几何中的最值问题专题复习教学设计优选

1、几何中最值问题专题复习教学设计教材分析：几何中的最值问题变幻无穷，教学中如何引导学生在复杂条件变化中发现解决问题的路径，核心问题是训练学生在题目中寻找不变的已知元素，从这些已知的不变元素，运用“两点间线段最短”、“垂线段最短”、“点的运动轨迹”“二次函数最值”等知识源，实现问题的转化与解决.教学目标：知识溯源，从知识转化角度，借助中考真题的讲解，引导学生掌握处理最值问题的基本知识源（见教学设计中的标题），明确解决最值问题的思考方向。重点知识与命题特点最值连续多年广泛出现于中考试题中，由冷点变为热点，求相关线段、线段之和差、面积等最大与最小值.此类问题涉及的知识要点有以下方面：两点间线段最短；垂

2、线段最短；三角形的三边关系；定圆中的所有弦中，直径最长；圆外一点与圆的最近点、最远点.借助转化为代数思想：一次函数反比例函数增减性、二次函数的最值问题.命题特点侧重于在动态环境下对多个知识点的综合考查.核心思想方法由于这类问题目标不明确，具有很强的探索性，解题时需要运用动态思维、数形结合、模型思想、特殊与一般相结合、转化思想和化归思想、分类讨论思想、函数和方程思想、从变化中寻找不变性的数学思想方法、逻辑推理与合情猜想相结合等思想方法.解这类试题关键是要结合题意，借助相关的概念、图形的性质，将最值问题化归与转化为相应的数学模型进行分析与突破。教学过程一、问题导入我们所学的知识体系中，有哪些与最大

3、值或最小值有关联的知识？两点间线段最短；垂线段最短；三角形的三边关系；定圆中的所有弦中，直径最长；圆外一点与圆的最近点、最远点.借助转化为代数思想：一次函数反比例函数增减性、二次函数的最值问题.师：我们把这些知识点称为求几何中最值的知识源.二、真题讲解真题示例11. （2016福建龙岩）如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1,AF=2,若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为（）旦/戈、A.1B.2C.3D.4【题型特征】利用轴对称求最短路线问题IC【示范解读】此类利用轴对称求最短路线问题一般都以轴对称图形为题设背景，如圆、正方形、菱形、等腰梯形、平面直角坐标系等.首先根据题意画

4、出草图，利用轴对称性找出对应线段之间的相等关系，从而把所求线段进行转化，画出取最小值时特殊位置，两条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的是“小河”问题，关键是指出一条对称轴“河流”（如图1）.三条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“牛喝水”问题关键是指出两条对称轴”反射镜面”（如图2）,结合其他相关知识加以解决.草地真题示例2（2016四川内江）如图1所示，已知点C（1,0）,直线y=x+7与两坐标轴分别交于A,B两点，D,E分别是AB,OA上的动点，则CDE周长的最小值是.【解题策略】（图2）1 .画图建模，画出取最小值时动点的位置，建立相关模型；2 .学会转化，利用轴对称把线段之和转

5、化在同一条直线上.真题（组）示例3例3如图，在4ABC中，AB=3,AC=4,BC=5,P为边BC上于F,则EF的最小值为.【题型特征】利用垂线段最短求线段最小值问题真题（组）示例4动点，PE±AB于E,PFXAC1.（2012宁波）如图2,ZXABC中,BAC60,ABC45,AB=26，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画。O分别交AB,AC于E,F,连接EF,则线段EF长度的最小值为.（图2）（图3）【示范解读】OO的大小随着AD的变化而变化，在此变化过程中，圆周角/BAC的度数始终保持不变，而线段EF即为。O中60°圆周角所对的弦，弦EF的大小随。O直径变化的变

6、化而变化，当圆O的直径最小时，60度圆心角所对的弦长最短，即转化为求AD的最小值，由垂线段最短得出当ADLBC时,AD最短.【解题策略】1 .观察发现，分析总结运动变化过程中的不变元素及内在联系，2 .画图转化，根据内在联系转化相关线段，应用垂线段最短”求出相关线段的最小值.真题（组）示例5（2013%迁）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0,1）,B（1,2）,点P在x轴上运动，当点P到A、B两点距离之差的绝对值最大时，点P的坐标是.r«(1)求经过A、B、C三点的抛物线的解析式;y=ix21x+3;xOy中，点A、B、(2)在平面直角坐标系xOy中是否存在一点P,在，请求出点P

7、的坐标；.若不存在，请说明理由；使得以以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形？若存(5,3)(3)若点M为该抛物线上一动点，在(接写出|PM-AM|的最大值.【示范解读】利用待定系数法确定出直线2)的条件下，请求出当|PM-AM|的最大值时点M的坐标，并直PA解析式，当点M与点P、A不在同一直线上时，根据三角形的三边关系|PM-AM|VPA,当点M与点P、A在同一直线上时，|PM-AM|=PA,当点M与点P、A在同一直线上时，|PM-AM|的值最大，即点M为直线PA与抛物线的交点，联立直线AP与抛物线解析式，求出当|PM-AM|的最大值时M坐标，确定出|PM-AM|的最大值即可.【题型特征】三

8、角形的三边关系-线段之差最大问题【解题策略】结合已知定长线段，利用三角形的三边关系，找出最大值时的特殊位置，线段之差最大问题.真题(组)示例7(2016泸州)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(1,0),在以D(4,4)为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足/B(1-a,0),C(1+a,0)(a>0),点PBPC=90°,则a的最大值是.真题(组)示例832.(2015研川乐山)如图3,已知直线y=4x-3与x(0,1)为圆心，1为半径的圆上一动点，连结PA、BO轴、y轴分别交于A、B两点，P是以CPB.则4PAB面积的最大值是(2016四川眉山)26.已知如图，在平面直角坐

9、标系OA=1,OB=3,OC=4,【知识源】圆外一点与圆心的连线上，该点和此直线与圆的近交点距离最短、远交点距离最长.【解题策略】1 .描述点的运动轨迹，找出特殊位置，化动为静；2 .综合题中已有条件，分析其中不变元素，恰当转化.真题（组）示例91.（2016江苏常州）如图6,在平面直角坐标系xOy中，一次函数y二x与二次函数y=x2+bx的图象相交于0、A两点，点A（3,3）,点M为抛物线的顶点.（1）求二次函数的表达式；（图6）（2）长度为26的线段PQ在线段0A（不包括端点）上滑动，分别过点P、Q作x轴的垂线交抛物线于点P1、Q1,求四边形PQQ1P1面积的最大值;【题型特征】利用二次函

10、数的性质求最值问题【解题策略】此类问题中，无法通过轴对称或画草图得出何时所求线段或面积的最值，可以通过设相应点的坐标，运用函数思想，建立函数模型，最终通过二次函数的最值原理求出相应的最值.1 .树立坐标意识，通过坐标表示相关线段长度；2 .运用函数思想，构建函数模型，通过二次函数的性质理求出相应的最值.三、专题总结几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量（如线段长度、角度大小、图形面积）等的最大值或最小值，求几何最值问题的基本方法有：1.特殊位置与极端位置法；2.几何定理（公理）法；3.数形结合法等.复习时既要注重对基本知识源的理解与建构，更要注重对相关知识源的综合与整

11、合。在解决本类题型时我们要学会动中觅静，即要分析总结图形中动点在运动过程中不变元素，探寻那些隐含的、在运动变化中的不变量或不变关系.通过不变关系建立相关模型实现最值的转化。四、命题预测1 .综合性逐渐增强，如多个知识源、知识点的相互整合渗透；2 .注重对基本技能和基本思维方法的考查，注重了初、高中知识的衔接;3 .最值问题逆”呈现，如在最值条件下求其他相关问题.五、巩固演练动点,则BM+MN的最小值为（2.如图2-1,已知点P是抛物线y1.如图1,在矩形ABCD中，AB=10,BC=5.若点M、N分别是线段ACAB上的两个1x2上的一个点，点D、E的坐标分别为（0,1）、（1,2）,连4结PD

12、、PE,求PD+PE的最小值.3 .在坐标系中，点A的坐标为(3,0),点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一点,且AC=2.设tan/BOC=m,则m而最小值是.4 .如图，。的半径为1,A,P,B,C是。上的四个点./APC=/CPB=60.判断ABC的形状：;试探究线段PA,PB,PC之间的数量关系，并证明你的结论;(3)当点P位于的什么位置时，四边亭APBC的面积最大？求出最大面积8)5 .如图6,在4ACE中，CA=CE,/CAE=30,。经过点C,且圆的直径AB在线段AE上.(1)试说明CE是。的切线；(2)若ACE中AE边上的高为h,试用含h的代数式表示。O的直径AB；(3)设点D是线段AC上任意一点(不含端点)，连接OD,当±CD+OD的最小值为6时,