计算机图像处理 第08章 数学形态学及其应用

1、home第第9章章 数学形态学及其应用数学形态学及其应用内容提要内容提要:n 9.1 概述概述n 9.1.1 数学形态学的发展简史及基本思想数学形态学的发展简史及基本思想n 9.1.2 几个基本概念几个基本概念n 9.2 二值形态学二值形态学n 9.2.1 二值腐蚀二值腐蚀n 9.2.2 二值膨胀二值膨胀n 9.2.3 二值开运算二值开运算n 9.2.4 二值闭运算二值闭运算homen9.3 灰值形态学灰值形态学n9.3.19.3.4 灰度腐蚀、膨胀、开运算、闭运算灰度腐蚀、膨胀、开运算、闭运算n9.3.5 灰值形态学梯度灰值形态学梯度n9.3.6 高帽变换和低帽变换高帽变换和低帽变换n9.3

2、.7 开闭运算和闭开运算开闭运算和闭开运算n9.4 彩色形态学（选学）彩色形态学（选学）n9.4.1 彩色形态学的基本方法彩色形态学的基本方法n9.4.2 基于数学形态学的彩色图像滤波基于数学形态学的彩色图像滤波home9.1 概述概述u 9.1.1 9.1.1 数学形态学的发展简史及基本思想数学形态学的发展简史及基本思想u可回溯到可回溯到19世纪世纪Euler、20世纪世纪Minkowski等人的研究。等人的研究。u1964年法国的年法国的Matheron和和Serra在积分几何的研究成果在积分几何的研究成果上，将数学形态学引入图像处理领域，并研制了基于数上，将数学形态学引入图像处理领域，并

3、研制了基于数学形态学的图像处理系统。学形态学的图像处理系统。u1968年在巴黎矿业学院创建了数学形态学研究中心。年在巴黎矿业学院创建了数学形态学研究中心。uMatheron于于1975年出版的年出版的Random Sets and Integral Geometry一书论述了随机集合论、积分几何论和拓扑一书论述了随机集合论、积分几何论和拓扑逻辑论，为数学形态学奠定了坚实的理论基础。逻辑论，为数学形态学奠定了坚实的理论基础。homeu1982年年Serra的专著的专著Image Analysis and Mathematical Morphology是数学形态学发展的重要里程碑。是数学形态学发展

4、的重要里程碑。u1985年以后，一些相关领域的国际会议开始把数学形态学年以后，一些相关领域的国际会议开始把数学形态学列为学术讨论专题，或专门举行研讨会。列为学术讨论专题，或专门举行研讨会。u1990年起，年起，SPIE每年举办一次每年举办一次“Image Algebra and Morphological Image Processing”会议。会议。u1986年年计算机视觉与图形图像处理杂志计算机视觉与图形图像处理杂志(GVGIP)出版出版了数学形态学专刊了数学形态学专刊u1989年和年和1994年年 Journal of Signal Processing出版了出版了形态学在信号处理中的应

5、用研究专辑。形态学在信号处理中的应用研究专辑。home数学形态学是研究空间结构的形状、框架的学科数学形态学是研究空间结构的形状、框架的学科 以积分几何、集合代数及拓扑论为理论基础，此外还涉及随机集论、近世代数和图论等一系列数学分支。 数学形态学的理论虽然很复杂，被称为“惊人的数学”，但它的基本思想却是简单而完美的。 数学形态学的基于集合的观点是极其重要的。home数学形态学的基于集合的观点 （1）运算由集合运算（如并、交、补等）来定义； （2）所有的图像都必须以合理的方式转换为集合。 形态学算子的性能主要以几何方式进行刻画，更适合视觉信息的处理和分析。 基本思想：基本思想：利用结构元素作为利用

6、结构元素作为“探针探针”在图像中不断移动，在此在图像中不断移动，在此过程中收集图像的信息、分析图像各部分间的相互关过程中收集图像的信息、分析图像各部分间的相互关系，从而了解图像的结构特征。系，从而了解图像的结构特征。 home图图9.1 9.1 数学形态学的方法数学形态学的方法移位、交、并等集合运算移位、交、并等集合运算输出图像输出图像输入图像输入图像结构元素结构元素 home结构元素的选择十分重要 根据探测研究图像的不同结构特点，结构元素可携带形态、大小、灰度、色度等信息。 不同点的集合形成具有不同性质的结构元素。由于不同的结构元素可以用来检测图像不同侧面的特征，因此设计符合人的视觉特性的结

7、构元素是分析图像的重要步骤。 最基本的形态学运算有：最基本的形态学运算有：膨胀,腐蚀，开，闭。 用这些算子及其组合来进行图像形状和结构的分析及处理，可以解决抑制噪声、特征提取、边缘检测、形状识别、纹理分析、图像恢复与重建等方面的问题。home数学形态学进行图像处理有其独有的特性： （1）反映的是一幅图像中像素点间的逻辑关系，而不是简单的数值关系。 （2）是一种非线性的图像处理方法，并且具有不可逆性。 （3）可以并行实现。 （4）可以用来描述和定义图像的各种集合参数和特征。home9.1.2 几个基本概念几个基本概念1.击中与击不中击中与击不中设有两幅图像A和B，如果AB（空集），那么称B击中（

8、hit）A，记为BA，；否则，如果AB=，称B击不中（miss）A。2.平移和反射平移和反射设A是一幅数字图像，a是A的元素；b是一个点，那么定义A被b平移后的结果为 Abab| aA （9.1）即整个图像沿着向量b的方向平行移动。一幅数字图像A关于原点的反射定义为 AVa| -aA （9.2）home 3. 结构元素结构元素 结构元素与被处理的目标图像中抽取何种信息密切相关。 在考察目标图像各部分之间的关系时，需要设计一种“结构元素”。在图像中不断移动结构元素，就可以考察图像之间各部分的关系。 根据不同的图像分析目的，常用的结构元素有方形、扁平形、圆形等。 在多尺度形态学分析中，结构元素的大

9、小可以变化，但结构元素的尺寸一般地要明显小于目标图像的尺寸。 home二值图像分析的基本概念 1. 连接 2. 连通域 3. 内部点与边界点 4. 连接数与交叉数 5. 链码 6. 欧拉数 为讨论方便，这里，假设目标为黑色，背景为白色。home连接 四连接：当前像素为黑，其四个近邻像素中至少有一个为黑； 八连接：当前像素为黑，其八个近邻像素中至少有一个为黑；home连通域 将相互连接在一起的黑色像素的集合称为一个连通域。 可以看到，通过统计连通域的个数，即可获得提取的目标物的个数。home内部点与边界点边界点：在每个连通域中，与背景相邻接的点。内部点：在每个连通域中，与背景不相邻接的点。注意：

10、在不同的连接定义下，内部点与边界点的集合有可能不同。home连接数 连接数：指沿着当前点的近邻像素所构成的边界轨迹上移动时，通过的像素值为1的点的个数。 四近邻定义下的连接数为： N(4)=sum(f(k)-f(k)*f(k+1)*f(k+2) 八近邻定义下的连接数为 N(8)=sum(g(k)-g(k)*g(k+1)*g(k+2) 其中，k=1,3,5,7,g=1-f,f(9)=f(1)home 连接数计算例题home 连接数与像素点的属性关系： 连接数 像素点属性 0 孤立点或内部点 1 端点或边界点 2 连接点 3 分支点 4 交叉点home交叉数 交叉数：表征当前点像素的八个近邻像素中

11、，从像素值为1的点到像素值为0的点的变化次数。 交叉数计算公式： N=sum(f(k)*(1-f(k+1) 其中，k=1,8，f(9)=f(1)home链码 链码：对线宽为一个像素的细线的轨迹进行描述的编码。链码方法是对其坐标序列进行方向编码的方法。home 链码计算例题home欧拉数 欧拉数是用以表征连通域属性的值。 定义：二值图像中连通域的个数减去孔的个数。 特性：具有平移、旋转和比例不变性的拓扑特征home二值图像几何特征的测量 面积 周长 质心 圆形度 矩形度 长宽比 距离home二值图像面积测量 二值图像中，面积是对二值化处理之后的连通域的大小进行度量的几何特征量。 面积定义：连通域

12、中像素的总数。 面积的计算公式:home 二值图像面积计算例题 面积=11home二值图像周长测量 周长：指包围某个连通域的边界轮廓线的长度。 周长的计算公式如下：home二值图像质心测量 图像质心：图像的几何中心 图像质心的计算公式定义如下：home圆形度和矩形度 圆形度和矩形度：与圆或矩形相似的程度。 计算公式：home长宽比 长宽比：将细长目标与近似矩形或圆形目标进行区分时采用的形状度量。 长宽比的计算公式：home距离 对于集合S中的两个元素p和q，当函数D(p,q)满足下式的条件时，把D(p,q)叫做p和q的距离，也称为距离函数home 计算点(i,j)和(h,k)间距离常用的方法有

13、：home9.2 9.2 二值形态学二值形态学 二值图像是数字图像的重要子集，指灰度值只取两种值的图像。 两个灰度值可取为0（相应的点构成背景）和1（相应的点构成景物）。 二值形态学处理算法都是以膨胀,腐蚀这两种最基本的运算为基础的。 一般设集合A为图像集合，集合B为结构元素，数学形态学运算是用B对A进行操作。home9.2.1 9.2.1 二值腐蚀二值腐蚀集合A（输入图像）被集合B（结构元素）腐蚀: A B (9.3) AxBx:dd/8d/8dd/4d/4A AB B A AB Bd图9.2 腐蚀示意图home腐蚀 腐蚀是一种消除连通域的边界点，使边界向内收缩的处理。 例：home 设计思

14、想：设计一个结构元素，结构元素的原点定位在待处理的目标像素上，通过判断是否覆盖，来确定是否该点被腐蚀掉。home 腐蚀例题home 算法步骤： 1. 扫描原图，找到第一个像素值为1的目标点； 2. 将预先设定好形状以及原点位置的结构元素的原点移到该点； 3. 判断该结构元素所覆盖的像素值是否全部为1： home 如果是，则腐蚀后图像中的相同位置上的像素值为1； 如果不是，则腐蚀后图像中的相同位置上的像素值为0； 4. 重复2，3，直到所有原图中像素处理完成。home 腐蚀例题home 图像的腐蚀效果home 腐蚀在获取边界中的应用home 腐蚀的应用： 腐蚀处理可以将粘连在一起的不同目标物分离

15、，并可以将小的颗粒噪声去除。home9.2.2 二值膨胀二值膨胀 腐蚀运算的对偶运算，通过对补集的腐蚀来定义。 以AC表示集合A的补集， 表示B关于坐标原点的反射。 集合集合A被集合被集合B膨胀膨胀表示为： Bhome图9.3 膨胀示意图home膨胀 膨胀是将目标区域的背景点合并到该目标物中，使目标物边界向外部扩张的处理。 例：home 设计思想：设计一个结构元素，结构元素的原点定位在背景像素上，通过判断是否覆盖有目标点，来确定是否该点被膨胀为目标点。home 算法步骤 1. 扫描原图，找到第一个像素值为0的目标点； 2. 将预先设定好形状以及原点位置的结构元素的原点移到该点； 3. 判断该结

16、构元素所覆盖的像素值是否存在为1的目标点：home 如果是，则膨胀后图像中的相同位置上的像素值为1； 如果不是，则膨胀后图像中的相同位置上的像素值为0； 4. 重复2，3，直到所有原图中像素处理完成。home 膨胀例题home膨胀的等价解法：若干个平移图像的并集膨胀的等价解法：若干个平移图像的并集home 图像的膨胀效果home 膨胀的应用： 膨胀处理可以将断裂开的目标物进行合并，便于对其整体的提取。home腐蚀和膨胀操作的直观解释腐蚀和膨胀操作的直观解释 腐蚀是对图像内部作滤波处理，而膨胀是利用结构元素对图像补集进行填充，因而它是对图像外部作滤波处理。腐蚀具有收缩图像的作用，膨胀具有扩大图像

17、的作用。home开运算和闭运算的提出背景 膨胀与腐蚀运算，对目标物的后处理有着非常好的作用。但是，腐蚀和膨胀运算的一个缺点是，改变了原目标物的大小。 为解决这一问题，考虑到腐蚀与膨胀是一对逆运算，将腐蚀与膨胀运算同时进行。由此便构成了开运算与闭运算。home9.2.3 二值开运算二值开运算 两种二次运算起着非常重要的作用开运算闭运算（开运算的对偶运算） 。 从结构元素填充的角度看，它们具有更为直观的几何形式。home开运算的定义 假设A仍为输入图像，B为结构元素，利用B对A作开运算，用符号AB表示，其定义为： 或p可以通过计算所有可以填入图像内部的结构元素平移的并集求得。p当结构元素B扫过整个

18、图像集合内部，AB就是使结构元素B的任何像素不越出图像A边界的图像A像素点的集合。home图图9.4 9.4 利用圆盘作开运算利用圆盘作开运算 BBABAABABAOBhome 开运算运算示例homehome9.2.4 二值闭运算二值闭运算n 闭运算是开运算的对偶运算，定义为先作膨胀后作腐蚀。n 或u开、闭运算也互为对偶运算u开运算具有磨光图像外边界的作用u闭运算具有磨光图像内边界的作用home图图9.5 9.5 利用圆盘作闭运算利用圆盘作闭运算home 闭运算运算示例homehome开、闭运算的变形 如何按照常规的开运算不能分离粘连，或者是闭运算不能合并断裂； 对于开运算可以先进行N次腐蚀，

19、再进行N次膨胀； 对于闭运算可以先进行N次膨胀，再进行N次腐蚀；home 变形闭运算的示例home基于形态学的二值图像处理 1.边界提取 2. 孔洞填充 3. 细化 4. 粗化 5. 骨架化homehome 2. 孔洞填充home 示例home 孔洞填充home 孔洞填充例题home 3. 细化细化：把一个具有一定面积的区域用一条（或一组）曲线（或细线）来代表它。 细化是图像分析、信息压缩、特征识别常用的技术。 细化使图像的每一条纹都变成单像素宽的“点线”，且细化后的文线近似处于原图的“中轴”。 不能破坏原图像的连通性home细化算法思想： 1）做腐蚀操作，但不立刻将像素置0（即删除像素），只

20、打标记 2）将不破坏连通性的标记点置0（删掉） 3）重复执行，将产生细化结果home 细化算法：借助结构元组对区域进行细化，各结构元之间存在一定的对应关系，常用的8方向对称结构元如下home 细化home 细化例题home细化应用举例homehome4.粗化：在不合并目标物的前提下，粗化图像算法思想： 1）做膨胀操作，但不立刻添加像素，只打标记 2）将不产生对象合并的标记点添加进来 3）重复执行，将产生粗化结果另一方案：将图像求反，执行细化，结果再求反。home 5.骨架化home 示例homehome9.3 灰值形态学灰值形态学 在灰度图像形态处理中，输入和输出的图像都是灰度级形式的 输入和

21、输出像素值是在最低灰度值到最高灰度值之间。home9.3.1 灰值腐蚀灰值腐蚀 形态学源于填充的概念灰值形态学处理的对象是图像信号波形的拓扑特性，结构元素也是一个信号。 二值形态学中，集合的交、并运算起到关键作用在灰值形态学中这两种运算对应与极大和极小运算。 可利用填充、极大/极小概念直接定义灰值运算。home 用结构元素g对输入图像f (x, y)进行灰值腐蚀记为 l用一维函数对其进行简化，定义为l由于结构元素必须在信号的下方，故空间平移结构元素的定义域必为信号定义域的子集，否则腐蚀在该点没有定义。l结构元素从信号的下面对信号产生滤波作用，这与结构元素从内部对二值图像滤波的情况是相似的。 h

22、ome图9.6 灰值腐蚀运算01234567123yx123y0123-1-2xb(a)(b)Ofs(c)Ofs(d)ssf b)( )(xsbsf-)( )(xsbsf -home9.3.2 灰值膨胀灰值膨胀 灰值膨胀可用灰值腐蚀的对偶运算来定义。 采用求极大值的方法，即在位于信号下方的条件下，求上推结构所能达到的最大值。 利用结构元素的反射，求将信号限制在结构元素的定义域内时，上推结构元素使其超过信号时的最小值来定义。 home用结构元素g对输入图像f(x, y)进行灰值膨胀 (f g)(s, t)=maxf(s-x, t-y)+g(x, y)|s-x, t-y Df, x+yDg 用一维

23、函数对其进行简化，定义为 (f g)(s)=maxf(s-x)+g(x)| s-x Df, xDg 步骤：步骤：对结构元素g的定义域Dg 中的每一个点x将信号f平移x，然后，再对每次平移信号的值加上g(x)，这样对于结构元素定义域中的每个点都得到一个信号，对所有这些信号逐点取其最大值，便可得到膨胀结果。home图9.7 灰值膨胀运算 (a)灰值膨胀过程 (b)灰值膨胀结果Ofs(a)Os(b)ss)( )(xsbsf)( )(xsbsf )(sf)(sf bf fhome9.3.3 灰值开运算灰值开运算 灰值开和灰值闭运算是腐蚀和膨胀的组合运算。 先作腐蚀再作膨胀的迭代运算： 这两种运算也为对偶运算，并且都可用填充概念来说明。 home图图9.8 9.8 灰值开运算灰值开运算 home9.3.4 灰值闭运算灰值闭运算 根据对偶性定义，灰值闭运算定义为： fg = (f g)g (9.14) 灰值闭运算具有扩展性 滤波结果总位于原始图像的上方。它从图像的上方磨光图像灰值表面向下突出的尖峰（即波谷）。