上海市高三数学一模填选难题解析

1、2013 年上海市高三数学一模客观压轴题汇编一、填空题1(2014 年闵行区一模理科 12)设 i, j 依 次 表 示 平 面 直 角 坐 标 系 x 轴 、 y 轴 上 的 单 位 向 量 ， 且ar ri ar 2rj 5 ，则 ar 2ri 的取值范围是答案： 655 ,3详解：根据题意， ra ir ar 2rj 5的几何意义为一个点到 (1,0) 的距离加上这个点到 (0, 2)的距离等于 5 ，如下图所示，即到 A点的距离加上到 B的距离等于 5 ，而 AB就等于 5 ，所以这个点的轨迹即线段 AB，而 我们要求的取值范围的几何意义即转化成线段AB 上的点到点 ( 2,0) 的距

2、离的取值范围， 最短距离即下图中的 CD 的长度，用点到直线的距离 公式或者等面积法可求得 CD 6 5 ，因为 BC 2 2 ， AC 3，所以距离5的最大值为 3 教法指导：用代数的方法计算，因为有根号，过程会很繁杂，结合向 量的模的几何意义，转化成图形问题，简洁明了，易于理解，教学过 程中注意引导数形结合的使用2(2014 年闵行区一模理科 13)log2 x(0 x 4)f (x) 2 2 70 ， 若 a,b,c, d 互 不 相 同 ， 且 x2 8x (x 4)33f (a) f(b) f(c) f(d)，则 abcd的取值范围是答案： (32,35)详解：根据题意， 如图所示，

3、 ab 1， abcd cd c(12 c) 12c c2，4 c 5 ，所以答案为 (32,35)教法指导：这类题出现较多，典型的数形结合题型，要让学生熟悉各类函数图象，以及相应的性质，尤其是对称性和周期性；在草稿纸上作图的时候，虽然是草图，但有必要做出一些特殊点进行定位；写区间的时候，务必考虑区间的开闭情况变式练习(2014 年闵行区一模文科 13)已知函数 f (x) x 1 1，若关于 x的方 程 f(x) t (t R)恰有四个互不相等的实数根 x1,x2,x3,x4( x1 x2 x3 x4)， 则 x1 x2 x3 x4 的取值范围是答案： (3, 4)详解：根据题意，如图 所

4、示 x1 x2 0x1 x2 x3 x4 x3 x4 x3 (4 x3 )4x3 x32 ，x3(1,2)3(2014 年闵行区一模理科14)Ak x x kt 1 , 12 t 1 ，其中 k 2,3, ,2014 ，则所有 Ak 的交集为 kt k答案： 2, 5 2详解：因为 k 2,3,2014 ，所以 12 1 1，结合耐克函数的图像，如kk图所示，当 12 t 1 时，kAk 2,k 1，因为 k 2,3,2014 时， k 1递增，所以所有 Ak的交集为kk2,52 教法指导：本题考查了耐克函数的图像与性质，结合图像以及函数的 定义域，处理函数的值域问题；难度不大，但学生可能会因

5、为含有参数k而产生畏难心理，可以让学生先求 A2, A3,A4 ，发现一般规律，再总 结归纳 变式练习42（2014年闵行区一模文科 14）已知 f（x） x 4 kx2 1 （ k是实常数），则x x 1f （x） 的最大值与最小值的乘积为答案：k+234（ 2014 年徐汇区一模理科 12）如图所示， 已知点 G是 ABC的重心，过 G作直线与 AB、AC 两边分别则 xyx的值为 yuuuur uuur uuur uuur交于 M 、N 两点，且 AM xAB,AN yAC ，答案： 13详解：解法一： M , G, N三点共线， uuuur uuur uuur AM xAB, ANuu

6、ur AGuuur yAC， uuuur AMuuurANuuur xAB +假设uuurAGuuuurAMuuurAN ，有=1 ，yuAuCur ， 因 为 G 是 重 心 ， 所 以uuur 1 uuurAG AB31 uuurAC31，3，=1， 3x 3y1，化简 xxyy13解法二：特殊值法，取 x y 23教法指导：作为填空题，本题的第一做法应是解法二，但对于一些特 别认真的学生，一定会问具体做法的，要求我们能够写出具体过程； 注意向量一些常用知识点，以及一些转化技巧5（ 2014 年徐汇区一模理科 13）一个五位数 abcde满足 a b,b c d, d e, 且 a d,b

7、 e（ 如 37201,45412） ，则称这个五位数符合“正弦规律”那么，共有个五位数符合“正弦规律”答案： 2892详解：根据题意，第二位最大，第四位最小，其他三个数介于二者之间；由此可以展开分类 第二位数与第四位数相差2，情况为 138 种； 第二位数与第四位数相差3，情况为 237 种； 第二位数与第四位数相差4，情况为 336种；以此类推，总共的情况为13 8+23 7+33 6+43 5+53 4+63 3+7 32+83 1=2892 种教法指导：特殊元素优先原则，这里面最大的第二位数与最小的第四 位数最特殊， 由此可以展开分类； 这类题型学生一般不知道从何下手， 我们要教会学生

8、发现规律，找出特殊元素或特殊位置，从而合理分类 6( 2014 年徐汇区一模理科 14)定义区间 c,d 、 c, d 、 c, d 、 c,d 的长度均为 d c d c . 已知实数a, b a b . 则满足 1 1 1的 x 构成的区间的长度之和为 x a x b答案：2详解：因为求的是区间的长度，原不等式1xa1xb1(ab) 的解的区间长度和不等式 1 1 1(t 0) 的解的区间长度是一样的， 因为只是图 x t x像发生了平移，移项通分得 x tx 2x t 0 ，因式分解后用数轴标根法 x(x t)解 得 x (0,t 2 t 4 (t,t 2 t 4 ， 区 间 长 度 之

9、 和 为22t 2 t 2 4 t 2 t2 4 t 22 2 t 2 教法指导：因为含有两个字母，不等式不好解，所以我们要化归成一 个字母的不等式问题，因为描述的是区间长度，根据题意，图像平移 并不改变区间长度，就转化成一个字母，然后解出不等式即可求区间 长度，注意转化化归的领会；当然，这道题也可以用特殊值法，不再 赘述7( 2014 年松江区一模理科 11)对于任意实数 x， x 表示不小于 x的最小整数，如 1.2 2, 0.2 0 定 义在 R 上的函数 f (x) x 2x ，若集合 A y y f ( x), 1 x 0 ，则集合 A 中所有元素的和为答案： 4详解： x 1时，

10、f(x) 3； 1 x 0.5， f(x)1； 0.5 x 0 ， f (x)0；1A 3, 1,0教法指导：根据题目定义，引导学生发现规则，用枚举法列出所有元素即可，重在理解8( 2014 年松江区一模理科 13)已知函数 f(x) loga 1 x (a 0,a 1) ，若 x1 x2x3x4 ，且f (x1) f (x2) f (x3)f(x4) ，则 1 1x1 x2x3x4答案：2详解：设 f ( x) log1 x t ， loga 1t ，1 xa t ，x 1x1四个根为 1t t 1 at，1 at，1 a1t ，1t ，它们的倒数为a1at 11， t， a1tt a ，

11、a t ， t a 1 a 1倒数之和等于 2解法二：特殊值，例如 a 2，令 f (x) 1，解出四个根即可 教法指导：本题直接求出四个解，并不难，就怕有些学生认为没这么 简单，从而去从其他角度分析，反而复杂了，当然，本题可以借助数 形结合的方法进行理解，作为填空题，特殊值不失为一种好方法 9( 2014 年松江区一模理科 14)设集合 A 1,2,3,L ,n，若 B 且B A，记 G(B)为B中元素的最大值与 最小值之和，则对所有的 B，G(B) 的平均值答案： n 1 详解：当最大值为 n时，最小值可以为 1，2，3 n ，G( B)个数为 n，G(B) 之和为 1 2 . n n n

12、 n(1 n) n2 3n2 1 n ；同理当最大值为 n 1时， G(B)个数为 n 1，2 2 2和为 3 (n 1)2 1 (n 1)；22以此类推， 所有 G(B)的个数为 1 2 . n n(1 n) ，所有G(B)的和2为3(12 22. n2)1(12 . n) 11n(n1)(2n 1) 1 1n(n1)，除以22 22 2 2G(B) 的个数 n(1 n)就是 G(B) 的平均值 1(2n 1) 1 n 122 教法指导：本题可以举一些 A 1,2,3,L ,n 的子集，让学生理解 G(B) 的 意思，然后按最大值或者最小值进行分类，注意B 可能是个单元素集合，不要遗漏这种情

13、况；这类题目注意培养学生的耐心10(2014 年青浦区一模理科 13)已 知 直 角 坐 标 平 面 上 任 意 两 点 P(x1,y1) 、 Q(x2,y2) ， 定 义d(P,Q) x2 x1 x2 x1 y2 y1 为P,Q两点的“非常距离” ，当平面上动 y2 y1 x2 x1 y2 y1点M(x,y) 到定点 A(a,b) 的距离满足 MA 3时，则 d(M , A)的取值范围是 答案： 3 2 ,32详解：根据题意， 通过比较两点的水平距离和垂直距离， 较大的为“非 常距离”， A为定点， M 的轨迹是 A为圆心， 3为半径的圆， 根据下图， 例如 A,M 1两点的垂直距离较大，那

14、么此时 A,M 的非常距离为图中的绿 色线段部分，而 A,M 2两点的水平距离相比垂直距离更大，那么非常距 离为图中的紫色线段部分，可以得出 M 与 A的水平距离或垂直距离最 大为 3，当水平距离等于垂直距离的时候取到最小值3 2 ，即图中取 M424 的时候 教法指导：理解性的题型，注意引导学生如何理解题意，讲解时，一 定要辅以图像帮助理解11(2014 年青浦区一模理科 14)若不等式 ( 1)na 3 ( 1) 对任意自然数 n 恒成立，则实数 a 的取值范围 n1是答案： 3,2)详解：当 n 为奇数时，a 3 1 ， a (3 1 ) ，因为是恒成立，大于 n 1 n 1最大值， 不

15、等式右边的最大值永远小于3，所以 a 3；当 n为偶数时，n 是自然a 3 n11，小于最小值，因为 n N， n 0时取最小值 2教法指导：恒成立问题均为最值问题，注意分类讨论，并且 数，讨论 n为偶数的时候， n是可以取 0 的，学生可能会取 2，这是个 易错点，需要给学生强调12(2014 年金山区一模理科 13)如图，已知直线 l:4x 3y 6 0，抛物线 C:y2 4x图像上的一个动点 P到 直线 l与 y轴的距离之和的最小值是答案： 1详解：如下图， PH PA PH PB 1 PH PF 1 PH 1 1，PH 用点到直 线距离公式求教法指导：这是 2012 长宁区二模题，注意

16、圆锥曲线的相关定义，进 行巧妙的转化，结合图像引导学生分析13(2014 年金山区一模理科 14)在三棱锥 P ABC中，PA 、PB、PC两两垂直，且PA 3,PB 2,PC 1. 设M 是底面 ABC内一点，定义 f(M) (m,n,p)，其中 m、n、 p分别是三棱锥 M PAB、 三棱锥 M PBC 、三棱锥 M PCA的体积 .若 f(M) (1,2x,y)，2且 1 a 8 恒成立，则正实数 a 的最小值为xy答案： 6 4 2详解：依题意得， 2x y 1 ， y 1 2x，将不等式中的 a 分离得a (8 1)(1 2x) 6 ( 1 16x) ，右边的最大值为 6 4 2 ，

17、所以 a 6 4 2x 2 2x教法指导：这是 2012 长宁区二模题，主要是理解题意，得出 2x y 是 个定值，要引导学生看透看似复杂的表象，抓住条件的本质，然后就 是一道常见的恒成立题型14(2014 年奉贤区一模理科 13)已知定义在 R上的函数 y f(x) 对任意的 x 都满足 f(x 2) f(x)，当1 x 1时， f(x) x3 ，若函数 g(x) f(x) loga x 只有 4个零点，则 a的取 值范围是答案： (1, 1) (3,5)53详解：根据已知条件， f(x)周期为 4，先画 f (x)一个周期图像， 当1 x 3 时， f(x 2) (x 2)3 f(x)，f

18、(x) (x 2)3，由此画出 1,3)的图像，此为 一个周期，图像如下， g(x) f(x) loga x 只有 4个零点即 f(x)与 y loga x 只有 4 个交点，因为 a是未知的，需要分类讨论：当 0 a 1时，有两个界值，如下图，此时 5 个交点， 代入点 ( 5, 1) ， 解出 a 15此时 3 个交点，代入点 (3, 1) ，解得 a 13当 a 1时，也有两个界值，如下图，此时 3 个交点，代入点 ( 3,1) ， 解得 a 3此时 5 个交点，代入点 (5,1) ，解得 a 5 教法指导：数形结合的题型，一定要结合图像分析，并且一些用于定 位的特殊点要善于把握；另一方

19、面，必须熟悉初等函数的所有性质以 及函数图像的变换15(2014 年奉贤区一模理科 14)已 知 函 数 y f(x) ， 任 取 t R ， 定 义 集 合 ： At y y f(x),点P(t, f(t),Q(x,f(x), PQ 2 ，设M t,mt分别表示集合 At中元 素的最大值和最小值，记 h(t) Mt mt ，则( 1)若函数 f (x) x ，则h(1) (2)若函数 f (x) sin x，则 h(t) 的最大值为2答案：(1)2；(2)2详解：定义的意思是函数 y f (x)在以定点 P(点 P在函数图像上)为 圆心半径为 2 的圆内的部分，这部分函数图像的值域即 At

20、，第一问， t 1，定点 P (1,1) ，如下图，蓝色实线段部分为符合定义的图像部分， 这部分图像最大值为 2，最小值为 0，所以 h(1) 2 第二问，对于 f(x) sin 2 x ，函数最大值与最小值之差为 2，如下图， 通过理解观察， 可得出 At能够同时包含最大值和最小值， 所以 h(t) 的最 大值为 2，此时 t 2k,k Z 教法指导：这是一道理解性的定义题型，理解题目的定义很重要，然 后结合函数图像进行分析就不难了、选择题1( 2014 年奉贤区一模理科18)N* )上动点 P到定点 Q(1,0) 的距离的最小值设双曲线 nx2 (n 1)y2 1( n 为 dn ，则 l

21、im dn 的值为(nC. 0 D. 1答案：A详解：双曲线方程两边同时除n ，得到 x2 (110，n即方程 x2 y2 0 ，这就是方程的极限位置，1 2 1 2 ，当)y，当 nnn即求点 Q(1,0) 到直线 y x的距离，所以选 A教法指导：这是一类要考虑极限位置的极限题型，在高考题中出现过 类似题型，一般找到了极限位置，题目是很容易解的，很多学生不会 做是因为没有想到极限位置，而是想把 dn用 n表示出来，这就复杂了 2( 2014 年徐汇区一模理科 18)已知集合 M x,y y f x ，若对于任意 x1,y1 M ，存在 x2,y2 M ， 使得 x1x2 y1y2 0 成立

22、，则称集合 M是“垂直对点集” . 给出下列四个集 合：1 M x, y y ； M x, y y sinx 1 ；x M x, y y log2 x ； M x, y y ex 2 .其中是“垂直对点集”的序号是( )A B. C. D. 答案：D详解：根据题意，对于图像上任意点 A，图像上存在点 B，使得 OA OB，所以用排除法，中( 1,1 )点不符合，中( 1,0 )点不符合， 所以选 D 教法指导：这类题型，重在理解题意；作为选择题，排除法与特殊值 法是要学生能够灵活运用3( 2014 年青浦区一模理科 18)对于函数 f (x) ，若在定义域内存在实数 x，满足 f ( x) f(x)，称 f(x)为 “局部奇函数”，若f(x) 4x m2x1 m2 3为定义域 R上的“局部奇函数” ，则实数 m的取值范围是( )A 1 3 m 1 3B.13m22C. 2 2 m 2 2D.22m13答案：B详解：因为存在实数x，满足