《求曲线的方程》教学设计

1、求曲线的方程四川省成都石室中学蒋富扬一、教材分析1. 教材背景作为曲线内容学习的开始， “曲线与方程”这一小节思想性较强， 约需三课时， 第一课时介绍曲线与方程的概念；第二课时讲曲线方程的求法；第三课时侧重对所求方程的检验.主要内容有：解析几何与坐标法；求曲线方程的方法（直译法）、步骤及例题探求.2. 本课地位和作用承前启后，数形结合曲线和方程，既是直线与方程的自然延伸，又是圆锥曲线学习的必备，是后面平面曲线学习的理论基础，是解几中承上启下的关键章节.“曲线”与“方程”是点的轨迹的两种表现形式 . “曲线”是轨迹的几何形式， “方程”是轨迹的代数形式； 求曲线方程是用方程研究曲线的先导，是解析

2、几何所要解决的两大类问题的首要问题. 体现了坐标法的本质代数化处理几何问题，是数形结合的典范.后继性 、可探究性求曲线方程实质上就是求曲线上任意一点（x,y ）横纵坐标间的等量关系，但曲线轨迹常无法事先预知类型，通过多媒体演示可以生动展现运动变化特点，但如何获得曲线的方程呢？通过创设情景，激发学生兴趣，充分发挥其主体地位的作用，学习过程具有较强的探究性.同时， 本课内容又为后面的轨迹探求提供方法的准备，并且以后还会继续完善轨迹方程的求解方法.数学建模与示范性作用曲线的方程是解析几何的核心. 求曲线方程的过程类似于数学建模的过程，它贯穿于解析几何的始终，通过本课例题与变式，要总结规律，掌握方法，

3、为后面圆锥曲线等的轨迹探求提供示范.数学的文化价值解析几何的发明是变量数学的第一个里程碑，也是近代数学崛起的两大标志之一，是较为完整和典型的重大数学创新史例. 解析几何创始人特别是笛卡儿的事迹和精神对科学真理和方法的追求、 质疑的科学精神等都是富有启发性和激励性的教育材料. 可以根据学生实际情况，条件允许时指导学生课后收集相关资料，通过分析、整理，写出研究报告.3. 学情分析我所授课班级的学生数学基础比较好，思维活跃，在刚刚学习了“曲线的方程和方程的曲线”后， 学生对这种必须同时具备纯粹性和完备性的概念有了初步的认识， 对用代数方法研究几何问题的科学性、准确性和优越性等已有了初步了解，对具体（

4、平面）图形与方程间能否对应、怎样对应的学习已经有了自然的求知欲望 .二、目标分析1. 教学目标知识技能目标理解坐标法的作用及意义.掌握求曲线方程的一般方法和步骤，能根据所给条件，选择适当坐标系求曲线方程 .过程性目标通过学生积极参与，亲身经历曲线方程的获得过程，体验坐标法在处理几何问题中的优越性，渗透数形结合的数学思想.通过自主探索、合作交流，学生历经从“特殊一般特殊”的认知模式，完善认知结构.通过层层深入，培养学生发散思维的能力，深化对求曲线方程本质的理解.情感、态度与价值观目标通过合作学习，学生间、 师生间的相互交流，感受探索的乐趣与成功的喜悦，体会数学的理性与严谨，逐步养成质疑的科学精神

5、.展现人文数学精神，体现数学文化价值及其在在社会进步、人类文明发展中的重要作用.2. 教学重点和难点重点：求曲线方程的方法、步骤难点：几何条件的代数化依据：求曲线方程是解几研究的两大类问题之一，既是重点也是难点，是高考解答题取材的源泉. 主要包括两种类型求曲线的方程：一是已知曲线形状时常用待定系数法；二是动点轨迹方程探求，本课的重点主要是探索动点的曲线方程.曲线与方程是贯穿平面解几的知识，是解析几何的核心. 求曲线方程是几何问题得以代数研究的先决，求曲线方程的过程类似数学建模的过程，是课堂上必须突破的难点.三、教学方法及教材处理1. 教学方法：探究发现教学法.遵循以学生为主体，教师为主导，发展

6、为主旨的现代教育原则，以问题的提出、问题的解决为主线，始终在学生知识的“最近发展区”设置问题，通过学生主动探索、积极参与、共同交流与协作，在教师的引导和合作下，学生 “跳一跳”就能摘得果实，于问题的分析和解决中实现知识的建构和发展，通过不断探究、发现， 让学习过程成为心灵愉悦的主动认知过程，使师生的生命活力在课堂上得到充分的发挥.2. 学法指导学生学法 ： 互相讨论、探索发现由于学生在尝试问题解决的过程中常会在新旧知识联系、策略选择、思想方法运用等方面遇到一定的困难，需要教师指导.作为学生活动的组织者、引导者、 参与者，教师要帮助学生重温与问题解决有关的旧知， 给予学生思考的时间和表 达的机会

7、，共同对（解题）过程进行反思等，在师生（生生）互动中，给予学生 启发和鼓励，在心理上、认知上予以帮助.这样，在学法上确立的教法，能帮助学生更好地获得完整的认知结构， 使学 生思维、能力等得到和谐发展.3. 设计理念：求曲线方程就是将曲线上点的几何表示形式转化为代数表示形式。在这转化过程中，学生通过积极参与、勇于探索的学习方式，让学生的学习过程成为教师 指导下的再创造，这也正是建构主义理论的本质要求； 遵循学生认知规律，尊重 学生个体差异，立足教材，通过对例题的再创造，体现理论联系实际、循序渐进 和因材施教的教学原则，让不同层次的学生得到不同层度的发展；通过激发兴趣， 强调自主探索与合作交流，让

8、学生逐步地从学会走向会学，由被动走向主动，由 课堂走向社会，为学生的终身学习和终身发展奠定良好的基础， 也是当前新课程 所追求的基本理念.四、教学过程（教学设计）根据本课教学内容几何特性外化的特点，抓住形成轨迹的动点具备的几何条 件，运用坐标化的手段及等价转化与数形结合的思想方法， 突破难点，突出重点. 本课的教学设计思路是：创设情景一一从感性的轨迹（图形）认识，到解决生活上的实例，激发学生的 求知欲望，抓住学生迫切一试的认知心理，自然引入坐标法的意义及曲线方程的 求法.例题探求一一例题一体现知识的承前启后.通过例题一的呈现，学生借助已有 的知识经验，自主探求获得问题的求解，在教师的引导下，让

9、学生感受求曲线方 程的含义及求解步骤；例题二及变式解决建系难点，建系的开放性，对学生是一 种挑战，也是一种创造；两个例题由浅入深，循序渐进，体现因材施教.至此，学生已能初步了解求曲线方程的一般方法和步骤了 .创纳步骤一一学生亲身经历求曲线方程的过程， 让学生归纳（用自己的语言）、 表述求解的步骤，体现从“特殊一一一般”认知规律，逐步实现教学目标.变式练习一一通过对例题的变式，由学生求解、回答变式后的含义，深化对认 知结构的理解，初步体会数学的理性与严谨，逐步养成质疑与反思的习惯.反馈练习一一利用学生探索而发展来的认知水平，运用获得的知识解决情景创 设中的实际问题，一方面可以考察学生运用所学数学

10、知识解决实际问题的意识和 能力；另一方面是学生思维的自然顺应，自然释放，是“一般一一特殊”的过程. 全面完成教学目标.教学 划、节教学内容学生活动设计说明创（1）观看图片（2）问题引入：我国神州 号飞船五次升空，举世瞩思考：这些图片有什么相同点？（空间轨迹、平回轨迹）1 .形成轨迹感知2 .感受数学的设 情 景目.就连拥有最多、最先进 间谍卫星的美国也曾跟踪 丢了飞船的位置，这都是突 然改变飞船飞行轨迹的结 果.彳区若飞船在某一时间 内飞行轨迹上任意一点到 地球球心和地球表面 定点的距离之和近似等于 止值2a ,视地球为球体，半 径为R，你能写一个轨迹的 方程吗？兴趣浓厚肩求知欲望，有所思索

11、但/、知方程是什么（学 生可能想到需要建立坐 标系）价值3.形成认知冲 突，“引而不 发”，自然引入 课题”求曲线的 方程”笛卡 尔与 解几解析几何创始人特别是笛 卡儿的事迹和精神一一对 科学真理和方法的追求、质 疑精神等都是富有启发性 和激励性的教育材料.课后完成：结合阅读材 料，条件允许时指导学 生课后收集相关资料， 通过分析、整理，写出 研究报告体现数学的文 化价值例题探求例题一已知两点坐标为A（ 1, 1） , B（3,7）,求线段AB的垂直平分线的方程.1 .自主求解可能解法：用点斜式求 直线方程1y 32（x 1）即x 2y 7 02 .（在教师引导下）探 索动点满足的几何条 件，

12、进而讨论、探求曲 线方程3 .比较方法，得出启示. 口头表述：求曲线方程 需要的步骤1 .充分肯定学 生利用已有的 知识经验顺利 求解2 .将“待定系数 法”导向轨迹方 程求法，让学生 初步体验求曲 线方程的方法 与步骤3 .进行必要的 反思例题二点M到两条互相垂 直的直线的距离的积是常数k（k 0）,求点M的轨 迹方程艾式：已知直线l及点M , 定点M到直线l的距离等 于2,若动点P到定点M的 跑离等于到直线l的跑离，1 .相互讨论、合作交流， 让学生提出遇到的问题（无法代数处理，需要 先建系）难点：建系（学生直觉或结合计算 的繁简可以快速建系， 但理解/、会深刻）2 .学生分组讨论建系方

13、式，建立方程，相互比 较方程的简化程度，提 出对建系问题的理解和1.建系的开放 性是挑战也是 创造，比较繁 简，体会“适当” 坐标系的含义 2.通过解决变 式问题，促进协 作交流，了解常 见的建系策略， 真正突破建系 难点利用对称性求点P的轨迹方程看法利用已有的Hi白.1人系 为轴归 纳 步 骤求曲线方程的一般步骤：（优化）1 .建系设点2 .符合几何条件的点集（可省略）3 .建立方程4 .化简方程5 .证明一一不作要求（检验）1 .学生通过互相讨论， 归纳总结，以自己的语 言完善求曲线方程的一 般步骤2 .学生思考：证明可以 不作要求，那么如何保 证完备性呢？1 .通过“体验一理解归纳一一应

14、用”逐 步实现教学目标2 .检验过程和 结果.养成质疑与反思的习惯变式求解例一变式：已知两点坐标为A（ 1, 1）, B（3,7）.求以AB为底边的等腰 ABC的 顶点C的轨迹方程；对 A、B视角为直角的点的轨 迹方程；若A、B都在曲 线a2x2 by c 。上，探求点（b, a）的轨迹方程；（可课后讨论）已知点B（3,7）, 动点A在曲线a 2x2 by c 0 上，求 AB中点M轨迹方程.1.学生回答：中的轨 迹方程是否还是x 2y 7 0 ?（应去掉点（1, 3） 结论：需要对结果作适 当说明中的轨迹是什么？对变式、，你能获得哪些信息？能获得结 果吗？（回归本质 横纵坐标间的等量关系）（

15、利用问题的 变式、呈 现）“/、要求证 明”不是7、需 要证明”，要求 学生养成对曲 线方程检验的 意识 检验 过程、检验结果 褪去了点（b,a）的几何条件，为学生思维 的发散留有空 间的设计为 转移法作铺垫（让不同认 知水平的学生 都得到发展）反 馈练 习在引例中，若H船在某 一时间内飞行轨迹上任意 一点到地球球心和地球表 面上一证点的距离之和近 似等于2a,视地球为球体， 半径为R,试列出此时轨迹 所在的曲线方程（不用化简 方程）分组讨论自主探索，写出求解过程表述解答过程学生再从“一般特殊”，考 察学生运用所 学数学知识解 决实际问题的 意识和能力；是 学生思维的自 然顺应，自然释 放，形成首尾呼 应小求曲线方程的一一般步骤：理解求法、步骤，相互帮助学生形成结建系设点-建立方程一讨论，明确关键步骤是完整的认知结反一化简方程一-哪一步，时间允许可以构思作业发表看法五、说明或评价关于教学设想：以学生的“数学活动”为主线，以问题的解决为目的，让学生自 主探索（直译法）求曲线方程的思路，以积极的情感态度、用亲身体验与创造的方法来学习数学，获得广泛的数学活动经验，进而掌握曲线方