黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系

1、黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系数学系1302班第五组07樊萌12韩鸿林19兰星21李鸿燕45王些51武相伶54许小亭57杨莉69赵志阳8黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系黎曼积分和勒贝格积分定义的比较1、黎曼积分定义：设fX在a,b上有界，对a,b做分割，Tax0为XnbM，其中 yiyi 1ninf f x ,x xi , xixi 1 X ,smi xixi 1i 1bbSdx sdxaa:设在可测集E上可测，若记f x max f x ,0 ,其中令Misupfx,xxi,minSMixixi1,若有i1则称fx在a,b上黎曼可积.2、勒贝格积分定义：，0,作my°,yiyn和

2、下界，令Eix,yiifxyi,i1,2,3、一般的可测函数的积分定义为,M,m分别为fx在E上的上界nn若lim°yi1mEi存在，则fx勒贝格可积.i1fxminfx,0，则有fxfxffx在E上的积分确定且x,若fxdx,f_xdx不同时为，则EEfxdxfxdxfxdx.EEE4、简单函数的勒贝格积分定义：设fx是可测集E上的非负简单函数，于是有对E的n划分Ei,i1,2n,fx在Ei上的取值为G,则fxci日,定义fx的勒贝格积分为i1nfxdmcimEi,若fxdm，则称fx在E上勒贝格可积.Ei1E5、非负可测函数的勒贝格积分定义fn x，对任意的:取E上的非负简单函数

3、列xE,fnx都收敛于fx,则fx在E上勒贝格可积其积分为limfnxdmfxdm.nEE对一般的函数由于fxfxfx,则fxdmfxdmfxdm.EEE若左端的两个积分值都有限时，称fx在E上勒贝格可积.勒贝格积分是对黎曼积分的推广，所以黎曼可积的函数一定勒贝格可积，但勒贝格可积的函数不一定黎曼可积.黎曼积分与勒贝格积分存在条件的比较黎曼可积的条件黎曼可积的条件必要条件定义在a,b上的fx黎曼可积的必要条件是fx在a,b上有界.注任何黎曼可积白函数必有界，但有界函数不一定黎曼可积黎曼可积的充分必要条件1、设fx是定义在a,b上的有界函数，则fx黎曼可积的充分必要条件为fx在a,b上的黎曼上积

4、分等于黎曼下积分.即设f x在a,b上有界，T a x0 x1xn b为对a,b的任一分割，其中令M i sup f x , xxi , mi inf f x ,x xxixi 1 X ,smi xii 1xi 1nSMixixi1,i1,2,n有i1bbSdxsdx.aa2、设fx是定义在a,b上的有界函数，则fx黎曼可积的充分必要条件为0,总存在某一分割T,使得WixWiMimi.i13、设fx是定义在a,b上的有界函数，则fx黎曼可积的充分必要条件为0,总存在某一分割T,使得STsT成立.4、定义在a,b上的函数fx黎曼可积的充分必要条件为fx在a,b上的一切间断点构成一个零测度集.注这

5、说明黎曼可积的函数时几乎处处连续的.勒贝格可积条件1、设fx是定义在可测集E上的有界函数，则fx在E上勒贝格可积的充要条件为0,总存在E的某一分割D,使得wimEi2、设fx是定义在可测集E上的有界函数，则fx在E上勒贝格可积的充要条件为fx在E上勒贝格可测.3、设fx在a,b上的黎曼反常积分存在，则fx在a,b上勒贝格可积的充要条件为fx在a,b上的黎曼反常积分存在，且有bfxdmfxdx.a,ba4、设fnx为E上的可测函数列，fnx在E上的极限函数几乎处处存在，且fnxdxM,则fx在E上勒贝格可积.E5、设fx是是定义在可测集E上的连续函数，则fx在E上勒贝格可积的充要条件为fx在E上

6、勒贝格可测.黎曼积分与勒贝格积分的性质比较黎曼积分的性质1、（线性性）若fx,gX是定义在a,b上黎曼可积函数，则xgx,fxgx也在a,b上黎曼可积.bbf x g x dx f x dxaabbbb2、（区域可加性）设有界函数f x在a,c , c,b上都黎曼可积，则f x在a,b上也黎曼可积，且有bf x dxacbf x dx f xdx.ac3、（单调性）若f x ,g x是定义在a,b上黎曼可积，且f x g x ,则bbf xdx g xdx.aa4、（可积必绝对可积）若f x在a,b上黎曼可积，则|f x在a,b上也黎曼可积，且有bf x dxaf x dx.gxdx,但gxf

7、xdxfxdxgxdx.其逆命题不成立.5、若f x在a,b上黎曼可积，则在a,b的任意内闭子区间a, b上也黎曼可积.且其积分值不会超过在a,b上的积分值.16、若fx是a,b上非负且连续的函数，若有fxdx0,则fx在a,b上恒等于零.07、若fx,gx是a,b上的黎曼可积函数，则Mmaxfx,gxmminfx,gx在a,b上也黎曼可积.118、若fx在a,b上黎曼可积,在a,b上有定义且有界，则也在a,b上黎曼可积.勒贝格积分的性质Ek, Ek等均可测且两1、（有限可加性）设fx是有界可测集E上的可积函数,Ek1两互不相交，则有fxdxfxdxfxdxfxdx.EEiE2En2、对于给定

8、的可测函数fx,fx与fx的可积性相同且fxdxfxdx.EE3、（单调性）若fx,gx在E上勒贝格可积，且fxgx几乎处处成立，则fxdxgxdx.EE4、fx是E上的非负可积函数，则fx在E上是几乎处处有限的.5、fx是E上的非负可测函数，若fx在E上几乎处处等于0,则fxdx0.E6、（零测集上的积分）若mE0,则fxdx0.E7、fx是E上的勒贝格可积函数，fx0在E上几乎处处成立，则fxdx0.E8、设fx在E上可测，若存在非负函数gx在可测集E上勒贝格可积，fxgx几乎处处成立，则fx在可测集E上勒贝格可积.9、fx在可测集E上勒贝格可积，人是E的可测子集，则fx在A上也勒贝格可积

9、.且其积分值不会超过在E上的积分值.10、设fx在E上可测，则fxdx0的充要条件是fx0在E上几乎处处成立.E11、设fx,gx均在E上勒贝格可积，则Mmaxfx,gx,mminfx,gx也在E上勒贝格可积.12、若fx与gx在E上几乎处处相等，则gx也可积，且fxdxgxdx.EE13、设fx在可测集E上勒贝格可积函数，则其不定积分是绝对连续函数14、设fx为可测集E上勒贝格可积函数，则存在绝对连续的函数gx，使得gx导函数在E上几乎处处等于fx.黎曼积分与勒贝格积分相关定理的比较与黎曼积分相关的定理L若函数列fnX在区间I上一致收敛，且每一项都连续，则其极限函数fX也在I上连续.2 .（

10、可积性）若函数列fnX在区间I上一致收敛，且每一项都连续,bblimfnxdxlimfnxdx.nnaa3 .（可微性）设fnX为定义在a,b上的函数列若Xoa,b为fnX的收敛点，且fnX的每一项在a,b上都有连续的导数，fnX在a,b上一致收敛，则ddlimfnxlimfnx.dxnndx4 .有界收敛定理设fnx是定义在a,b上的黎曼可积函数.（1） fnxMn1,2,xa,b.fx是定义在a,b上的黎曼可积函数.且limfnxfx.则有nbblimfnxdxfxdx.naa与勒贝格积分相关的定理1 .（勒维定理）设可测集E上的可测函数列fnX满足如下条件：0f1xf2x,limfnxfx，则fnx的积分序列收敛于fx的积分nfxdxlimfnxdx.nEE2 .（勒贝格控制收敛定理）设可测集E上的可测函数列fnx满足如下条件：（1）fnx的极限存在,limfnxfx.n存在可积函数gX使得fnxg