线性系统理论第三章

1、1 首先研究单变量系统的可控性、可观性与传递函数零、极点相消之间的关系。考虑单变量系统，其动态方程为,(32 2 )=+=-Abc xxuyx(3-22)式对应的传递函数为：1()( )( )()(323)det()( )adj sN sg sssD s-=-=-IA bIAIAc cc cb b( )()=-cIA b其中，N sadj s一、可控性、可观测性与零极点对消问题一、可控性、可观测性与零极点对消问题3-23-2单变量系统的实现单变量系统的实现( )det()=-IAD ss2定理定理3-63-6 动态方程(3-22)可控、可观测的充分充分必要条件必要条件是g(s) 无零、极点对消

2、，即 D(s)和N(s)无非常数的公因式。证明：证明：首先用反证法证明条件的必要性。若有s=s0 既使N(s0)=0，又使D(s0)=0：00()det()0,D ss=-=IA利用恒等式1()()()()det()adj sssss-=-=-IAIAIAIAIIA00()()0N sadj s=-=cIA b3( )()()Dssadj s=-IIAIA将s= s0代入，可得000()()(1)a d j ss a d j s-=-AIAIA将上式前乘 c、后乘 b 后即有00000()0( )0(2)(N sadjsadjsss N s-=-=c AIA bcIA b 式(1)前乘cA、后

3、乘b，并考虑到(2)的结果后即有2000200()()()0sadadjj ss Nss-=-=cAIA bc AIA b.，依次类推可得40002010()()0()0()0()0nNsadj sadj sadj sadj s-=-=-=-=-=cIA bc AIA bc AIA bc AIA b这组式子又可写成01()0na d j s-轾犏犏犏-=犏犏犏臌ccAIAbcA因为假设动态方程可观测，上式中前面的可观性矩阵是可逆矩阵，故0()0adj s-=IA b5考虑到式(1-45)，我们有1000()()nkkkadj sps-=-=IA bA b1det0bAbAb由式（1-46）n-

4、轾=犏臌这与系统可控的假设相矛盾。0010110()()0()nnp sp sps-轾犏犏轾犏=犏臌犏犏犏臌bAbAb6 矛盾表明N(s)和D(s)无相同因子，即g(s)不会出现零、极点相消的现象。1()( )( )()det()( )g-=-=-cIA bcIAbIAadj sN ssssD s充分性：充分性：即若N(s)和D(s)无相同因子，要证明动态方程(3-30)是可控、可观的。用反证法。设系统不是既可控又 可观测的。不妨设 (3-30) 是不可控的。这时可按可 控性分解为(2-36) 的形式，并且可知这时传递函数， ,(322)xxuyx=+=-Abc71111111111()( )

5、()det()( )-=-=-cIAbcIAbIAadj sNsssDs在上面的式子中，D(s)是n 次多项式，而D1(s)是n1次多项式，由于系统不可控，所以 n1 n，而N(s)和D(s)无相同因子可消去，显然11()()()()NsNsDsDs这和两者应相等矛盾。证完。证完。8推推 论论1) 单输入系统(A, b)可控的充分必要条件是adj(sIA)b 与D(s)= (s)无非常数公因式; 单输出系统(A, c)可观的充分必要条件是cadj(sIA)与D(s)= (s)无非常数公因式。 事实上，对单输入系统，我们有对单输出系统亦有类似的结论。1()( )() det()adjsX ssu

6、us-=-=-IA bIAbIA( )det()ssD=-IA这里，9零极对消问题小结零极对消问题小结一、一、若 cadj(sIA)b与A的特征式的特征式(s)有公因子ss0 , 则s0 或是不可控模态，或是不可观模态，或是既不可控又不可观的模态；若 adj(sIA)b与(s)有公因子ss0 , 则s0是不可控模态若cadj(sIA)与(s)有公因子ss0 , 则s0是不可观模态10二、 若 adj(sIA)与(s)有零、极对消，则ad(sIA)b 与(s)有零、极对消； c adj(sIA)与(s)有零、极对消；即使adj(sIA)与(s)无零、极对消，也有可能 adj(sIA)b与(s)

7、、 c adj(sIA)与(s)都有零、极对消。11例题例题 1 1101,1 ,10101Abc轾轾犏犏犏犏=犏犏犏犏臌臌不可控模态：1；不可观模态：1；adj(sIA)与 (s) 有 s=1 对消；adj(sIA)b与(s)有s=1 对消； cadj(sIA)与(s)有s=1 对消。 12adj(sIA)与(s)无零、极对消，也有可能有既不可控又不可观的模态。见下面的例2。例题例题2 21121,10103040轾轾犏犏犏犏犏犏=犏犏犏犏犏犏犏犏臌臌Abc不可控模态：3、4, adj(sIA)b 与 (s)可对消 (s3)(s4)；不可观模态：2、4, cadj (sIA)与 (s)可对消

8、 (s2)(s4)；既不可控又不可观的模态：4 , (但 adj(sIA)却与(s)无对消！)。13总结例总结例1和例和例2：既不可控又不可观的模态一定使adj(sIA)b 与(s)有零、极对消，也使cadj(sIA)与(s)有零、极对消；反之，即使adj (sIA)b与(s)有零、极对消、 cadj(sIA)与(s)有零、极对消，也不一定adj(sIA) 与(s)有零、极对消,也不一定有既不可控又不可观的模态。 14adj(sI-A)与(s)有s-s0对消有既不可控又不可观的模态s-s0 。adj(sI-A)b与(s)有s-s0对消， cadj(sI-A)与(s)有s-s0对消。无必然联系a

9、dj(sI-A)b与(s)有s-s0对消， cadj(sI-A)与(s)有s-s0对消。反之不成立反之不成立15(3-30) 式中的d 就是下列动态方程中的直接传递部分 ,=+=+Abc xxuyxdu所以只需讨论(3-30)式中的严格真有理分式部分。10110111( )330nnnnnnnnd sd sdsdg ssa sasa-+=-+（）设给定有理函数二、有理传递函数的最小实现二、有理传递函数的最小实现16要求寻找 （A, b, c），使得1()( )(333)sg s-=-cIAb并且在所有满足(3-33)式的（A, b, c）中，要求 A 的维数尽可能的小。下面的讨论中总假定下面的

10、讨论中总假定g(s)的分的分子和分母无非常数公因式。子和分母无非常数公因式。对(3-33)式，可构造出如下的实现 (A ,b,c)111111( )332nnnnnnnssg ssa sasabbb-+=-+（） 问题的提法是：问题的提法是：给定严格真有理函数 171211101000001000000101bbb-轾轾犏犏犏犏犏犏犏犏=犏犏犏犏犏犏犏犏-臌臌=cAbcnnnn nnnaaaac1. 1. 可控标准形的最小阶实现可控标准形的最小阶实现 (3-34)：具体构造如下：1( )D suv( )N sy18(3-34)记所对应的系统为11111 ( )nnnnvuuD ssa sasa

11、-=+121(2)32(1)1nnnxvxxvxxvxxv-=令2)2)12= xx23= xx1-=nnxx( )11 21nnnnnxva xaxa xu-= -+( )(1)(1)11nnnnva vava vu-+=( )( ) ( ) ( )N syg s uuN s vD s=1)19写成矩阵形式：111111( ) () nnnnncnyN s vssvxxbbbb bb-=+轾犏犏=犏犏臌 1210100000100(342)0000101-轾轾犏犏犏犏犏犏犏犏=+-犏犏犏犏犏犏犏犏-臌臌Annnuaaaa3)20 (3-42)式给出的(A, b, c)具有可控标准形，故一定是

12、可控的。可直接计算它对应的传递函数就是(3-34)的传递函数。由于已经假设由于已经假设g(s)无零、极点对无零、极点对消，故可知消，故可知(3-42)(3-42)式对应的动态方程也一定是可观的。式对应的动态方程也一定是可观的。这时A阵的规模不可能再减小了，因为再减小就不可能得出传递函数的分母是n 次多项式的结果。所以(3-42)式给出的就是(3-34)的最小阶动态方程实现最小阶动态方程实现。212. 2. 可观标准形的最小阶实现可观标准形的最小阶实现1121100010(335)0100010001nnnnnaaaabbb-轾-犏轾犏犏-犏犏犏犏=-犏犏犏犏犏犏臌犏-臌=ooAbc111111

13、( )( )( )nnnnnnnNsssg sDssa sasabbb-+=+可以有如下可观标准形实现：22( ) ,( )N syuD s=对考虑所对应的微分方程：( )(1)(1)11(1)(1)111nnnnnnnya yaya yuuubbb-+=+（）根据拉氏变换的微分定理：( )1(1)()( )(0)(0)iiiiusu ssuu-=-L(1)将它们代入并经整理后有( )1(1)()( )(0)(0);iiiiysy ssyy-=-L231( )/( ) ( )yN sD suD s=+120,nnsssuyp-显然，若的系数已知，则对任何就可唯一地确定 。这启发我们选状态变量(

14、参见 .11,定义1-7）：1(1)1021(0)(0)(0)nxnya yusb-+- （）( )10 (0)nnxys-22(1)(1)31122(0)(0)(0)(0)(0)(0)nxnya yua yusbb-+-+- （ ）11(2)(2)11(01)1(0)(0)(0)(0)(0)xnnnnnya yuayubb-+-+- （）+241(2)(2)1111nxxnnnnnxya yuayubb-=+-+- 2（）（）=nxy1111111nnnnnxxnxyaxxauxyubb-=+-=-+（）12(1)(1)21122nnnxxxya yua yubb-=+-+- （ ）1222

15、nnnxxa xub-=-+23(2)(2)(1)(1)3112233nxnxya yua yua yubbb-=+-+-+- （ ）2333nnnxxa xub-=-+111nnnxxaxub-=-+251最后求 的表达式。事实上，由(2)，有x()()(1)()(1)()(1)1(1111)1111()nnnnnnnnnnya yayuuxya yuayubbbb-=+-+-=+-（ ）（ ）(1):但由比较式(1)，我们有：nnnnnxa yua xubb=( )(1)(1)11(1)(1)111nnnnnnna yya yayuuubbb-+=+（）261112221121000100

16、01000101nnnnnnnaaxxaxxxuxxaabbb-轾犏犏犏轾轾轾犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏=+犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏臌臌臌犏-犏犏-臌-综上， 0001yxnnnnnxa yua xubb=111nnnxxaxub-=-+111iin inn ixxaxub- +- +=-+nyx=27可控和可观标准型实现小结可控和可观标准型实现小结在在传递函数为即约的条件下，无论是可控还是可观标准型均是最小实现；1)G(s)实现为可控标准型 (Ac,bc,cc)时,1210100001000001-轾犏犏犏犏=犏犏犏犏-臌cAnnnaaaa0001轾犏犏犏犏=犏犏犏犏臌bc11cnnbbb-=

17、c c其中，an 和 n分别是分母和分子多项式的常数项。28G(s)的可观控标准型(Ao,co,bo)：1121100010(335)0100010001ooAbcnnnnonaaaabbb-轾-犏轾犏犏-犏犏犏犏=-犏犏犏犏犏犏臌犏-臌=其中，an 和 n分别是分母和分子多项式的常数项。29( )若的因子已分解成一次因式的乘积，则通过部分分式分解，可得若当标准形的最小阶实现。g s323( )3121810( )( )(1) (2)y ssssg su sss-+-=-3. 3. 若当标准形实现若当标准形实现例例：321212( )(1)(2)(1)(1)y suuuussss-=+-令131(1)xus=-221(1)xus=-31(1)xus=-41(2)xus=-30但2332111(1)(1)(1)xuxxusss=-进而，12311(1)(1)xuxss=-；则1212yx=-321212( )(1)(2)(1)(1)y suuuussss-=+-因3144412(2)xuxxus=+-最后，由。注意到12112212233331(1)1