历年上海高考试题圆锥曲线

1、历年上海高考试题（圆锥曲线）班级学号姓名1.（01上海）若双曲线的一个顶点坐标为（3,0）,焦距为10,则它的标准方程为-xt21一m3al一口2. （02上海）曲线（t为参数）的焦点坐标是y2t13. （02上海）抛物线（y-1）2=4（x+1）的焦点坐标是24. （03上海春）直线yx1被抛物线y4x截得线段的中点坐标是.5. （03上海理）在极坐标系中，定点A（1,），点B在直线cossin0上运动，2当线段AB最短时，点B的极坐标是.6. （04上海春）过抛物线y2=4x的焦点F作垂直于x轴的直线，交抛物线于A、B两点，则以F为圆心、AB为直径的圆方程是7. （04上海）设抛物线白顶点

2、坐标为（2,0），准线方程为x=1，则它的焦点坐标为8. （04上海理）在极坐标系中，点M（4,鼻）到直线l:p（2cos0+sin掰g=4d=.229. （03上海）给出问题：Fi、F2是双曲线=1的焦点，点P在双曲线上.若点P到焦1620点Fi的距离等于9,求点P到焦点F2的距离.某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8,由|PFi|PF2|=8,即|9|PF2|=8,得|PF2|=1或17.该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面空格内，若不正确，将正确的结果填在下面空格内.10. （04上海）教材中坐标平面上的直线”与圆锥曲线”两章内容体现出解析几何的本质是.11. （05上

3、海文）若椭圆长轴长与短轴长之比为2,它的一个焦点是（215,0），则椭圆的标22准方程是匚1802012. （05上海理）若双曲线的渐近线方程为y3x,它的一个焦点是（而,0）,则双曲2线的方程是x2匕1。913. （06上海文）已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为（3,0），且焦距与虚轴长之比为5:4,则双曲线的标准方程是.14. （06上海理）已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（2«3,0）,且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是.15. （06上海理）在极坐标系中，O是极点，设点A（4,）,B（5,一旦），则4OAB36的面积是.16. （07上海春）在平面直角坐标系xO

4、y中，若抛物线y24x上的点P到该抛物线的焦点的距离为6,则点P的横坐标x.2217. （07上海文）以双曲线匕1的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的45抛物线方程是18. （06上海春）抛物线y2=4x的焦点坐标为（）A.（0,1）B.（1,0）C.（0,2）D.（2,0）219. （05上海）过抛物线y4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5,则这样的直线（B）A.有且仅有一条B.有且仅有两条C.有无穷多条D.不存在2.一.一x20.（01上海）设Fi、F2为椭圆一92丫一1的两个焦点,4P为椭圆上的一点.已知P、Fi、F2是一个直角三角形的三个顶点，且|

5、PF1|>|PF2|,求PFiPF2的值.22xy21. （02上海春）已知Fi、F2为双曲线看1（a>0,b>0）的焦点，过F2作垂直于x轴ab的直线交双曲线点P且/PFiF2=30°,求双曲线的渐近线方向22. (02上海)已知点A(J3,0)和B(J3,0),动点C到A、B两点的距离之差的绝对值为2,点C的轨迹与直线yx2交于D、E两点，求线段DE的长。22xy23. (03上海春)设Fi,F2分别为椭圆C:221(ab0)的左、右两个焦点.ab(1)若椭圆C上的点A(1,3)到Fi,F2两点的距离之和等于4,写出椭圆C的方程；2(2)设K是(1)中所得椭圆上

6、的动点，求线段F1K的中点的轨迹方程；(3)已知椭圆具有性质：若M,N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为Kpm,Kpn时，那么KpmKpn是22与点P位置无关的定值.试对双曲线三多1写出具有类似特性的性质，并加以证明.ab24. (03上海文)如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状.(1)若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱宽l是多少？(2)若最大拱高h不小于6米，则应如何设计拱高h和拱宽l,才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？(半个椭圆的面积公式为S-

7、lh,柱体体积为：底面积乘以高.本题结果精确到0.1米)25.(04上海春)已知倾斜角为45°的直线l过点A(1,2)和点B,B在第一象限,AB=32.(1)求点B的坐标;(4分)2(2)若直线l与双曲线C:xyy2=1(a>0)相交于E、F两点,且线段EF的中点坐标为a(4,(1) a的值;(6分)(3)对于平面上任一点P,当点Q在线段AB上运动时，称PQ的最小值为P与线段AB的距离.已知点P在x轴上运动，写出点p(t,0)到线段ab的距离h关于t的函数关系式.(8分)26. (04上海文)如图，直线y=lx与抛物线y=1x24交28于A、B两点，线段AB的垂直平分线与直线y

8、=5交于Q点.(1)求点Q的坐标；(2)当P为抛物线上位于线段AB下方(含A、B)的动点时，求AOPC®积的最大值.27. (05上海春)(1)求右焦点坐标是(2,0),且经过点(2,J2)的椭圆的标准方程；22(2)已知椭圆C的方程是41(ab0).设斜率为k的直线l,交椭圆C于abA、B两点，AB的中点为M.证明：当直线l平行移动时，动点M在一条过原点的定直线上;(3)利用(2)所揭示的椭圆几何性质，用作图方法找出下面给定椭圆的史心，简要写出作图步骤，并在图中标出椭圆的中心证明(2)解(3)解(1)28. (05上海文)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,A是抛物线

9、上横坐标为4、且位于x轴上方的点,A到抛物线准线的距离等于5,过A作AB垂直轴,垂足为B,OB的中点为M.(1)求抛物线方程；(2)过M作MNXFA,垂足为N,求点N的坐标；4(3)以M为圆心，MB为半径作圆M.当K(m,0)是x轴上一动点时，丫讨论直线AK与圆M的位置关系.22xV29. (05上海理)如图，点A、B分别是椭圆1长轴的左、右端点，点F是椭圆的3620右焦点.点P在椭圆上，且位于x轴的上方,PA±PF.(1)求点P的坐标；(2)设M椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于MB，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值.30. (06上海春)学校科技小组在计算机上模拟航天

10、器变轨返回试验，设计方案如图：航22天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为2=1,10025变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以V轴为对称轴、M(0,64)为顶点的抛物线的实线部分降落点为D(8,0).观测点A(4,0)、B(6,0)同时跟踪航天器.(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；(2)试问：当航天器在x轴上方时，观测点A、B测得离航天器的距离分别为多少时,应向航天器发出变轨指令？31. (06上海文)已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F(J3,0)，右顶，,一,1点为D(2,0)，设点A1,1.2(1)求该椭圆的标准方程；(2)若

11、P是椭圆上的动点，求线段PA中点M的轨迹方程；(3)过原点O的直线交椭圆于点B,C,求ABC面积的最大值。(06上海理)在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2=2x相交于A、B两点.(1)求证：如果直线l过点T(3,0),那么OAOB=3”是真命题；(2)写出(1)中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由.2x32.(07上海春)如图，在直角坐标系xOy中，设椭圆C:a2。1(ab0)的左右b2两个焦点分别为F1、F2.过右焦点F2且与x轴垂直的直线l圆C相交，其中一个交点为M22(1)求椭圆C的方程;(2)设椭圆C的一个顶点为B(0,b),直线y椭BF2交椭圆x于另一点N,

12、求F1BN的面积.2x33.(07上海又)我们把由半椭圆a2yb2(x>0)与半椭圆2yb22x2c(x<0)合成的曲线称作果圆”，其中a2b2_2c,0,b如图，设点F0,F1,F2是相应椭圆的焦点，A,轴的交点，M是线段A1A2的中点.(1)若45052是边长为1的等边三角形，求该果圆”的方程;22(2)设P是果圆”的半椭圆斗、51bc(x<0)上任意一点.求证：当PM取得最小值时,P在点B1,B2或A1处;(3)若P是果圆”上任意一点，求PM取得最小值时点P的横坐标.参考答案解(1)设F2(c,0)(c>0),P(c,y0),则在直角三角形PF2F1中，/PFiF

13、2=30解法一：1F1F2=61PF,"n-21二口二号h1吗,将c2=a2+b2代入，解得b2=2a2.解法二：|PF=2P2F,由双曲线定义可知IPF-PF=2a得1PF=2a.：口.置第1位职工的奖金2尸*第2位职工的奖金%=匕1-1地第3位职工的箕金(JinJn?ibk位职工的奖金为二:-3卜%解设点C(x,y),则|CA|CB|2根据双曲线的定义，可知点C的轨迹是双曲线22L匕1a2b2由2a2,2c|AB|2m'3,得a21,b22即A(4,2),B(8,4),从而AB的中点为M(2,1).由kAB=一,直线AB的垂直平分线方程y1=(x2).22令y=-5,得x

14、=5,.Q(5,5)(2)直线OQ的方程为x+y=0,设P(x,1x2-4).8点P到直线OQ的距离d=x1x2488x32一_U1一.52OQ5<2,Saopq=OQd=x2168x32.'P为抛物线上位于线段AB下方的点，且P不在直线OQ上,一4Wx<43-4或4"/3一4<x&8.函数y=x2+8x32在区间4,8上单调递增当x=8时，AOPQ勺面积取到最大值30.22解（1）设椭圆的标准方程为今，1,ab0,ab22a2b24,即椭圆的方程为一彳1,b24b242点（2,m2）在椭圆上，万一二1,b24b2.2.2解得b4或b2（舍），22由

15、此得a28,即椭圆的标准方程为二匕1.84（2）设直线l的方程为ykxm,与椭圆C的交点A（x1，必）、B（x2,丫2）,ykxm则有x2y2,r1ab222222222解得（bak）x2akmxamab0,0,m2b2a2k2,即b2a2k2,2m.b2.2ak2akm为x222,y1bakykxmkx2m2b2m22272'，bakAB中点M的坐标为a2km222,bak2一bm22-2bak11分线段AB的中点M在过原点的直线0上.13分(3)如图，作两条平行直线分别交椭圆于AB、CD的中点M、N,连接直线MN;又作两条平行直线(与色前两条直线不平行)分别交椭圆于A1、B/口C1

16、、D1,并分别取A1B1、C1D1的中点Mi、Ni,么直线MN和M1N1的交点O即为椭圆中A、B和C、D,并分别取”8连接直线MiNi,那心.18分解(1)由已知可得点A(-6,0),F(0,4)设点P(x,y),则AP=x+6,y,FP=x4,y,由已知可得22x匕13620(x+6)(x4)+y2=093贝U2x2+9x18=0,x=或2x=-6.由于y>0,只能x=°，于25.3y=-2-.点p的坐标是(3,5上3)22(2)直线AP的方程是x-<3y+6=0.m6设点M(m,0),则M到直线AP的距离是m6-=m6,又6wm<解得m=2.椭圆上的点(x,y)

17、到点M的距离d有d2=(x2)2+y2=x4x2+4+20x2=(x)2+15,992，一9一，由于-6Wm<6,，当x=时,d取得取小值052解(1)抛物线y2=2px的准线为x=-R,于是4+=5,.p=2.22.抛物线方程为y2=4x.(2)二点A是坐标是(4,4),由题意得B(0,4),M(0,2),又F(1,0),kFA=4;MN±FA,kMN=-3,34则FA的方程为y=(x-1),MN的方程为y-2=-°x,解方程组得x=,y=,3455N的坐标(,).55(1)由题意得一圆M.的圆心是点(0,2),半径为2,当m=4时，直线AK的方程为x=4，此时，直

18、线AK与圆M相离.当mM时，直线AK的方程为y=-(x-m),即为4x-(4-m)y-4m=0,4m、2m8圆心M(0,2)到直线AK的距离d=，令d>2,解得m>1,16(m4)232. 当m>1时，AK与圆M相离；当m=1时，AK与圆M相切；当m<1时，AK与圆M相交.解(1)设曲线方程为y=ax2+,由题意可知，0=a?64+学，'a=-；曲线方程为y=-1x2+64.77(2)设变轨点为C(x,y),根据题意可知10y=-1x2+6477(2)得4y2-7y-36=0,y=4或y=-2(不合题意，舍去)y=49分4得x=6或x=-6(不合题意，舍去).C

19、点的坐标为(6,4),11分AC2<5,BC4,答：当观测点A、B测彳导AC、BC距离分别为2J5、4时，应向航天器发出变轨指14分1)设过点T(3,0)的直线l交抛物线y2=2x于点A(xi,yi)、B(x2,y2).当直线l的钟率不存在时，直线l的方程为x=3,此日，直线l与抛物线相交于点A(3,而卜B(3,-V6).OAOB=3;当直线l的钟率存在时，设直线l的方程为yk(x3),其中k0,y22x由得ky22y6k0y1y26yk(x3)p1212又x11y1,x22y2,1 2OA-OBxX2丫也©42)丫区3,综上所述，命题如果直线l过点T(3,0),那么OAOB=

20、3”是真命题；(2)逆命题是：设直线l交抛物线y2=2x于A、B两点，如果OAOB=3,那么该直线过点T(3,0).该命题是假命题.例如：取抛物线上的点A(2,2),B(；1),此时OA-OB=3,2直线AB的方程为：y2(x1),而T(3,0)不在直线AB上；3说明：由抛物线y2=2x上的点A(x1,y1)、B(x2,y2)满足OAOB=3,可得y1y2=6,或y1y2=2,如果y1y2=6,可证得直线AB过点(3,0);如果y1y2=2,可证11得直线b=1.y21AB过点(一1,0),而不过点(3,0).解(1)由已知得椭圆的半长轴a=2,半焦距c=v'3，则半短轴2x又椭圆的焦

21、点在x轴上，椭圆的标准方程为一4(2)设线段PA的中点为x=M(x,y)，点P的坐标是(xo,yo),Xo12x-1、y=1v。22一y0=12y一22由，点P在椭圆上，得(2x"4(2y2)21,.线段PA中点M的轨迹方程是(X2)24(y4)21.(3)当直线BC垂直于x轴时,BC=2,因此ABC的面积Smbc=1.y212当直线BC不垂直于x轴时，说该直线方程为y=kx,代入上4解得B(2k则BC4k214k221),C(一74F2k.4k21)，4里工，又点,14k2A到直线BC的距离d=.12k22k114k2._1.ABC的面积SaABC=-ABd224k24k14k2112m4k由4k21>i,得S"bcwJ2淇中，当k=-1时，等号成立.2Saabc的最大值是J2.解法一lx轴，F2的坐标为42,0.由题意可知2a2a1b2,得b22,a24,b22.22所求椭圆方程为工1.6分42解法二由椭圆定义可知MFi|MF2I2a.由题意|MF2|1,MFi2a