第八章从概率分布函数的抽样(SamplingfromP

1、第三章第三章 从概率分布函数的抽样从概率分布函数的抽样(Sampling from Probability Distribution Functions)3.3 直接抽样法（反函数法）直接抽样法（反函数法）（Sampling via Inversion of the cdf）)(1yFx注意：注意：pdf f(x)必须是归一化的必须是归一化的 设设y=F(x)为随机变量为随机变量x的累积分布函数的累积分布函数 x和和y是一一对应的是一一对应的 先随机抽取先随机抽取y，然后通过求然后通过求F(x)的反函数的反函数F-1(y)得到随得到随机变量机变量x的值的值 随机变量随机变量y在区间在区间0,1

2、上均匀上均匀分布分布 利用利用0,1区间上均匀区间上均匀分布随机数产生器抽取分布随机数产生器抽取第三章第三章 从概率分布函数的抽样从概率分布函数的抽样(Sampling from Probability Distribution Functions)3.3 直接抽样法（反函数法）直接抽样法（反函数法）（Sampling via Inversion of the cdf）方法：方法：1. 产生在产生在0,1区间上均匀分布的随机数区间上均匀分布的随机数 = P (0,1) ；)(1 Fx注：需要知道累积分布函数的解析表达式，且累积分注：需要知道累积分布函数的解析表达式，且累积分布函数的反函数存在布

3、函数的反函数存在P (0,1): 0,1区间上均匀分布的随机数区间上均匀分布的随机数2. 令令F(x) = , 解方程得解方程得x：Since F-1 ()=x, or = F(x)Proof the Inverse MethodThe Mapping from x to is one-to-one.The probability for between value and d is 1d , which is the same as the probability for x between value x and dx. Thus dxxfdxxFxdFd)()()(第三章第三章 从概率分

4、布函数的抽样从概率分布函数的抽样(Sampling from Probability Distribution Functions)3.3 直接抽样法（反函数法）直接抽样法（反函数法）（Sampling via Inversion of the cdf）直接抽样法适应于离散型的随机变量直接抽样法适应于离散型的随机变量设设离散型随机变量离散型随机变量X的可能取值为的可能取值为x1, x2, , xN, 其概率为其概率为, 3 ,2, 1);(kxxPpkk累积分布函数：累积分布函数：xxkkpxXPxF)()(0 x1xN-1xNp1p2pNx2pkxk-1xk0 x1xN-1xNx2xk-1x

5、k1F(x)方法：方法：1. 计算计算yk = yk-1 + pk，k = 2,3,N, y1 = p12. 产生在产生在0,1区间上均匀分布的随机数区间上均匀分布的随机数 = P (0,1) ；3.3. 求满足求满足yk-1 yk 的的k值值; ;4.4. 随机变量的第随机变量的第k个取值即为欲抽取的值。个取值即为欲抽取的值。 0 x1xN-1xNx2xk-1xk1F(x)pk0 x1xN-1xNp1p2pNx2pkxk-1xk证明：证明：0 x1xN-1xNx2xk-1xk1F(x)pk0 x1xN-1xNp1p2pNx2pkxk-1xkkkkkkkpxFxFxFxFPxxP)()()()

6、()(11 即即: :所产生的随机数的所产生的随机数的pdf为为pk第三章第三章 从概率分布函数的抽样从概率分布函数的抽样(Sampling from Probability Distribution Functions)3.3 直接抽样法（反函数法）直接抽样法（反函数法）（Sampling via Inversion of the cdf）p3=0.2b3+c3p2=0.3b2+c2p1=0.5b1+c1a13 . 05 . 03 . 05 . 05 . 05 . 00332211cbcbcb例例1、粒子衰变末态的随机抽样、粒子衰变末态的随机抽样设粒子设粒子a有三种衰变方式，其分支比如下有三

7、种衰变方式，其分支比如下随机选取每次衰变的衰变方式（衰变道）随机选取每次衰变的衰变方式（衰变道）直接抽样法直接抽样法 = P (0,1)rnnrnrnrnnrpprnpnrBrnr)!( !, 2 , 1 , 0,)1 (),;(例例2、二项式分布的抽样、二项式分布的抽样方法方法1：利用上面介绍的直接抽样法，需计算累积分布函数，利用上面介绍的直接抽样法，需计算累积分布函数，当当n很大时，求和计算困难很大时，求和计算困难;方法方法2：利用二项式分布的定义利用二项式分布的定义1. 产生产生n个个 i U0,1;2. 统计满足条件统计满足条件 i p（表示成功）的表示成功）的 i的数目的数目r，则则

8、r表示在表示在n次实验中成功的次数次实验中成功的次数r即为二项式分布的即为二项式分布的抽样值抽样值0,1,2,=r , e r!1 =) P(r;-rnppn, 0,例例3、泊松分布的抽样、泊松分布的抽样方法方法1：利用直接抽样法，但计算累积分布函数时非常复杂利用直接抽样法，但计算累积分布函数时非常复杂方法方法2：利用泊松分布的定义：二项式分布的极限形式利用泊松分布的定义：二项式分布的极限形式1. 选取足够大的选取足够大的n，使使p= /n相当小，例如，相当小，例如，p=0.12. 产生产生n个个 i U0,1;3. 统计满足条件统计满足条件 i p（表示成功）的表示成功）的 i的数目的数目r

9、，则则r表示在表示在n次实验中成功的次数次实验中成功的次数r即为泊松分布的抽即为泊松分布的抽样值的近似值，样值的近似值， n越大，近似程度越好越大，近似程度越好bxaxbxaabxf, 0,1)()0()(xexfx例例4、连续型随机变量的直接抽样、连续型随机变量的直接抽样1. 求区间求区间a,b上均匀分布的随机数上均匀分布的随机数x:xaabaxxdxf)(aabx)(产生产生 U0,1; 2. 指数分布指数分布xxxexde10ln1)1ln(1x产生产生 U0,1; 和（和（1- ）都是）都是 U0,1Particle decay in flightp: momentum of the particlem: mass of the particle0: Life time of the particle in its rest frameThe proper decay length of the particle in LAB system:00cmpcdp(x,d): the probability density function for a particle to decay aft