第五章+机械振动

1、第五章 机械振动物体在某一位置附近作来回往复的运动称为物体在某一位置附近作来回往复的运动称为机械机械振动振动。如：钟摆的摆动、琴弦的振动、心脏的跳。如：钟摆的摆动、琴弦的振动、心脏的跳动、机器运转时的振动等。动、机器运转时的振动等。广义地说，任何一个物理量随时间的周期性变化广义地说，任何一个物理量随时间的周期性变化都可以称为振动。如：交变电流、电磁震荡等。都可以称为振动。如：交变电流、电磁震荡等。最简单、最基本的周期性振动是最简单、最基本的周期性振动是简谐振动简谐振动，因为：，因为：(1) 它出现在许多物理现象中；它出现在许多物理现象中；(2) 任何复杂的振动形式都可分解为若干简谐振任何复杂的

2、振动形式都可分解为若干简谐振 动之和。动之和。振动与波动的关系：振动与波动的关系：振动是产生波动的根源，而波动是振动的传播。振动是产生波动的根源，而波动是振动的传播。5-1 5-1 简谐振动；简谐振动；5-2 5-2 几种常见的简谐振动；几种常见的简谐振动；5-3 5-3 振动的合成；振动的合成；5-4 5-4 阻尼振动；阻尼振动；主要内容：主要内容：5-5 5-5 受迫振动受迫振动返回返回5-1 简 谐 振 动xOl0 xf = -kxa由胡克定律和牛顿第二定律：由胡克定律和牛顿第二定律：此微分方程的解为：此微分方程的解为：makxf 得：得：xmkdtxda22 或：或：02022 xdt

3、xd )cos(0 tAxmk 20 式中：式中：一一、简谐振动的动力学方程和运动学方程：、简谐振动的动力学方程和运动学方程：若令：若令： ，则上式也可写成：，则上式也可写成：2 ) sin(0 tAx设设 t =0 时，时，x = x0、 = 0 ，则：则： sin00A 得：得：000tanx cos0Ax 20220 oxA 速度速度)sin(00 tAdtdx二二、简谐振动的周期、频率和角频率、简谐振动的周期、频率和角频率 由系统性质决定的特征量由系统性质决定的特征量 )2(cos)2cos()cos(0000tAtAtAx周期周期T ：完成一次完全振动所需时间。：完成一次完全振动所需

4、时间。02 T)s(单位：单位：频率频率 ：单位时间内完成完全振动的次数。：单位时间内完成完全振动的次数。 20 )s1Hz( 单位：单位：)2(sin)2sin()sin(0000000 tAtAtAvT 220 简谐振动的周期简谐振动的周期T和频率和频率决定于决定于0。0称为称为角频率角频率或或圆频率圆频率。对弹簧振子而言：对弹簧振子而言：mk 0 振动系统的固有角频率振动系统的固有角频率kmT 2 2mk 振动系统的固有周期振动系统的固有周期振动系统的固有频率振动系统的固有频率由初始条件决定的特征量由初始条件决定的特征量振幅振幅A：振动物体离开平衡点最大位移的绝对值。：振动物体离开平衡点

5、最大位移的绝对值。相位相位(0t+)：决定振动物体运动状态的重要物理量。：决定振动物体运动状态的重要物理量。其中其中是是 t =0 时的相位，称为时的相位，称为初相位初相位。三、简谐振动的振幅、相位和初相位三、简谐振动的振幅、相位和初相位速度速度加速度加速度)sin(00 tAdtdx)2cos(0 tm)cos(02022 tAdtxda0tx,v,a0 x=Acos(0t+)a0 Am 速度振幅速度振幅20 Aam 加速度振幅加速度振幅)cos(0 tam简谐振动的速度和加速度：简谐振动的速度和加速度： 2 比比x超前超前比比x超前超前/2四四、简谐振动的矢量表示法：、简谐振动的矢量表示法

6、：设一质点绕圆心设一质点绕圆心O作半径为作半径为A 、角速度为、角速度为0的匀速圆的匀速圆周运动。周运动。 t =0时，位矢时，位矢 与与x轴夹角为轴夹角为。 t 时刻时刻 与与x轴夹角（相角）为轴夹角（相角）为0t+ 则该质点在轴上的投影的坐则该质点在轴上的投影的坐标：标：AA)cos(0 tAx即为简谐振动的运动方程。即为简谐振动的运动方程。A：振幅矢量振幅矢量或或旋转矢量旋转矢量A的端点轨迹称为的端点轨迹称为参考圆参考圆ox0t+0tox0t+0anaxox0t+t=0t0A cos0Ax )cos(0 tAx0 At )sin(00 tA20 Aan )cos(020 tAa由矢量表示

7、法确定初相位：由矢量表示法确定初相位：000tanx A+IIIIIIIVxo时，时，在在I、III象限内。象限内。0tan 当当x00，v00时，时，在第在第I象限内；象限内；当当x00时，时， 在第在第III象限内。象限内。时，时，在在II、IV象限内。象限内。0tan 当当x00，v00，v00时，时， 在第在第IV象限内。象限内。以弹簧振子为例，以弹簧振子为例，任意时刻任意时刻 t ：弹性势能：弹性势能：动动 能：能：总机械能：总机械能：)(cos21210222 tkAkxEp)(sin2121022202 tAmmvEk)(sin21022 tkA22202212121mkpmAm

8、kAEEE 五、简谐振动的能量转换：五、简谐振动的能量转换：x=Acos tT/4T/23T/4T0 xt2kA21t0EEpEk(1) Ek、Ep周期性变化的频率为简谐振动的两倍。周期性变化的频率为简谐振动的两倍。(2) 总机械能总机械能E=Ek+Ep=常量。常量。(3)E21EEpk 返回返回5-2 几种常见的简谐振动例6-2xl0 xOlx22dt xdmkxmg 即：即：0g xdt xd222 当物体处在平衡位置时：当物体处在平衡位置时：)x x(klkmg 或：或：)x x(g2 mk2 所以：所以：0 xdtxd222 可见：可见：取平衡位置为坐标原点时，该物体作简谐振动。取平衡

9、位置为坐标原点时，该物体作简谐振动。一、沿竖直线方向振动的弹簧振子一、沿竖直线方向振动的弹簧振子ocmlTmg0二二、单摆（数学摆）：、单摆（数学摆）：(1) l d（小球直径）；（小球直径）；(2) 忽略所有摩擦力的作用。忽略所有摩擦力的作用。重力产生的恢复力矩：重力产生的恢复力矩： sinmglM 由转动定理：由转动定理： sinmgldtdml222 得：得：0sinlgdtd22 单摆的动力学方程单摆的动力学方程“”号表示力矩与角位移方向相反。号表示力矩与角位移方向相反。当单摆做小角度摆动（当单摆做小角度摆动（ 5）时：时： sin得：得：0dtd222 可见：可见：当摆角很小时，单摆

10、的运动近似为简谐振动。当摆角很小时，单摆的运动近似为简谐振动。lg 20 方程的解：方程的解：)cos(00 t振动的周期：振动的周期：glT 220 单摆振动的周期与摆锤质量无关，只和摆线长度有关。单摆振动的周期与摆锤质量无关，只和摆线长度有关。三三、复摆（物理摆）：、复摆（物理摆）：重力产生的恢复力矩：重力产生的恢复力矩： sinmgbM 由转动定理，并考虑小角度摆动（由转动定理，并考虑小角度摆动（5）： mgbsinmgbdtdI22 或：或：02022 dtdImbg 20 当摆角很小时，复摆的运动近似为简谐振动。当摆角很小时，复摆的运动近似为简谐振动。mgoCbmgoCboml复摆：

11、复摆：mbgIT 220 单摆：单摆：glT 220 等效等效mbIl 等值摆长等值摆长返回返回5-3 振动的合成一一、同方向、同频率简谐振动的合成：、同方向、同频率简谐振动的合成：)cos(111 tAx)cos(222 tAx合位移：合位移：)cos()cos(221121 tAtAxxx合振动仍为简谐振动：合振动仍为简谐振动：)cos( tAxx12x2x1x1A2AA)cos(212212221 AAAAA由由 t = 0 时的旋转矢量图：时的旋转矢量图：22112211coscossinsintan AAAA 合振动振幅决定于合振动振幅决定于分振动振幅分振动振幅和两分振动和两分振动相

12、位差相位差。(1) = 21= 2kxA1A2A(2) = 21= (2k+1)A1AxA2同相同相反相反相Amax=A1+A2Amin=A1-A2习题6-22例例1：两个同方向、同频率简谐振动。合振动振幅为两个同方向、同频率简谐振动。合振动振幅为0.20m ，合振动与第一振动相位差为合振动与第一振动相位差为/6，第一振动振幅为，第一振动振幅为0.173m。求。求第二振动振幅及第一、第二振动间的相位差。第二振动振幅及第一、第二振动间的相位差。AA1A2o cosAA2AAA12212 m10. 0 cosAA2AAA2122212 321222121005. 2AA2AAAcos 212 二二

13、、同方向、不同频率简谐振动的合成：、同方向、不同频率简谐振动的合成：当两个分振动频率不同时，当两个分振动频率不同时， 将不断变化。所以合将不断变化。所以合振动振幅也将不断变化。此时，合振动不是简谐振动。振动振幅也将不断变化。此时，合振动不是简谐振动。设：设：)tcos(Ax11 )tcos(Ax22 合振动：合振动：)tcost(cosAxxx2121 )t2cos()t2cos(A21212 若将若将)t2cos(A212 作为合振动的振幅，则：作为合振动的振幅，则：合振动振幅在合振动振幅在 0 A 之间变化之间变化因两个分振动频率不同而使合振动振幅时而加强，因两个分振动频率不同而使合振动振

14、幅时而加强，时而减弱的现象称为时而减弱的现象称为拍拍，合振动变化的频率称为，合振动变化的频率称为拍频拍频。12 拍拍 的的 现现 象象返回返回三三、互相垂直方向同频率简谐振动的合成：、互相垂直方向同频率简谐振动的合成：)cos(11 tAx)cos(22 tAy消去消去 t 后得轨迹方程：后得轨迹方程：)(sin)cos(21221221222212 AAxyAyAx设两个同频率简谐振动分别沿设两个同频率简谐振动分别沿 x 和和 y 方向：方向：合振动轨迹为合振动轨迹为椭圆椭圆。xyA1A2xtty(1) 2-1 = 2k 时：时：(2) 2-1 = (2k+1) 时：时：(3)2-1=2k/

15、2 时：时：(4) 其他情况：其他情况：xAAy12 I、III象限中直线象限中直线xAAy12 II、IV象限中直线象限中直线正椭圆正椭圆斜椭圆斜椭圆2-1 = 02-1 = + /22-1 = 2-1 = - /22-1 = 02-1 = 2-1 = - /22-1 = + /22-1 = + /22-1 = - /2四四、互相垂直方向不同频率简谐振动的合成：、互相垂直方向不同频率简谐振动的合成：tcosAx11 )tcos(Ay22 设两个频率不同的简谐振动分别沿设两个频率不同的简谐振动分别沿 x 和和 y 方向：方向：则相位差：则相位差： t )(1212当两个分振动频率当两个分振动频

16、率1、2成简单整数比时，合振动成简单整数比时，合振动轨迹是稳定的封闭曲线。称为轨迹是稳定的封闭曲线。称为李萨如图线李萨如图线。fy : fx =1 : 2 fy : fx =1 : 2 fy : fx =1 : 3 fy : fx =2 : 3 相互垂直简谐振动的合成相互垂直简谐振动的合成返回返回5-4 阻 尼 振 动振动系统在阻尼力作用下，振幅（能量）不断减小振动系统在阻尼力作用下，振幅（能量）不断减小的振动称为的振动称为阻尼振动阻尼振动。阻尼的两种形式：摩擦阻尼、辐射阻尼。阻尼的两种形式：摩擦阻尼、辐射阻尼。振动物体速度不太大时，阻尼力与速度成正比。振动物体速度不太大时，阻尼力与速度成正比

17、。dtdxR ：阻力系数：阻力系数动力学方程：动力学方程：kxdtdxdtxdm22 令：令：mk20 0:固有角频率固有角频率；m2 阻尼因子阻尼因子阻尼振动方程：阻尼振动方程：0 xdtdx2dtxd2022 (1) 欠阻尼状态（阻尼较小）：欠阻尼状态（阻尼较小）： 0t )(2t )(1202202eCeCx 振动不会发生，物体振动不会发生，物体缓慢缓慢回到平衡位置。回到平衡位置。xto(3) 临界阻尼状态：临界阻尼状态： = 0tetCCx )(21振动不会发生，物体振动不会发生，物体很快很快回到平衡位置。回到平衡位置。A 0 = 0阻尼的应用：阻尼天平、灵敏检流计阻尼的应用：阻尼天平、灵敏检流计 etc.。返回返回5-5 受 迫 振 动阻尼的存在使振幅减小，若对系统施加一持续的周期阻尼的存在使振幅减小，若对系统施加一持续的周期性外力，则系统将做振幅不变的振动性外力，则系统将做振幅不变的振动受迫振动受迫振动。设周期性外力：设周期性外力：tpHFcos 则：则：tpHkxdtdxdtxdmcos22 令：令：mHhmmk ,2,20 得：得：)cos()cos(0 ptAteAxttphxdtdxdtxdcos22022 解：解：即：即：受迫振动为阻尼振动和简谐振动之和受迫振动为阻尼振动和简谐振动之