幅按几何级数衰减 对数减缩率212lnln21dnTiinTeAAd2、临界阻尼情形、临界阻尼情形 临界阻尼系数) 1 , (nnmkcc2)(000tnxxxexnt)

18、, , 0(00 xxxxt 时ddiinTTtnntiieAeeAAA)(1相邻两次振幅之比42 可见，物体的运动随时间的增长而无限地趋向平衡位置，不再具备振动的特性。 )(222221 tn tnntnneCeCex代入初始条件) , , 0(00 xxxxt 时220022222022012)( ; 2)(nnnnnxxnnCnxnnxC) 1 , (nn)(ccc 3、过阻尼（大阻尼）情形、过阻尼（大阻尼）情形 所示规律已不是周期性的了，随时间的增长，x 0，不具备振动特性。43 例例3 质量弹簧系统，W=150N，st=1cm , A1=0.8cm, A21=0.16cm。 求阻尼系

19、数c 。2021203221211)(dnTeAAAAAAAA解：解：20)(16. 08 . 0dnTe21220205lnnndnT由于 很小，405ln )s/cmN(122. 0 98011502405ln2405ln22stWgWmkc44 单自由度系统的无阻尼强迫振动单自由度系统的无阻尼强迫振动一、强迫振动的概念一、强迫振动的概念 强迫振动：在外加激振力作用下的振动。 简谐激振力： H力幅； 激振力的圆频率 ； 激振力的初相位。)sin(tHS)sin(tHkxxm 则令 , 2mHhmkn)sin(2thxxn 无阻尼强迫振动微分方程的标准形式，二阶常系数非齐次线性微分方程。二、

20、无阻尼强迫振动微分方程及其解二、无阻尼强迫振动微分方程及其解45 21xxx)sin()sin(21tbxtAxn为对应齐次方程的通解为特解)sin( , 22222thxhbnn)sin()sin(22thtAxnn全解为：稳态强迫振动 3、强迫振动的振幅大小与运动初始条件无关，而与振动系统 的固有频率、激振力的频率及激振力的力幅有关。三、稳态强迫振动的主要特性三、稳态强迫振动的主要特性：1、在简谐激振力下，单自由度系统强迫振动亦为简谐振动。2、强迫振动的频率等于简谐激振力的频率，与振动系统的 质量及刚度系数无关。46(1) =0时kHhbn20 (2) 时，振幅b随 增大而增大；当 时，n

21、 bn(3) 时，振动相位与激振力相位反相，相差 。rad n22nhb b 随 增大而减小； 0 ; , 20bbbn时时 振幅比或称动力系数 频率比 曲线 幅频响应曲线 （幅频特性曲线）147 4、共振现象 , 时nb，这种现象称为共振。此时，)cos(2tBtxn)cos(2 2 , 2 2ttbxthbhBnnnn48 单自由度系统的有阻尼强迫振动单自由度系统的有阻尼强迫振动一、有阻尼强迫振动微分方程及其解一、有阻尼强迫振动微分方程及其解tHQxcRkxFxxxsin , , tHxckxxmsin 将上式两端除以m ，并令mHhmcnmkn ; 2 ; 2thxxnxnsin22 有阻尼强迫振动微分方程的标准形式，二阶常系数非齐次微分方程。21xxx49 x1是齐次方程的通解)02(2xxnxn 小阻尼：)sin(221tAexnnt（A、 积分常数，取决于初始条件）x2 是特解：)sin(2tbx代入标准形式方程并整理22222222tg4)(nnnnhb 强迫振动的振幅 强迫振动相位滞后激振力相位角振动微分方程的全解为)sin()sin(22tbtAexnnt 衰减振动 强迫振动50 振动开始时，二者同时存在的过程瞬态过程。仅剩下强迫振动部分的过程稳态过程。需着重讨论部分。 nnnbb ; , 0令 频率比 振幅比 阻尼比因此：2222212 tg; 4)1