第11章动量矩定理

1、112-1 12-1 动量矩计算（转动惯量）动量矩计算（转动惯量）12-2 12-2 动量矩定理动量矩定理12-3 12-3 刚体绕定轴转动微分方程刚体绕定轴转动微分方程12-4 12-4 质点系相对质心的动量矩定理质点系相对质心的动量矩定理12-5 12-5 刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程1.1.质点动量矩的计算质点动量矩的计算 质点对固定点质点对固定点O的动量矩：的动量矩：()()OOLMmvrmv指向按右手规则确定；指向按右手规则确定；描述：质点相对某点描述：质点相对某点“转动转动”运动强度。运动强度。瞬时量瞬时量)()(FrFMOO点为矩心点为矩心 11-1 动量矩计算动量矩

2、计算 质点对轴的动量矩质点对轴的动量矩()()zzOzLMmvMmvz OzFMFM)()(一般规定：一般规定：与轴的正向一致（逆时针转动）取与轴的正向一致（逆时针转动）取“+ +”，与轴的正向相反（顺时针转动）取与轴的正向相反（顺时针转动）取“- -”。11-1 动量矩计算动量矩计算2.2.质点系动量矩的计算质点系动量矩的计算a)a)质点系对固定点质点系对固定点o o的动量矩的动量矩描述质点系相对某点（轴）描述质点系相对某点（轴） “转动转动”运动强度。运动强度。CiiVMvmp)(COvMMb) b) 质点系对轴的动量矩质点系对轴的动量矩()zOzziiLLMmv()()xOxxiiyOy

3、yiiLLMmvLLMmv()OOiiiiiLMmvrmv11-1 动量矩计算动量矩计算例例1 1：已知小球：已知小球C C和和D D质量均为质量均为m m，用直杆相连，杆，用直杆相连，杆重不计，直杆中点固定在铅垂轴重不计，直杆中点固定在铅垂轴ABAB上，如图示。上，如图示。如杆绕轴如杆绕轴ABAB以匀角速度以匀角速度转动。转动。求：质点系对定点求：质点系对定点o o的动量矩。的动量矩。解：解：LoCr11-1 动量矩计算动量矩计算解：解：sinCDvlv 质点质点C C对点对点o o的动量矩为：的动量矩为：sin)(2mllmvvmMCo方向垂直方向垂直CDCD同样质点同样质点D D对点对点

4、o o的动量矩为：的动量矩为：sin)(2mlvmMo故有：故有：sin22mlLo若考虑杆子的质量，则需要进行积分。若考虑杆子的质量，则需要进行积分。Lo方向垂直方向垂直CDCDCr11-1 动量矩计算动量矩计算3.3.刚体的动量矩刚体的动量矩1)1)平动刚体的动量矩平动刚体的动量矩()OOiiLMmvOOCCCLmMvrMvii iiiCCCOCrmvrmvr MvmMvxyzoimirivCCrCv11-1 动量矩计算动量矩计算2)2)定轴转动刚体对转轴的动量矩定轴转动刚体对转轴的动量矩()zziiii iLMmvmv r刚体对刚体对z轴轴的转动惯量的转动惯量2iizrmJzzJL zi

5、iiiiJrmrrm2ziriimv11-1 动量矩计算动量矩计算4. 4. 转动惯量的计算转动惯量的计算2zzMJ在工程中，常将转动惯量表示为在工程中，常将转动惯量表示为质量质量质量分布质量分布其物理意义：相当于将质量集中与一点，其物理意义：相当于将质量集中与一点， 该点距轴的距离为该点距轴的距离为z z刚体转动惯性的度量刚体转动惯性的度量zJ2iizrmJ1)1)定义定义2)2)回转半径或惯性半径：回转半径或惯性半径：MJzzM M 刚体平动惯性的度量刚体平动惯性的度量11-1 动量矩计算动量矩计算例例1 1中：中：sinsinsinsinzLm llm ll22sin2ml注意：仅适用于

6、转轴，不是转轴不成立。注意：仅适用于转轴，不是转轴不成立。LosinozLL sinsin2llmzzJL 2)sin(2lm1.1.利用定义利用定义2.2.利用对点与对轴动量矩的关系利用对点与对轴动量矩的关系3.3.利用定轴转动刚体对转轴的动量矩利用定轴转动刚体对转轴的动量矩求质点系对求质点系对ABAB（z z）轴的动量矩）轴的动量矩11-1 动量矩计算动量矩计算A. A. 匀质细杆对杆端轴匀质细杆对杆端轴z z的转动惯量的转动惯量dxdm , lM 设单位长度质量为llz333123)3)常见刚体对轴的转动惯量常见刚体对轴的转动惯量2302023131MlldxxdmxJllzClxdxx

7、z要求记住！要求记住！11-1 动量矩计算动量矩计算A. A. 匀质细杆对杆端轴匀质细杆对杆端轴z z的转动惯量的转动惯量3)3)常见刚体对轴的转动惯量常见刚体对轴的转动惯量Clxdxxz()()iiCOOiiOCpmvMVLMmvMMv24122)(MlllMvMMCO11-1 动量矩计算动量矩计算213zJMlB. B. 匀质薄圆环对于中心轴的转动惯量匀质薄圆环对于中心轴的转动惯量202mRdmRJmzRzZRo11-1 动量矩计算动量矩计算C. C. 匀质薄圆板对于中心轴匀质薄圆板对于中心轴(盘面盘面) )的转动惯量的转动惯量2,RM M圆板质量为24022214122MRRrdrrdm

8、rJRzRz22rdrdm 2图示圆环的质量为：要求记住！要求记住！11-1 动量矩计算动量矩计算D. D. 匀质薄圆板对于径向轴的转动惯量匀质薄圆板对于径向轴的转动惯量yxJJyx轴的转动惯量相等：与圆板对于22222)(iiiiizmymxyxmmrJ221mRJJJyxz即：Rz21 24121mRJJJzyxZyoxxiyiri11-1 动量矩计算动量矩计算4) 4) 平行轴定理平行轴定理)(222iiiiizCyxmrmJ)(222iiiiizyxmrmJdyyxxiiii,11-1 动量矩计算动量矩计算4) 4) 平行轴定理平行轴定理dyyxxiiii, mdymdyxmddyyx

9、mdyxmJiiiiiiiiiiiiiz222222222)(2)(00CCiiyMyym2MdJJzCz1./Czz 2.ZZCJJ min3.ZCJJ = =11-1 动量矩计算动量矩计算平行轴定理的应用：平行轴定理的应用：匀质细杆对质心轴的转动惯量匀质细杆对质心轴的转动惯量llz12121212Clxdxxz231MlJ zz轴：对杆端要求记住！要求记住！2MdJJzCz431222lMMlMdJJzzC2121MlJ CzC：对质心轴11-1 动量矩计算动量矩计算5)5)转动惯量的计算方法转动惯量的计算方法B. B. 形状简单形状简单 查表法查表法C. C. 规则形状组合规则形状组合

10、叠加法叠加法D. D. 形状复杂形状复杂 实验法实验法A. A. 直接积分法直接积分法 E. E. 平行轴定理平行轴定理11-1 动量矩计算动量矩计算例例3 3：图示为一简化钟摆，已知均质细杆和均质：图示为一简化钟摆，已知均质细杆和均质圆盘的质量分别为圆盘的质量分别为m m1 1和和m m2 2，杆长，杆长L L，圆盘直径为，圆盘直径为d d。求摆对经过悬挂点求摆对经过悬挂点o o的水平轴的转动惯量。的水平轴的转动惯量。解：解：)(21oooJJJ2131lm)2()2(212222ldmdm)83(3122221ldldmlm11-1 动量矩计算动量矩计算1. 1. 质点质点动量矩定理动量矩

11、定理( (固定点、固定轴固定点、固定轴) )vmrvmMO)()()OddrdMmvmvrmvdtdtdt A. A. 对固定点对固定点)()(FMvmMdtdOO ( )OrFMF11-2 动量矩定理动量矩定理 / , 0drdrvmvdtdt -= Odrv vvdt O为定点，1. 1. 质点质点动量矩定理动量矩定理( (固定点、固定轴固定点、固定轴) )B. B. 对固定轴对固定轴()( )zzdMmvMFdt()( )()( )xxyydM mvM FdtdM mvM Fdt11-2 动量矩定理动量矩定理2. 2. 质点系质点系动量矩定理动量矩定理( )( )()()() 1ieOi

12、iOiOidMmvMFMFindtnieiOnieiOniniiiOiiOFMFMFMvmMdtd1)(1)(11)()()()()(11()nnOOiiiiiiiLMmvrmv其中：nieiOOFdtLd1)()(MA. A. 对固定点对固定点11-2 动量矩定理动量矩定理任意质点对固定点动量矩定理：任意质点对固定点动量矩定理：2. 2. 质点系质点系动量矩定理动量矩定理B. B. 对固定轴对固定轴nieizzFMdtdL1)()( )1( )1()()nexxiinyeyiidLMFdtdLMFdt11-2 动量矩定理动量矩定理3. 3. 质点质点动量矩定理动量矩定理( (固定点、动点固定

13、点、动点) )vmrrvmAA)(L()()AAAdddLmvrrmvrrmvdtdtdt AAvmvrrF 11-2 动量矩定理动量矩定理= ,0AAdrdrvvdtdtdrmvdtA为动点 AAvvmvrrF( )AAvmvMF ()( )AAAdLmvvmvMFdt 4. 4. 质点系质点系动量矩定理动量矩定理( )( )()()() 1ieAiiAiAiAidLmvvmvMFMFindt 1nAiAiiiLrrmv11-2 动量矩定理动量矩定理任意质点对动点任意质点对动点A A动量矩定理：动量矩定理：( )( )1111()()()nnnnieAiiAiAiAiiiiidLmvvmvM

14、FMFdt ( )11()()nneAiiACAiiidLmvvMvMFdt ( )1()nAeACAiidLvMvMFdt 例题：水轮机转轮例题：水轮机转轮, ,进口水速度进口水速度 , ,出口水速度出口水速度 , ,它们与切线夹角分别为它们与切线夹角分别为 , , ,总体积流量总体积流量 。求水流对转轮的转动力矩。求水流对转轮的转动力矩。1v12Vq2v11-2 动量矩定理动量矩定理2221cosCDcdVLqdt vrn1111cosABabVLqdt vrn2 221 11( )(coscos)OOVdLMFnqv rv rdt2 221 111d (coscos)OVdLqt v r

15、v rn设叶片数为设叶片数为 , ,水密度为水密度为 , ,有有n经经dt 时间，水由时间，水由ABCD流到流到 abcd 动量矩改变为动量矩改变为dOabcdABCDCDcdABabLLLLL解：解：研究一个流道内的液体研究一个流道内的液体11-2 动量矩定理动量矩定理例题：已知例题：已知 , , , , , , , , , , ,不计摩擦不计摩擦. .mOJ1m2m1r2r轮的求求: :（1 1）NF （2 2）O处约束力 （3 3）绳索张力1TF2TF11-2 动量矩定理动量矩定理)(222211rmrmJO( )1 12 2()()eOMFm rm r g1 12 2221 12 2(

16、)Om rm r gddtJm rm r 由由( )()eOOdLMFdt 222111rvmrvmJLOO解：解： (1) 求轮的求轮的研究整个系统研究整个系统)(222211rmrmJdtdO1v2vgrmrm)(221111-2 动量矩定理动量矩定理1212()()CyNmmm aFmmmg212211212211)(mmmrmrmmmmamammymyaiiiCCy 121 12 2()()NFmmm gm rm r对整体应用质心运动定理对整体应用质心运动定理NF （2 2）O处约束力处约束力1a2a11-2 动量矩定理动量矩定理 eiCiimaF111 11 1Tm gFm am r

17、111()TFm gr22222 2TFm gm am r222()TFmgr （3 3） 求求 研究研究1m1TF （4 4） 求求 研究研究2m2TF11-2 动量矩定理动量矩定理3. 3. 质点、质点系动量矩守恒定理质点、质点系动量矩守恒定理质点系对该点的动量矩守恒。质点系对该点的动量矩守恒。 FMnieiO，若0)(1)( OL常矢量nieiOOFMdtLd1)()(11-2 动量矩定理动量矩定理1.1. 坐在转椅上坐在转椅上( (双脚离地双脚离地) )或摇篮内的小孩或摇篮内的小孩, , 是否可用双手将转椅转动是否可用双手将转椅转动? ?2. 2. 花样滑冰的运动员通过手臂的伸长和收拢

18、花样滑冰的运动员通过手臂的伸长和收拢 改变旋转的速度改变旋转的速度, ,说明此道理说明此道理. .( )1()0 , neziiMF若z L 常量质点系对该轴的动量矩守恒。质点系对该轴的动量矩守恒。nieizzFMdtdL1)()(思思考考11-2 动量矩定理动量矩定理求：剪断绳后求：剪断绳后, , 角时的角时的 。例题：两小球质量皆为例题：两小球质量皆为 , ,初始角速度初始角速度m011-2 动量矩定理动量矩定理120022zLm aama2)sin(22lamLz时时，00 时时，202)sin(laa由由 , 得得12zzLL解：取整个系统为研究对象解：取整个系统为研究对象 , 0)(

19、1nieizFM常量则zL zzJL )(izzFMdtdL)(izzFMJdtd)(izzFMJ )(izzFMJ根据质点系动量矩定理有根据质点系动量矩定理有绕定轴绕定轴z z转动刚体的动量矩为：转动刚体的动量矩为： 主动力对转轴的矩使刚主动力对转轴的矩使刚体转动状态发生变化体转动状态发生变化11-3 刚体绕定轴转动微分方程刚体绕定轴转动微分方程 若力矩不变，若力矩不变，J Jz z越大，越大， 越小，越小，转动惯量转动惯量J Jz z反映了改变刚体转动状态的难易程度反映了改变刚体转动状态的难易程度。 公式：中若力不变，公式：中若力不变，m越大，越大，a越小，越小，质量质量m反映了改变刚体平

20、动状态的难易程度反映了改变刚体平动状态的难易程度。刚体绕定轴转动微分方程刚体绕定轴转动微分方程()zziJMF 刚体绕定轴转动时，刚体的转动状态随主动力对刚体绕定轴转动时，刚体的转动状态随主动力对转轴的矩变化。力矩大，转动角加速度大；转轴的矩变化。力矩大，转动角加速度大；iFam()zziJMF 11-3 刚体绕定轴转动微分方程刚体绕定轴转动微分方程11-3 刚体绕定轴转动微分方程刚体绕定轴转动微分方程刚体绕定轴转动微分方程刚体绕定轴转动微分方程()zziJMF 可解二类问题可解二类问题: :(1)(1)已知刚体的转动规律求作用于刚体的主动已知刚体的转动规律求作用于刚体的主动力力; ;(2)(

21、2)已知作用于刚体的主动力求刚体的转动规已知作用于刚体的主动力求刚体的转动规律。律。解：解：研究整个系统研究整个系统受力分析受力分析由刚体绕固定轴转动的微分方程，有由刚体绕固定轴转动的微分方程，有于是得：于是得：，例例11-411-4：已知：半径：已知：半径R，转动惯量，转动惯量J，皮带的拉力，皮带的拉力为为 、 ，求皮带轮的角加速度。，求皮带轮的角加速度。 1F2F O1F2FoXoYRFFJ21JRFF21问题：什么情况下问题：什么情况下 ？ 21FFW11-3 刚体绕定轴转动微分方程刚体绕定轴转动微分方程例例11-5 11-5 物理摆（复摆），已知物理摆（复摆），已知 求求: :微小摆动

22、的周期微小摆动的周期 。aJmO,11-3 刚体绕定轴转动微分方程刚体绕定轴转动微分方程22dsindOJmgat 解：解：mgatJO22dd0dd22OJmgat即：即：sin微小摆动时，微小摆动时，11-3 刚体绕定轴转动微分方程刚体绕定轴转动微分方程11-3 刚体绕定轴转动微分方程刚体绕定轴转动微分方程2202 0 ddt 方程：通解为通解为00sin()t0角频率角频率0OmgaJ称角振幅，称角振幅， 称初相位，由初始条件确定称初相位，由初始条件确定.O022OJTmga周期周期例例11-611-6：已知：已知 ，动滑动摩擦系数，动滑动摩擦系数 ，求制动所需时间求制动所需时间 。tR

23、FJNO,0f11-3 刚体绕定轴转动微分方程刚体绕定轴转动微分方程00ddotoNJfF R tRFfJtNooddoNJFRf F Rt解：解：oXoY研究飞轮，作飞轮的受力图。研究飞轮，作飞轮的受力图。11-3 刚体绕定轴转动微分方程刚体绕定轴转动微分方程21121221,MMRRiJJ1例例11-711-7：已知：已知 求：求：11-3 刚体绕定轴转动微分方程刚体绕定轴转动微分方程1111RFMJt2222MRFJt2122112211iJJiMM解解：ttFF 121221RRi因因 ，得得注意：注意：含多个转轴的问题，必含多个转轴的问题，必须分别对每个转轴列刚体定轴须分别对每个转轴

24、列刚体定轴转动方程。转动方程。11-3 刚体绕定轴转动微分方程刚体绕定轴转动微分方程作业：作业：11-211-2，11-811-81.1. 质系对质心质系对质心c c点的动量矩点的动量矩2.2. 质系对固定点质系对固定点o o的动量矩的动量矩3.3. 质点系相对质心质点系相对质心C C的动量矩定理的动量矩定理11-4 质点系相对质心的动量矩定理质点系相对质心的动量矩定理()CCiiaiCiiaLmmvrrmvCiCiirLrrmv 1. 1. 质系对质心质系对质心c c点的动量矩点的动量矩x x y zCyzoirirCrirvCvim11-4 质点系相对质心的动量矩定理质点系相对质心的动量矩

25、定理iriaCvvv绝对动量绝对动量相对动量相对动量iiCrrr irCiiiaiiCvvmrvmrLCiriiCLvmrL )(0,cciir Mrmr)()(iriiciivmrvmr )(iriiciivmrvmr x x y zCyzoirirCrirvCvim11-4 质点系相对质心的动量矩定理质点系相对质心的动量矩定理2()CCiiiri iCLLrmvmrJLm mvrmvooiiaiiia()()icirrr )()(iaiiiaicvmrvmr0,cciir MrmrcccoLvMrLrmvrm vvciiaiicir()cciiccLvmrvMr )(2.2.质系对固定点质

26、系对固定点o o的动量矩的动量矩x x y zCyzoirirCrirvCvim11-3 质点系相对质心的动量矩定理质点系相对质心的动量矩定理xyoCvcR x y解：在质心解：在质心C建立平动动系建立平动动系逆时针为正逆时针为正M例：例：半径为半径为R，质量为，质量为m车轮视为均质圆盘，在车轮视为均质圆盘，在地面上滚动，其质心的速度为地面上滚动，其质心的速度为 ，角速度为，角速度为 。求圆盘对求圆盘对O（轴）点的动量矩。（轴）点的动量矩。CvcccoLvMrL()ooccLm MvLCCMv RJ 212CMv RmR 11-3 质点系相对质心的动量矩定理质点系相对质心的动量矩定理OABD例

27、：例：求系统在此瞬时对求系统在此瞬时对O轴的动量矩。设各杆长为轴的动量矩。设各杆长为L，质量，质量为为m。1Cv2Cv231)(mLOALOLmvABLCO1)(2mL 21212)(2mLLmvBDLCO231mL 235mLLO解：解：计算各刚体对计算各刚体对O轴的动量矩轴的动量矩)()()(BDLABLOALLOOOO11-4 质点系相对质心的动量矩定理质点系相对质心的动量矩定理CCCOLvmrL3. 3. 质点系相对质心质点系相对质心C C的动量矩定理的动量矩定理x x y zCyzoirirCrirvCvim11-4 质点系相对质心的动量矩定理质点系相对质心的动量矩定理rOCCCCC

28、dLddvdLmvrmdtdtdtdtrr / 0CCCCddvmvdtdt，OCCCdLdLrmadtdt eCCCirmarF eiCCFMdtLd eiiCeiieiOFrrFrFM)( eiieiCFrFr eeCCiirFMFx x y zCyzoirirCrirvCvim11-4 质点系相对质心的动量矩定理质点系相对质心的动量矩定理2CCi iCLLmrJ CCiJMF研究对象：研究对象：S S平面（平面运动刚体）平面（平面运动刚体）运动分解：运动分解：取取质心质心C C为基点为基点力系简化：力系简化：取取质心质心C C为简化中心为简化中心xyo x yc1FiFnFM11-5 刚

29、体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程随质心的平动随质心的平动绕质心的转动绕质心的转动主矢主矢主矩主矩 ()eCenCneCCmaFmaFJMF eCmaF 质心运动定理质心运动定理 ()eCCiJMF 相对质心的相对质心的动量矩定理动量矩定理)()()()(eCCeyCexCFMJFymFxm 11-5 刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程随质心的平动随质心的平动主矢主矢绕质心的转动绕质心的转动主矩主矩xFMcgmyF例例1：质量为质量为m, 半径为半径为R 的均质圆盘在水平面上的均质圆盘在水平面上纯滚动纯滚动，其上作用有力其上作用有力 Fx ,Fy和力偶和力偶 M ，求圆盘角加速度，质

30、心求圆盘角加速度，质心加速度和摩擦力。加速度和摩擦力。11-5 刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程xFMcgmyFNFfFca解：受力分析和运动分析解：受力分析和运动分析RaCfxCFFmax:yFmgFyN0:RFMmRf 221mRRFMaxC3)(2232mR)RFM(x332xfFRMF eCmaF ()eCCJMF 11-5 刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程例例2已知：半径为已知：半径为r ,重为重为w的匀质圆轮，的匀质圆轮，相对质心的回转相对质心的回转半径为半径为c ，斜面倾角为斜面倾角为，若接触面摩擦系数足够大，保，若接触面摩擦系数足够大，保证轮子做纯滚动。证轮子做

31、纯滚动。求求: 圆轮质心的加速度及受到斜面的摩擦力。圆轮质心的加速度及受到斜面的摩擦力。NF CCV aW11-5 刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程根据平面运动微分方程，有根据平面运动微分方程，有利用上式，并联立利用上式，并联立(1)(1)(3)(3)，求得：，求得：FWagWCsin(1)(1)cosWN 0FrgWC2(2)(2)(3)(3)raC由运动学由运动学2sin1 ()CCgar 2sin1 ()CWFrNF CCV aW11-5 刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程车轮作纯滚动，有：车轮作纯滚动，有： cosWfNfF即：即： 2)(1sincosCrWWf整理后：

32、整理后：2tg1 ()Cfr上述关系式给出了滚动物体在斜面上作纯滚的条件。上述关系式给出了滚动物体在斜面上作纯滚的条件。 2)(1sinCrWFNF CCV aW讨论：讨论：滚动物体在斜面上作纯滚的条件滚动物体在斜面上作纯滚的条件11-5 刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程动量动量矩动量定理质点质点系pmv=i iCpmvMv=dpFdtmaF=( )( )( ),eieeiiiCidpFdtmaFMaF=邋()OOLMmvrmv=()OOi iii iLMmvrmv=邋OOLJw=（刚体定轴转动）动量矩定理()( )eOOidLMFdt=( )eOdLrFdt=（对固定点O）()( )

33、eOOidJMFdtw=（刚体定轴转动）OCCCLrMvJw=+（刚体平面运动）()( )eCCidJMFdtw=（相对质心动量矩定理）作业：作业：11-2211-22，2525，2727，2929，333311-5 刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程例例4 4：重重100N100N，长为，长为1m1m的均质直杆的均质直杆ABAB，一端，一端A A置于水平地面置于水平地面上，另一端上，另一端B B通过一根绳子挂在天花板上，已知杆与水平面通过一根绳子挂在天花板上，已知杆与水平面间的摩擦系数为间的摩擦系数为0.30.3，杆在图示位置处于，杆在图示位置处于静止状态静止状态，若，若绳子绳子突然被剪断突然被剪断，(1) (1) 问：此瞬时问：此瞬时A A端滑动否？端滑动否？(2) (2) 求此瞬时杆的角加速度求此瞬时杆的角加速度(3) (3) 求此瞬时水平地面对它的反力。求此瞬时水平地面对它的反力。 30AB11-5 刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程解解：1 1）假定假定A A点在该瞬时不滑动点在该瞬时不滑动，即在剪断瞬时杆绕，即在剪断瞬时杆绕A A端转动端转动1.1.用用 求