九年级培优易错难题圆的综合辅导专题训练及答案

1、九年级培优易错难题圆的综合辅导专题训练及答案一、圆的综合1 .如图，四边形 OABC是平行四边形，以 。为圆心，0A为半径的圆交 AB于D,延长AO交。于E, 连接CD, CE,若CE是。的切线，解答下列问题：(1) 求证：CD是。的切线；(2) 若BC=4, CD=6,求平行四边形 OABC勺面积.B【答案】 ( 1 ) 证明见解析( 2) 24【解析】试题分析：(1)连接0D,求出Z EOC=Z DOC根据SAS推出 EOeDOC推出/ODC=/ OEC=90,。根据切线的判定推出即可；(2)根据切线长定理求出 CE=CD=4艮据平行四边形性质求出OA=OD=4根据平行四边形的面积公式二2

2、4 COD的面积即可求解.试题解析：( 1 ) 证明：连接 OD,-.OD=OA,? ? / ODA =/ A,?.四边形OABC是平行四边形，? .OC/ AB,/ EOC=/ A, / COD=/ ODA,/ EOC=Z DOC,在AEOC和ADOC中OE ODEOC DOCOC OC.,. EOCAADO( SAS ,? ? / ODC=/ OEC=90 ；即 OD, DC,? .CD是。0的切线；(2)由(1)知CD是圆O的切线，? . CD为直角三角形，?.SA CDCF CD?OD又 OAFBCOFD=4SACDO= X 6X 4=,122,平行四边形 OABd勺面积S=2S cd

3、(=24.2.如图 1,直角梯形 OABC中，BC/ OA, OA=6, BC=2, / BAO=45用工*OC的长为D 是OA上一点，以 BD为直径作OM, OM交AB于点Q.当。M与y轴相切时，sin / BOQ=； 如图2,动点P以每秒1个单位长度的速度，从点O沿线段OA向点A运动；同时动点D以相同的速度，从点 B沿折线B-C- O向点O运动.当点P到达点A时，两点同时 停止运动.过点P作直线PE OC,与折线O-B- A交于点E.设点P运动的时间为t(秒).求当以B、D E为顶点的三角形是直角三角形时点E的坐标.【答案】(1)4; (2)3 ; ( 3) 点 E 的坐标为(1,2)、(

4、也，10)、(4,2).533【解析】分析： 过点B作BHLOA于 H,如图1 (1),易证四边形 OCBH是矩形，从而有 OC=BH只需在4AHB 中运用三角函数求出 BH即可.(2) 过点B作BHLOA于H,过点G作GF, OA于F,过点B作BR± OG于R,连接MN DG,如图1(2),则有 OH=2, BH=4, MN LOC.设圆的半径为 r,贝U MN=MB=MD=t RBHD中运用勾股定理可求出 r=2,从而得到点 D与点H重合.易证 AFGAA ADB,从而可求出AF、GF OF OG OB AR BG设 OR=x,利用BF2=OB2 -OR=BG2-RG可求出x,进

5、而可求出BR在RORB运用三角函数就可解决问题.(3) 由于4BDE的直角不确定，故需分情况讨论，可分三种情况(/BDE=90 ,Z BED=90 ° ,Z DBE=90 °)讨论，然后运用相似三角形的性质及三角函数等知识建立关于t的方程就可解决问题.详解：过点 B 作 BHLOA于 H,如图 1 (1),则有 /BHA=90° =/ COA,OC/ BH.? ? ? BC/ OA, ?.四边形 OCBH是矩形，.OOBH, BC=OH.? 0A=6, BC=2,? . AH=OA OH=O BC=6 - 2=4.? ? ? ZBHA=90 °, Z B

6、AO=45 ° ,tan / BAH= BH- =1, B BH=HA=4,OC=BH=4.HA故答案为4.(2)过点B作BH9A于H,过点G作GF, OA于F,过点B作BR± OG于R,连接MN DG,如图1 .由得：OH=2, BH=4.? OC 与。M 相切于 N, MN 土 OC.设圆的半径为 r,则MN=MB=MD=r.BC± OC, OA± OC, BC/ MN/OA.1 .? ? ? BM=DM, . CN=ON, ，MN ( BGOD) ,? . OD=2r - 2 ,2? .DH=OD OH=2r 4 .在 RtA BHD 中，？ ？

7、？ ZBHD=90 , . BD 2=BH+dH,(2r) 2=42+ (2r-4)解得：r=2,DH=0,即点D与点H 重合，z. BD± 0A, BD=AD.? . BD 是。M 的直径，Z BGD=90GF± OA, BDXOA, , GF/ BD,°即 DGXAB, ? . BG=AG.AAFGAAADB,空=笆 uAAG , ?AD BD AB 2-AF= 1AD=2, GF=1BD=2, ? .OF=4,2? ? OG= JO岸一G* = V4 2 2t =2同理可得：OB=2 J5 , AB=4 72, ?1 -1- BG=- AB=2 垃？设 OR

8、=x,则 RG=2 J5 -x.BR ± OG, Z BRO=Z BRG=90,? . BRAOB2 OR2=BG RG,(2 (6) 2 - x 2= (2)2- (2 君-x) 2.解得：x=W5 , , BE=OB-OR2= (2 石)2-( 封 5 ) 2=36 , . ? .BR=5A . 5在 RtA ORB 中，BRsin/ BOR=OB6 V533=5 =-故答案为一.2.5 55(3) 当/BDE=90 时，点D在直线PE上，如图2.此时 DP=OC=4, BD+OP=BD+CD=BC=2, BD=t, OF=t,贝U有 2t=2. 解得：t=1,则 OF=CD=D

9、B=1.DE/ OC, ABDEAABCO, /. -DE-=-BD =1 , /. DE=2,? . EF=2,OC BC 2? ?点E的坐标为（1,2 ）.当/ BED=90时，如图3.? ./DBE=OBC, Z DEB=Z BCO=90, DBEAA obc,.BE DB BE t-=产 > BE=5/BC OB 22.5? ? ? PE/ OC, Z OEP=Z BOC? ZOPE=Z BCO=9051.5,AOPEAABCO,OE OP OE t .-=177，尸=一，,OB BC 2 5 2oe=V5 t.10? ? ? OE+BE=OB=2 ,5, 后.解得：t=5, ?

10、 .OP=5,3510？点E的坐标为（一,）3 3.'55t+t=25 5-0=，p=voE op2 =-534.时当PEDBJA90时D=O图+BC -t=6 - t.2贝 U 有 OD=PE, EA=J2 4 =V2（ 6 t） =6衣一扃,? .BE=BA- EA=4/-（6 夜-技）=72 t - 27 2? ? ? PE/ OD, OD=PE, Z DOP=90.四边形ODEP是矩形，.? .DE=OP=t, DE/ OP, / BED=Z BAO=45 :BE 2在 RtA DBE 中，cosZ BED=-= ,DE= BE,.t = 72（ V21 -2A2）=2t -4

11、.解得：t=4, 0P=4, PE=6- 4=2,., ?点 E 的坐标为（4, 2）.综上所述：当以 B、D E为顶点的三角形是直角三角形时点,510、E的坐标为（4,2）（一，5点睛：本题考查了圆周角定理、切线的性质、相似三角形的判定与性质、三角函数的定义、平行线分线段成比例、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，还考查了分类讨论的数学思想，有一定的综C点，过合性.3. 如图，已知 4ABC内接于。O, AB是。的直径，点 F在。上，且点 点C作。的切线交 AB的延长线于点 D,交AF的延长线于点 E.求证：AE± DE;试题分析：（1）首先连接0C,由OC=OA卯二舁，易证得OCA

12、E,又由DEB。0于 点C,易证得AE±DE;（2）由AB是。的直径，可得 4ABC是直角三角形，易得 4AEC为直角三角形，根据IAE=3求得AC的长，然后连接 OF,可得9AF为等边三角形，知 AF=OA=AB在 4ACB中，利用已知条 件求得答案.试题解析；（1）证明；连接.OC=OA,Z BAC=Z OCAIVII IVIHL = H7Z BAC=Z EAQZ EAC 之 OCA,? ? .OC AE,DE切OO于点C,? ? ? OCX DE,? ? ? AEXDE;(2)解：.AB是。O的直径，. ABC是直角三角形，? ? ? Z CBA=60 ,Z BAC=Z EAC

13、=30 , °? ? AEC为直角三角形，AE=3,?.AC=2?,连接OF,-.OF=OA, Z OAF=Z BAC+Z EAC=60 ,. OAF为等边三角形，II.? . AF=OAI Ab在 RtA ACB 中，AC=2y 口，tan Z CBA=BC=2,.? .AB=4,.? .AF=2.考点：切线的性质.4. 如图，四边形 ABCD内接于。O,对角线AC为。的直径，过点 的延长线 c作AC的垂线交AD 于点E,点F为CE的中点，连接 DB, DF.(1) 求证：DF是。0的切线；(2) 若 DB平分 ZADC, AB=5V2, AD : DE=4 :1,求 DE 的长.

14、【答案】见解析；(2)而【解分析： 直接利用直角三角形的性质得出DF=CF=EF再求出Z FDO=Z FC0=9° ,得出答案即可；(2)首先得出AB=BC即可得出它们的长，再利用 4ADC? 4ACE得出AC2=AD?AE进 而得出答案. 详解：连接0D.? ? OD=CD, . . / ODO/OCD.? ? ? AC 为。0 的直径，？ ？ / ADO/ EDC=90° .? ?点 F 为 CE的中点，DF=CF=EF, . . / FDO/FCD,? . / FDO=/FCO.又AC CE, ZFDO=Z FCO=90,? . DF 是。的切线.(2)AC 为。的直

15、径，Z ADC=ZABC=90.? ? ? DB 平分 / ADC, / ADB=Z CDB, .AB = ?C，BC=AB=5/ 2 ?在 RtAABC 中，AC=AB+BC2=100.又AC CE, ZACE=90 ,AC AE ADC? ACE ? 1?=，AC2=AD?AE.AD AC设 DE为 x,由 AD: DE=4: 1,， AD=4x, AE=5x,? ? -100=4x?5x, . a=75,? -DE=75 .J F C点睛：本题主要考查了切线的判定以及相似三角形的判定与性质，正确得出ac2=ad?ae是解题的关键.5.如图，CD为。O的直径，点B在。O上，连接BC BD,

16、过点B的切线AE与CD的延长 线交于点 A, ZAEO /C, OE交 BC于点 F.(1) 求证：OE BD;2(2) 当。的半径为5, sin DBA 一时，求EF的长.【答案】（1）证明见解析；（2） EF的长为一【解析】 试题分析：（1）连接0B,利用已知条件和切线的性质证明;（2）根据锐角三角函数和相似三角形的性质，直接求解即可试题解析：（1）连接0B,.AE是。的切线，.r ob oc是。的半径，? ? ? E C, E? rcd为。O的直径，CBD ABO ABD OBD 90.OB=OCC CBO CABD OE/ BD.2 . 由（1）可得 sin/ C= / DBA= ,在

17、 RtA OBE 中，sin/ C 5CBO OBD 90.ABD CBOABDBD 2,OC=5CD 5'BD 4 CBD EBO 90 CBDAAEBO.BD CDEO252BO EO1. OE/ BD, CO=OD, ? .CF=FB.1.OF-BD2221? ? ? EF OE OF 一26.如图，PA PB是。的切线，A, B为切点，/APB=60 ,连接PO并延长与。交于 C点，连接 AC BC.（I ）求/ ACB的大小；（II ）若OO半径为1,求四边形ACBP的面积.【答案】（I ） 60 ；（ n）2【解析】分析：（I ）连接AO,根据切线的性质和切线长定理，得到O

18、A AP, OP平分/APB,然后根据角平分线的性质和三角形的外角的性质，30。角的直角三角形的性质，得到/ ACB的(n)根据30。角的直角三角形的性质和等腰三角形的性质，结合等底同高的性质求三角形的面积即可.详解：(I)连接OA,如图，Z飞'PA PB是。的切线，? ? ? OAXAP, OP平分 /APB,/ APO=- / APB=30 ,2/ AOP=60 ；,.OA=OC,Z OAC=Z OCA,1 _ ,/ ACO 二 AOP=30 ,2同理可得/BCP=30,/ ACB=60 ； °(n )在 RtAOPA 中，？ ？ ？ / APO=30 ,AP=百 OA=

19、， OP=2OA=2, ? .OP=2OQ而 Sa opa= X 1 也21-Sa aoc= S2Saacf=43.3，四边形 ACBP勺面积=2SA acp=.2点睛：本题考查了切线的性质，解直角三角形，等腰三角形的判定，熟练掌握切线的性质键.3PA(=-4是解题的关证:I 1 _|>H,且 HC=HG£接 BH,交。0 MD, ME./BFG=/ OCH=90 即可；/HMD=/BME再根据三角形 的外角的性质7.如图，AB, BC分另1J是。的直径和弦，点 D为BC上一点，弦DE交00于点E,交AB于点F,交BC于点G,过点C的切线交ED的延长线于于点M,连接求 （1）D

20、E, AB;（2） / HMD=/MHE+/MEH.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】分析：（1）连接0C根据等边对等角和切线的性质，证明（2）连接BE,根据垂径定理和圆内接四边形的性质，得出 证明 / HMD=ZDEB=Z EMB卩可.详解：证明：（1）连接0C,? ? ? HC=HG,/ HCG=Z HGC;? ? ? HC切。于C点，? ? ? / OCB+Z HCG=90 ;,.0B=0C,/ 0CB=Z OBC, ? ? ? / HGC=Z BGF,? ? ? / OBC+/ BGF=90 ； / BFG=90即 DE± AB;（2）连接BE,由（1）知

21、DEX AB,.AB是°。的直径，/ BED=Z BME;? ? ?四边形BMD曲接于OO,/ HMD=Z BED,/ HMD=/ BME;? ? ? / BME>AHEM 的外角，/ BME=ZMHE+Z MEH,/ HMD= Z MHE+Z MEH.形的性质、点睛：此题综合性较强，主要考查了切线的性质、三角形的内角和外角的性质、等腰三角 内接四边形的性质.8.已知：AB是。0直径，C是。0外一点，连接 BC交。0于点D, BD=CD连接AD AC. 如图1,求证：/BAD=/ CAD 如图2,过点C作CH AB于点F交。0于点E延长CF交。0于点G.过点作EHI土 AG于点

22、H,交AB于点K,求证AK=20F如图3,在 的条件下，EH交AD于点L,若0K=1,AC=CG,t线段AL的长.1图2图3【答案】（1）见解析（2）见解析12、记5【解析】试题分析：（1）由直径所对的圆周角等于90J可得到结论； 连接BE.由同弧所对的圆周角相等，得到1 BF=KF=-21BG=GM=-AGf证明 /BGC=/MCG=.设 BF=KF=a,可2/GAB=/BEG再证 KFEAABFE,得到 得到/ADB=90 ,再证明 AB4 4ACD即卩 BK,由OF=OB-BF, AK=ABBK即卩可得到结论.(3)连接CO并延长交AG于点M,连接BG.设/GAB=先证CM垂直平分AG,

23、得到AM=GM, Z AG(+ZGCM=90 再证 / GAF=/GCM =.通过证明 AG? 4CMG得到GF=2a, AF=4a.得到3a+2=4a,解出a的值，得到AF,由 OK=1,得到 OF=a+1, AK=2 (a+1) , AF= 3a+2,八? 一 , HK 1.AB, GF, FC 的值.由tan a =tsd HAK= AK=6,可以求出 AH的长.再由AH 21tan BAD tan BCF 一，利用公式 tan Z GAD=3tan GAF tan BAD -1 ta n GAF tan BAD，得到/GAD=45 ;则AL=72 AH,即可得到结论.试题解析：解：(1

24、) .AB 为。的直径，ZADB=90 , , /ADC=90 .? ? ? BD=CD, / BDA=Z CDA AD=AD,. AABDA ACD,. / BAD=Z CAD.(2)连接 BE. ? ? ? BG=BG，/ GAB=/BEG.,.CU AB, , /KFE=90:?.EHXAG,Z AHE=Z KFE=90 ; /AKH=/EKF, ZHAK=ZKEF=Z BEF.BF=KF= L BK.? . FE=FE, Z KFE=Z BFE=90 ;.- . KFEaaBF7? ? ? OF=OB-BF, AK=AB-BK, AK=2OF.B D C 连接CO并延长交AG于点M,连

25、接BG.设/ GAB= .AC=CG, 点C在AG的垂直平分线上.OA=OG,?点O在AG的垂直平分线上，? .CM 垂直平分 AG, .-.AM=GM, / AGO/GCM=90 :.AFXCG, r./ AGC+/GAF =90 / GAF=/GCM =.AB 为。的直径，Z AGB= 90 ,/AGB=/CMG=90 :-.AB=AC=CG, AAGBAACMG,? ? BG=GM-AG.2在 RtAAGB 中，tan GAB tantanGF 1AF 2? ? ? / AMC=Z AGB= 90 BG/ CM,设 BF=KF=a, tan BGF tan GB 1. AG 2/BGC=

26、Z MCG=.BF 1-,GF=2a, tan GAF GF 2AF=4a.? . OK=1, OF=a+1, AK=2OF=2 (a+1),AF=AK+KF=a+2 (a+1) =3a+2, 3a+2=4a,? ? .a=2, AK=6, .-.AF=4a=8, AB=AC=CG=10, GF=2a=4, FC=CG-GF=6.,HK1、：(2 m) =6,解得:tan = =tanHAK=,设 KH=m，贝 U AH=2m , AK=j./m ZAH 2m=遍,?._5AH=2m=6 在 RBFC中,5tan BCFBF 1? ? ? ZBAD+ZABD=90,Z FBCAZ BCF=90

27、，/ BCF=/BAD,FC 3tan BAD tan BCFtan GAF tan? ? .tan / GAD=BAD1 ta n GAF tan BAD/ GAD=45 ;. ? .HL=AH,AL= 2 AH=J9.四边形ABCD内接于。0,点E为AD上一点，连接 AC, CB, / B=/AEC. (1) 如图1,求证：CE=CD 如图 2,若/B+/ CAE=120, / ACD=2/ BAG, 求/BAD 的度数;11 如图3,在（2）的条件下，延长 CE交。0于点G,若tan/BAC= 5A3 , EG=2 求AE的长.【答案】 见解析；（2） 600;7.【解析】试题分析：（1

28、）利用圆的内接四边形定理得到 ZCED=ZCDE.作 CH DE 于 H,设/ECH=% 由（1） CE=CD 用 a 表示 / CAE / BAC,而 /BAD=/BAC+/CAE. （3） 连接 AG,作GNXAC, AM EG,先证明/ CAG=/BAC,设NG=5石m,可得AN=11m利用直角n AGM, n AEM勾股定理可以算出 m的值并求出AE长.试题解析：解：证明：二.四边形ABCD内接于OO./ B+/D=180, °? ? ? / B=/AEC,? ? ? / AEG / D=180；? ? ? / AEG / CED=180；/ D=Z CED? .CE=CD（

29、2）解：竹匚CH丄DE于H.设z EC岸处由(1) CE=CQ? / ECD=2 a,? ? ? / B= Z AEC, / B+Z CAE=120? ? ? / CAEnZ AEC=120 ；/ ACE=180 - ZAEC - / ACE=60°,/ CAE=90 - / ACH=90 - ( 60 + a) =30 - a,/ ACD= / ACI+ / HCD=60 + 2 a, ? ? ? / ACD=2/BAC, ? / BAO30 + a,/ BAD=Z BAG / CAE=30 + a+30 -a=60 :(3)解：连接 AG,彳 GN± AC, AM &#

30、177; EG, I: /u" D期? / CED=/AEG, /CD 田/AGE, /CED=/CDE/ AEG=ZAGE,.? .AE=AG,1.? .EM=MG=-EG=12 ,/ EAG=Z ECD=2 %/ CAG=Z CAD+Z DAG=30 - a+2a=Z BAC,5 3.tan / BAO 丝 J ,112? .tsi NG=5>/3m,可得 AN=11m, AG= J AG_AM 2 =14m ,? ? ? / ACG=60 ;1- CN=5m, AM =8 A/ 3 m , MG = JaG AM 2 =2m=1,1一 m=,2.? .CE=C=CG- E

31、G=10m- 2=3,AE= VaM2 EM 2 = =2+ (4 而 2 =7 .10.如图，AN是。M的直径，(1)若点 A (0, 6) , N (0,NB/x轴，AB交。M于点C.2) , /ABN=30, 求点B的坐标;。M的切【答案】（1） B （q依,2） . （2）证明见解析.【解析】 试题分析：（1）在RtA ABN中，求出AN AB即可解决问题；（2）连接MC, NC.只要证明/MCD=9 0 即可试题解析：（1） ；A的坐标为（0, 6 ） , N （ 0, 2 ）,.? .AN=4,? ? ? / ABN=30 ； / ANB=90 ；.? .AB=2AN=8,?由勾股

32、定理可知：NB=Jm 加工二4或，? B （ 4 曲,2）?（2）连接 MC, NC.AN是。M的直径，/ACN=90 ；/NCB=90 ；在RtANCB中，D为NB的中点，八1.? .CD=-NB=ND,2/ CND=Z NCD,? .MC=MN,/ MCN=Z MNC,? ? ? / MNC+Z CND=90 ；? ? ? / MCN+Z NCD=90 ； 即 MCACD.? ? ?直线CD是。M的切线.y +y口Bo茁考点：切线的判定；坐标与图形性质ii.解决问题：1如图，半径为4的e O外有一点P,且PO 7,点A在e O上，则PA的最大值和 最小值分别是 和.2如图，扇形AOB的半径

33、为4, AOB 45 , P为弧AB上一点，分别在 0A边找 点E,在0B边上 找一点F,使得VPEF周长的最小，请在图 中确定点E、F的位置并直 接写出VPEF周长的最小值； 拓展应用3如图，正方形 ABCD勺边长为4/2 ； E是CD上一点（不与 D C重合），CF BE于F, P在BE上，且PF CF , M N分别是AB AC上动点，求 VPMf周长 的最小值.图图【答案】（1） 11, 3;（2）图见解析，VPEF周长最小值为4J24J2 .(3)4J10【解析】【分析】1根据圆外一点P到这个圆上所有点的距离中，最远是和最近的点是过圆心和该点的直线与圆的交点，容易求出最大值与最小值分

34、别为11 和 3;2作点P关于直线0A的对称点Pi，作点P关于直线0B的对称点F2 ,连接R、F2 ,与OA 0B分别交于点E、F,点E、F即为所求，此时 VPEF周长最小，然后根据等腰直角 三角形求解即 可；3类似2题作对称点，VPMf周长最小PP,然后由三角形相似和勾股定理求解.【详解】 解：1如图，Q圆外一点P到这个圆上所有点的距离中，最大距离是和最小距离都在过圆心的直线0P上，此直线与圆有两个交点，圆外一点与这两个交点的距离个分别最大距离和最小距离PA 的最大值 PAPO 0A7 4 11,PA的最小值PA PO OA7 4 3,故答案为11和3;2如图，以O为圆心，OA为半径，画弧

35、AB和弧BD,作点P关于直线OA的对称点P，作点P关于直线OB的对称点P2,连接R、P2,与OA OB分别交于点E、F,点E、F即为所求.连接 OPOP、OP PE、PF,由对称知识可知， AOR AOP ,BOP2BOP , PE RE , PF P 2FAOPiBOP2AOP BOP AOB 4o5,o o oPOP2 4545 90 ,VPOP为等腰直角三角形，PP2 扬 OR 4>/2,VPEF 周长 PE PF EF P1E P2F EF PP24y2 , 此时 VPEF 周长最小 . 故答案为 4 2；3作点P关于直线AB的对称P,连接AR BP,作点P关于直线AC的对称F2

36、,连接P、Pz与ABAC分别交于点 M N.如图 由对称知识可知， PM PM , PN P2N , VPMN周长PM PN MN PMF2N MN PP 此时，VPMf周长最小 PR由对称性可知， BAR BAP,EAP2EAP, AR AP AP2,BAPEAP2BAP EAP BAC 45oPAP2 45o 45o 90°,VRAB等腰直角三角形，VPMf周长最小值PR J2AP ,当AP最短时，周长最小.连接 DF.QCF BE ,且 PF CF , ° PCPCF 45° , CF 2Q ACD45°,PCF ACD , PCA FCD ,AC

37、 PC在 VAPC与 VDFC 中，=PC, PCA FCD CD CFVAPC s VDFC ,AP AC -DF CDAP 2DFQ BFC 90°,取 AB 中点 O.点F在以BC为直径的圆上运动，当 DF、。三点在同一直线上时，DF最短.DF DO FO JOCCDOC J (2 点)2 (4 扬 2 2 戊 2M 2r2 ,AP最小值为AP而F此时，VPMN周长最小值PP eAP 忑应 DF 42 72 2710 272 4 阮 4 衣.【点睛】本题考查圆以及正方形的性质，运用圆的对称性和正方形的对称性是解答本题的关键12.如图，AB是e O的直径，弦CD AB于点E,过点

38、C的切线交AB的延长线于点（1）求址：DF是eO的切线；(2)连接 BC,若 BCF 30, BF 2,求 CD 的长.【答案】（1）见解析；（2）2，3【解析】【分析】（1）连接OD,由垂径定理证 OF为CD的垂直平分线，得 CF=DF / CDF=/ DCF,由/CDO=/ OCD再证 ZCDO+/ CDB=Z OCD+/ DCF=90, 可得 ODPF结论成立.（2）由/OCF=90 , /BCF=30 得/OCB=60 ,再证 A OC的等边三角形，得 ZCOB=6°,可得/CFO=3O, 所以FO=2OC=2OB FB=OB= OC =在直角三角形 OCE中，解直角三角形可

39、 得CE再推出CD=2CE.【详解】（1）证明：连接OD2? .CF是。O的切线/ OCF=90 °3? ? / OCD+Z DCF=90? ? ?直径AB,弦CD,CE=ED即卩OF为CD的垂直平分线.? .CF=DF? ? ? / CDF 玄 DCF? .OC=OD,/CDO=Z OCD? ? ? / CDO +/ CDB 之 OCD+Z DCF=90? ? ? ODXDF? ? .DF是。O的切线(2)解：连接ODZ OCF=90, ° Z BCF=30 °/ OCB=60° -.OC=OBAOC囱等边三角形，/ COB=60 °/ CF

40、O=30 °FO=2OC=2OBFB=OB= OC =2在直角三角形 OCE中，/ CEO=9O / COE=60CE吏sin COE oc 2? .CF .32.3D【点睛】本题考核知识点：垂径定理，切线，解直角三角形CA AB相切于点D、E、F, (1).解题关键点：熟记切线的判定定理，灵活运用含有 30。角的直角三角形性质，巧解直角三角形13.如图，RtAABC中，/B=90°,它的内切圆分别与边BC设 AB=c, BC=a, AC=bA v 证：内切圆半径 r= 1 (a+b-c)2(2)若AD交圆于P PC交圆于H, FH/BC,求/ CPD;若r=3 而,PD=

41、 18, PC=27 万.求厶 ABC各边长.TX/1rpx.【）11r【答案】（1）证明见解析（2） 45。（3） 9M 12/0,1500【解析】【分析】（1） 根据切线长定理，有 AE=AF, BD=BF, CD=CE易证四边形 BDOF为正方形， BD=BFg用r表示 AF、AE、CD CE,禾用AE+CE=AC等量关系列式.（2）/CPD为弧DH所对的圆周角，连接 OD,易得弧DH所对的圆心角/ DOH=9 0,所以/CPD=45 , °（3） 由PD=18和r=3 J10,联想到垂径定理基本图形，故过圆心。作PD的垂线OM求得 弦心距OM=3进而得到/ MOD勺正切值.延

42、长DO得直径DG,易证PG/ OM ,得到同位 角/G=/ MOD,又利用圆 周角定理可证 ZADB=Z G即得到/ADB的正切值，进而求得 AB.再设CE=CD=）用 x表示BC AC利用 勾股定理列方程即求出x.【详解】解：（1）证明：设圆心为 O,连接OD OE OF,? ?。分别与 BC CA AB相切于点 D E、F? ? ? ODXBC, OE ± AC, OFXAB, AE=AF, BD=BF, CD=CEB=ZODB=Z OFB=90 °? ? ?四边形BDOF是矩形? .OD=OF=r矩形BDOF是正方形.? .BD=BF=rAE=AF=AB-BF=c-r

43、 CE=CD=BC-BD=a-r.AE+CE=AC c-r+a-r=b取FH中点O,连接OD1. FH/ BC/ AFH=Z B=90 ? ? ? AB与圆相切于点F,FH为圆的直径，即 0为圆心1. FH BC/ DOH=Z ODB=90/ 1 ,/ CPD= / DOH=452 设圆心为 0,连接D0并延长交。于点 G,连接PG,过0作OMLPDF M / OMD=90.PD=18? .DM= 1PD=9 2BF=BD=0D=r=3., 10 ,? -0M= 1V0D dm 2 = J(3 而)2 92 = 790 81 = 3tan / MOD= = 3OM,.DG 为直径 / DPG=

44、90°? .OM/PG, /G+/ODM=90°/ G=Z MOD? ? ? / ODB=Z ADB+Z ODM=90 °/ADB=ZG/ ADB=Z MODtan / ADB= AB=tan / MOD=3 BD.? .AB=3BD=3r=9,10AE=AF=AB-BF=9T0 - 3 >/10 = 6 710设 CE=CD=x BC=3屈 +x, AC=6 折 +x .AB 2+BC=AC(9 y1 ) 2 +(3 VI 0 +x) 2= (6 iA0 +x) 2解得：x=9 ,10?.BC=12710, AC=15710. ABC各边长 AB=9历，A

45、C=15VI0, BC=12/106 口C去卩【点睛】本题考查切线的性质，切线长定理，正方形的判定，圆周角定理，垂径定理，勾股定理.切线长定理的运用是解决本题的关键，而在不能直接求得线段长的情况下，利用勾股定理作为等量关系列方程解决是常用做法.14.如图所示，ABC内接于圆O, CD AB于 D；如图1,当AB为直径，求证：OBC ACD;(2)如图2,当AB为非直径的弦，连接 OB,则(1)的结论是否成立？若成立请证明，不成立说明由； 如图3,在(2)的条件下，作 AE BC于E,交CD于点F,连接ED,且AD BD 2ED若 DE 3, OB 5,求 CF的长度.图1图2图3|，一八，、-141)见解析；(2)成立；(3) 5(1) 根据圆周角定理求出 /ACB=90,求出/ADC=90,再根据三角形内角和定理求出即可；(2) 根据圆周角定理求出 /BOC=2Z A,求出Z OBC=9 0-/A和/ ACD=90-/ A即可；(3) 分别延长 AE CD交。于H、K,连接HK CH AK,在AD上取DG=BD延长 CG交AK于M,延长KO交。O于N,连接CN AN,求出关于a的方程，再求出 a即可.【详解】(1)证明：