八年级几何证明题集锦及解答值得收藏

1、八年级几何全等证明题归纳1. 如图，梯形 ABCD 中，AD / BC,/DCB=45 , BD 丄 CD .过点 C 作 CE 丄 AB 于E，交对角线BD于F，点G为BC中点，连接EG、AF .求证：CF=AB+AF .证明：在线段CF上截取CH=BA，连接DH， BD 丄 CD，BE 丄 CE，/ EBF+ / EFB=90，/ DFC+ / DCF=90 ，vZ EFB= / DFC，/ EBF= Z DCF，v DB=CD，BA=CH， ABDHCD， AD=DH，Z ADB= Z HDC，v AD / BC，Z ADB= Z DBC=45 ，Z HDC=45 ,/ HDB= Z B

2、DC Z HDC=45 ， Z ADB= Z HDB，vAD=HD，DF=DF， ADF HDF， AF=HF， CF=CH+HF=AB+AF , CF=AB+AF .2. 如图，ABCD为正方形，E为BC边上一点，且AE=DE , AE与对角线BD交 于点F，连接CF，交ED于点G .判断CF与ED的位置关系，并说明理由.解：垂直.理由：四边形ABCD为正方形，/ ABD= / CBD，AB=BC， BF=BF， ABF CBF，/ BAF= / BCF，在 RT ABE 和 DCE 中，AE=DE，AB=DC， RTMBEDCE，/ BAE= / CDE，/ BCF= / CDE，vZ C

3、DE+ / DEC=90 ，/ BCF+ Z DEC=90 ， DE 丄 CF.3. 如图，在直角梯形 ABCD 中，AD / BC，Z A = 90o, AB = AD，DE 丄CD 交BFAB于E ,DF平分Z CDE交BC于F，连接EF .证 明：CF = EF解：过D作DG丄BC于G.由已知可得四边形ABGD为正方形,TDE 丄 DC/ ADE亡 EDG=90二/ GDC吃 EDG / ADE=/ GDC.又 T/ A二/ DGC且 AD=GD ADEA GDC DE=DCfi AE=GC在厶 EDF 和厶 CDF 中/ EDF=/ CDF DE二DC DF 为公共边，二 EDFCDF

4、, EF=CF 4.已知：在/ ABC 中，/ A=900, AB二AC D 是 AC 的中点，AE丄BD,AE延长线交BC于F,求证：/ ADB=/ FDG证明：过点C作CG± CA交AF延长线于G*G / G+/ GAC=90 又 t AE丄 BD / BDA+/ GAC=90综合，/ G二/ BDA在厶BDA与厶AGC中，v / G=Z BDA/ BAD二/ ACG=90BA=CA BDAA AGC DA=GC/ D是 AC中点， DA=CD GC=CD由/ 1=45°,/ ACG=90，故/ 2=45° 二/ 1在厶 GCF-与 DCF中，v GC=CD/

5、 2=45°=/ 1CF=CF GCFA DCF / G=/ FDC又 / G=/ BDA/ ADB=/ FDC5如图，梯形 ABCD中, AD/ BC, CD丄 BC, BC=CD O是 BD 的中点，E是CD延长线上一点，作 OF丄OE交DA的延长线于F, OE交AD于H, OF交AB于G, FO的延长线交CD于K,求证：OE=OF提示：由条件知厶BCD为等腰 RtA，连接 OC,可证 OC2A ODH(AAS)得 OK=OH 再证 FOHA EOK(AAS)得 OE=OF6. 如图，在正方形 ABCD的边BC上任取一点 M，过点C作CN丄DM 交AB于N,设正方形对角线交点为

6、0,试确定0M与0N之间的关解：T四边形ABCD是正方形， DC=BC / DCM二/ NBC=90, 又T CN丄DM交AB于N, / NCM+Z CMD=9° ,而/ CMD+Z CDM=9° , / NCM=Z CDM, DCM CBN, CM二BN,再根据四边形ABCD是正方形可以得到OC=OB / OCM二/ OBN=45, OCMA OBN. OM=ON,/ COM二/ BON,而/ COM+Z MOB=9° , / BON+Z MOB=9° . Z MON=9° . OM与ON之间的关系是 OM=ON; OM丄ON.7. 如图，正

7、方形 CGEF的对角线CE在正方形ABCD的边BC的延长线上（ CG> BC, M是线段AE的中点，DM的延长线交CE于 N.探究：线段MD、MF的关系，并加以证明.F证明：根据题意，知AD/ BC.Z EAD=Z AEN （内错角相等）, vZ DMA=Z NME （对顶角相等）， 又T M是线段AE的中点， AM二ME. ADM ENM （ASA）. AD二NE,DM二MN （对应边相等）.连接线段DF,线段FN,线段CE是正方形的对角线，/ DCF玄NEF=45 ,根据上题可知线段AD=NE又T四边形CGEF是正方形，二线段FC等于FEDCFA NEF( SAS.二线段FD=FN

8、FDN是等腰三角形.线段MD丄线段MF.8. 如图，/ABC是等边三角形，ABDC是顶角/ BDC=120°勺等腰三角形， 以D为顶点作一个60°角/NDM,角的两边分别交 AB AC边于M、N两点，连接MN .试探究BM、MN、CN之间的数量关系，并加以证明.证明：BM+CN=NM延长AC至E,使CE=BM 连接DE, BDC是顶角/ BDC=120的等腰三角形， ABC是等边三角形,/ BCD=30,/ ABD二/ ACD=90,v DB=DC CE=BM :. DCEA BMD,v/ MDN二/ NDE=60 DM=DE （上面已经全等） DN=ND （公共边） DM

9、N DEN/. BM+CN=NM9. 如图，已知点D为等腰直角ABC内一点，/ CAD=/ CBD=15. E为AD延长线上的一点，且 CE=CA求证：AD+CD=DE证明：v AC=BC / ACB=90, / CAB=/ ABC=45.v/ CAD=/ CBD=15, / BAD二/ ABD=30 . AD=BD在DE上截取DM二DC,连接CM,v AD=BD AC=BC DC=DC ACDA BCD. / ACD=Z BCD=45.v/ CAD=15,/ EDC=60.T DM二DC, CMD是等边三角形./ CDA=Z CME=12°.t CE=CA / E=Z CAD. C

10、ADA CEM. ME二AD. DA+DC=ME+MD=DE即 AD+CD=DE 10如图，在正方形 ABCD中，F是CD的中点，E是BC边上的一点,且 AF平分/ DAE,求证：AE=EC+CD证明：t AF平分/ DAE, / D=90°, FFU AE, / DAF=Z EAF FH=FD在厶AHF与厶ADF中，t AF为公共边，/ DAF=Z EAF, FH=FD（角平分线上的到角的两边距离相等）， AHFA ADF( HL). AH二AD HF=DF又v DF=FC=FH FE为公共边， FHE FCE HE=CEv AE=AH+HE AH二AD二CD HE=CE AE=E

11、C+CD11. 已知梯形 ABCD中，AB/ CD, BD丄AC于 E, AD=BC AC二AB DF 丄AB于F, AC DF相交于DF的中点O.求证：AB+CD=2BE证明：过D作DM / AC交BA的延长线于M .v梯形 ABCS中，AD=BC BD=AC又v CD/ AM, DM / AC,四边形CDMA为平行四边形. DM二AC, CD二AM.v MD/ AC,又 AC丄 BD,且 AC二BD DM 丄 BD, DM二BD, DMB为等腰直角三角形.又T DF丄BM, DF=BF BM=2DF=2BF AM+AB=2BFT CD二AM, AB+CD=2BFtAC=BD=AB在 ABE

12、A和厶 BFD中， BEAA BFD. BE=BFtAB+CD=2BF AB+CD=2BE12. 已知：如图，在梯形 ABCD中，AD/ BC, BC=DC CF平分/ BCDDF/ AB, BF的延长线交DC于点E.求证：AD=DE证明：（1）t CF平分/ BCD / BCF=z DCF在厶 BFCn DFC中，BFCA DFC BF=DF / FBD=/ FDB连接BD.T DF/ AB, / ABD二/ FDB. / ABD二/ FBD.t AD / BC, / BDA=/ DBC.t BC=DC / DBC=Z BDC. / BDA=/ BDC.又BD是公共边， BAXA BED.

13、AD=DE13. 如图，在直角梯形 ABCD中, AD丄 DC, AB / DC, AB=BC AD 与 BC延长线交于点F, G是DC延长线上一点，AG丄BC于E.求证：CF二CG证明：连接AC,TDC/ AB, AB=BC/ 仁/CAB, / CAB=/ 2,/ 仁/2;/ ADC=Z AEC=90, AC二AC ADCA AEC CD=CE/ FDC=/ GEC=90, / 3=/4 , FDCA GEC CF=CG14. 如图，已知P为/AOB的平分线OP上一点，PCIOA于C, PA=PB求证 AO+BO=2COBBQ证明：过点P作PQ丄OB于Q,贝卩/ PQB=90v OP平分/

14、AOB,且 PCL OA, PQ丄 OB PC=PQ在 RtA POC与 RtA POQ 中，v PC=PQPO=PO RtAPOCRtAPOQ (HL).OC=OQ 2OC=OC+OQ=OC+OB+BQ在 RtA PCA与 RtA PQB中，v PC=PQPA=PB RtAPCA RtAPQB ( HL) CA=QB又 2OC=OC+OB+BQ 2OC=OC+OB+CA=OA+OB15. 已知：如图，在直角梯形 ABCD中，AD/ BC,/ ABC=90°, DE丄AC于点F,交BC于点G,交AB的延长线于点E,且AE=AC求证：BG=FQC证明:vZ ABC=90, DE丄AC于

15、点 F,/ ABC=Z AFEv AC=AE Z EAFZ CAB ABCA AFE AB=AF连接AG,v AG=AG AB=AF, RtABG RtAAFG BG=FG16. 如图，在平行四边形ABCD中,分别以AB、AD为边向外作等边AABEADF,连接 CECF，求证：CDFA EBC Z CDF=Z EAF； AECF是等边解： ABE ADF是等边三角形 FD二AD BE二ABvAD=BC AB=DC FD=BC BE=DCv/ B=ZD,Z FDA二/ ABE / CDF=/ EBC CDFA EBCv AF=FD AE=DC EF=CF EABA CDF / CDF=/ EAF

16、,v/ AFC=/ AFE+/ EFD+/ DFC / AFE+/ EFD=60 / AFC/ DFC=60 / AFE/ DFC / EFC=60同理，/ FEC=60v CF=CE ECF是等边三角形17. 已知正方形ABCD中, F为对角线BD上一点，过F点作EF丄BA于E, G为DF中点，连接EG CG.求证：EG=CGDZ)£证明： 延长CG至M，使MG=CG连接 MF， ME， EC，在厶DCG< FMG中，v FG=DG / MGF二/ CGD, MG二CGDCGA FMG. MF=CD / FMG二/ DCQ.MF/ CD/ AB, EF± MF.在

17、RtAMFE与 Rt CBE中,v MF=CB EF=BE MFEA CBE / MEF二/ CEB / MEC=Z MEF+Z FECK CEBV CEF=90,. MEC 为直角三角形.v MG=CG，. EG= MC，. EG=CG.如图，在 ZABC中，Z ABC=60°, AD、CE分别平分Z BAG Z ACB 求证： AC=AE+C.D解：在AC上取AF=AE连接OF,则厶AEOAFO (SAS,/ AOE=Z AOF;v AD、CE分别平分/ BAG / ACB, / ECA+/ DAC= (180°/B) =60° 则/AOC=180 -/ EC

18、A/ DAC=120 ;/ AOC=Z DOE=120,/ AOE=Z COD玄 AOF=60°,则/ COF=60 , / COD=/ COF,又 v/ FCO/ DCO CO=CO FOCA DOC (ASA), DC=FCv AC=AF+FC AC=AE+CD18. 已知：如图，AD/ BC, AE平分/ BAD, AE丄BE;说明：AD+BC=AB解：如图，在AB上截取AF=AD AE平分/ BAD,/ DAE=/ FAEv AF=AD AE二AE DAEA FAE / D二/ AFE / DEA=Z FEAv AD/ BC, / DAB+/ CBA=180 ,v AE

19、77; BE, / BAE+Z ABE=90 , / DAE+/ CBE=90 , / ABE=Z CBE同理，Z FEB=/ CEBv BE二BE BEFA BEC BF=BC AB=AF+FB=AD+BC如图，已知 RtABCRtADE, Z ABC=Z ADE=90, BC与 DE相交于点F,连接CD, EB.求证：CF=EFv RtABC RtAADE AC=AE AD二AB, / CAB=/ EAD,/ CAB/ DAB二/ EAD/ DAB.即/ CAD二/ EAB CADA EAB, CD二EB / ADC=Z ABE又 v/ ADEN ABC / CDF=/ EBF又 v/ D

20、FC/ BFE CDFA EBF CF=EF19. 将两个全等的直角三角形 ABC和DBE如图方式摆放，其中/ ACB=/ DEB=90，/ A二/ D=30，点 E 落在 上，DE所在直线交AC所在直线于点ABF.CA求证：AF+EF=DE证明：连接BF/ AB3A DBE BC=BE AC=DE vZ ACB=/ DEB=90, / BCFZ BEF=90.v BF=BF RtABFC RtABFE CF=EF又 v AF+CF=AC AF+EF=DE初二几何全等证明题集锦（二）1. (1)如图1，点0是线段AD的中点，分别以 AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形

21、OCD,连结AC和BD,相交于点 E,连结BC. 求/ AEB的大小；图1A(23»4)(石题图5)(23题團“(23»4)(石题图5)(23题團“(2)如图2, OAB固定不动，保持 OCD的形状和大小不变， 将厶OCD绕着点O旋转 ( OAB和 OCD不能重叠)，求/ AEB的大小.2 .如图1,四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)，以CG 为一边在正方形 ABCD外作正方形 CEFG连结BG, DE.我们探究下列图中线段 BG、 线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：(1)猜想如图1中线段BG线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；将

22、图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度，得 到如图2、如图3情形请你通过观察、测量等方法判断中得到的结论是否仍 然成立，并选取图2证明你的判断.(23»4)(石题图5)(23题團“(23»4)(石题图5)(23题團“c為题图1 JD(23»4)(石题图5)(23题團“(23»4)(石题图5)(23题團“(2)将原题中正方形改为矩形(如图 第(1)题中得到的结论哪些成立,4 6),且 AB=a, BC=b, CE=ka CG=kb(a = b, k 0),哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由.(23»4)(石题图

23、5)(23题團“(23»4)(石题图5)(23题團“(23»4)(石题图5)(23题團“(3)在第题图5中，连结DG、BE,且a=3, b=2, k=，求be2 DG2的值.23.如图甲，在 ABC中，且在AD的右侧作正方形解答下列问题：(1)如果 AB=AC,/ ACB为锐角.点 D为射线BC上一动点，连接 AD,以AD为一边ADEF./ BAC=90o. 当点D在线段BC上时(与点B不重合)，如图乙，线段CF BD之间的位置关系为 ，数量关系为 . 当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，中的结论是否仍然成立，为什么?图甲FCE图丙BC上运动.CF丄 BC (点 C、F重

24、合除外)？画出相(2)如果 ABM AC,/ BACM 90o,点 D 在线段 试探究：当 ABC满足一个什么条件时， 应图形，并说明理由.(画图不写作法) CF相交于点P,求线段CP长的最大值.4. 已知：如图5132,点C在线段AB上，以AC和 BC为边在AB的同侧作正三 角形 ACMfn BCN连结AN BM 分别交CM CN于点P、Q.求证：PQ/ AB.5. 如图，在正方形 ABCD中, PBC QCD是两个等边 三角形，PB与DQ交于M BP与CC交于E, CP与DQ交 于F。求证：PM= QM如图，在 ABC中, AD平分/ BAC A吐AC- BD,则/B ：Z C的值为多少?

25、7、如图， ABC中，AB= AC, D E、F 分别是 BC AB AC 上的点，BD= CF, CD= BE, G为EF中点，连结DG问DG 与EF之间有何关系？证明你的结论。8已知：三角形 ABC和CDE为等腰直角三角形，点 F、G分别为BE和AD的中点，连接 FG 和GC,求证：FG和GC的关系。9如图1,已知 ABC, / ACB=90 ,分别以AB、BC为边向外作 ABD与厶BCE且DA=DB, BE=EC若/ ADB=Z BEC=2/ ABC,连接DE交AB于点F,试探究线段 DF与EF的数量关系, 并加以证明。10. 已知：如图，P是正方形 ABCD内点，/ PAD=/ PDA

26、= 15°.求证： PBC是正三角形.11. 已知：如图，在四边形 ABCD中，AD= BC, M、N分别是 AB、CD的中点，AD、BC的延 长线交MN于E、F.求证：/ DEN=Z F.12. 如图，分别以 ABC的AC和BC为一边，在厶ABC的外侧作正方形 ACDE和正方形 CBFGF点P是EF的中点.求证：点P到边AB的距离等于 AB的一半.13如图，四边形 ABCD为正方形，DE/ AC, AE= AC, AE与CD相交于F. 求证：CE= CF.E14、如图，四边形 ABCD为正方形，DE/ AC,且CE= CA,直线EC交DA延长线于F. 求证：AE= AF.15、设P

27、是正方形 ABCD一边BC上的任一点，PF丄AP, CF平分/ DCE 求证：PA= PF.厂j匚16、设P是平行四边形 ABCD内部的一点，且/ PBA=Z PDA求证：/ PAB =Z PCB.17. 如图 2-1，在 Rt ABC 中，/ ACB=90 ，/ BAC=60 ,（1 ）将Rt ABC绕点A逆时针旋转 90°，得到Rt AC'B'，直线BB'交直线CC'于点D, 连接AD.探究：AD与BB'之间的关系，并说明理由。（2）如图2-2，若将Rt ABC绕点A逆时针旋转任意角度，其他条件不变，还有（1 ）的结论吗？为什么？D图2-1

28、ACS2-218. 在厶 ABC 与厶 BDE 中，/ ABC= / BDE=90 , BC=DE , AC=BE , M.N 分别是 AB.BD 的中点，连接MN交CE于点K(1) 如图3-1，当C.B.D共线，AB=2BC时，探究CK与EK之间的数量关系，并证明；(2) 如图3-2，当C.B.D不共线，AB2BC时，(1 )中的结论是否成立，若成立，请证 明；若不成立，请说明理由；(3 )将题目中的条件 2 ABC= / BDE=90 , BC=DE , AC=BE都去掉，再添加一个条件， 写出一个类似的对一般三角形都成立的问题(画出图形，写出已知和结论，不用证明)图3-1BMD19如图，

29、 ABO与ACDO均为等腰三角形，且/ BAO= Z DCO=90 , M为BD的中点, MN1AC，试探究MN与AC的数量关系，并说明理由。020.填空或解答：点 B. C. E在同一直线上，点 A. D在直线CE的同侧，AB= AC, EC= ED, / BAC=Z CED 直线 AE、BD交于点 F。(1) 如图，若/ BAC= 60°,则/ AFB=;如图，若/ BAC= 90°,则/ AFB;(2) 如图，若/ BAC= a ,则/ AFB= (用含a的式子表示);(3) 将图中的 ABC绕点C旋转(点F不与点A. B重合)，得图或图。在图中，/ AFB与/ a的数量关系是；在图中，/ AFB与/ a的数量关系是。请你任选其中一个结论证明。20.已知：如图所示，在厶ABC和厶ADE中，AB=AC , AD = AE , BAC=/DAE , 且点B, A, D在一条直线上，连接 BE, CD, M , N分别为BE, CD的中点.(1 )求证：BE =CD :厶AMN是等腰三角形.(2)在图的基础上，将 ADE绕点A按顺时针方向旋转180，其他条件不变，得到图所示的图形请直接写出(1)中的两个结论是否仍