2012年高考理科数学(新课标)试题分析

1、2012年高考理科数学（新课标）试题分析优学教育教研部高中数学教研组2012年6月15日I.总体评价2012年普通高考数学课标卷遵循课程标准版考试大纲和考试说明的各项要求，试题科学、规范。试题突破以往风格，在结构和难度上均有较大变化，主干知识在选择题中顺序改变，比重增大，难度增加。2012年课标卷对于应用问题的考查更加贴近现实、贴近考生的实际。试卷在选修模块的考查更加突出定义理解，对新增内容的考查进行了进一步的探索，课程改革试卷形式趋于稳固。一、 注重全面考查 2012年课标卷中各种知识点题型起点较高、较综合、不易入手，多数试题源于教材，但考查较深入，强调对基本知识、基本技能和基本方法的考查，

2、又注重考查知识间的紧密联系，第（1）、（2）、（5）、（7）、（9）、（13）、（14）题分别对集合、排列组合、等比数列、三视图、三角函数、平面向量、线性规划等基本概念和基本运算进行了考查。试卷注重考查通性通法，有效检测考生对数学知识所蕴涵的数学思想和方法的掌握情况，第（3）题考查命题，而内容是复数的计算；第（4）、（8）题考查圆锥曲线的性质，注重联系平面几何与平面坐标系的转化；第（6）、（15）题分别考查了新课改中增加的程序框图、正态分布，更加强调对新知识定义的理解，更加的贴近实际操作；第（10）、（12）题考查了函数的性质和反函数，研究函数图象在解题中的巧妙作用；第（16）题考查了数列的性

3、质和求和。解答题中第一题较以往不同的是考查了解斜三角形，第二题考查概率同时涉及分段函数的解析式，立体几何、解析几何、函数与导数的考查较以往变化不大。二、 强化思想方法 2012年课标卷中试卷突出考查数学本质和考生基本的数学素养，注重对数学思想方法的考查，如第（4）、（7）、（8）、（9）、（10）、(11)、（12）、（14）、（19）题考查了数形结合的思想；第（10）、（12）、（18）、（20）、（21）、（24）题考查了函数与方程的思想；第（12）、（16）、（20）、（21）、（23）题考查了转化与化归的思想；第（10）、（16）、（18）、（21）、（24）题考查了分类讨论与整合的思

4、想。三、 重视知识联系2012年课标卷在知识的交汇处设计试题，考查知识点之间的内在联系，如第（3）题在考查命题时同时考查了复数的概念和代数运算；第（18）题在考察概率分布列知识时，先出现了分段函数的考查；第（21）题将函数、导数、方程和不等式融为一体。四、 突出能力立意 2012年课标卷突出能力立意，综合考查考生的各种能力，如第（2）、（5）、（18）、（20）、（21）题考查了运算求解能力；第（7）、（11）、（19）题考查了空间想象能力；第（6）、（19）题考查了推理论证能力；第（18）题考查了数据处理能力；第（6）、（12）、（15）题考查了创新应用能力。五、 重视应用意识2012年课标

5、卷重视考查考生的应用意识和建模能力，如第（15）、（18）题设计巧妙，贴近生活实际，深入考查概率分布的基本思想，有效考查了考生的应用意识。II试题知识点分布及难易程度题型题号分值考查知识点难易程度选择题（60分）15分集合及元素运算中等25分排列组合较易35分命题与复数较易45分椭圆及其性质中等55分等比数列较易65分程序框图较难75分三视图、空间几何体体积中等85分双曲线、抛物线的性质中等95分三角函数的单调性中等105分复合函数图象较难115分球与空间几何体较难125分指数函数与对数函数较难填空题（20分）135分平面向量较易145分线性规划较易155分正态分布中等165分数列求和较难解答

6、题（60分）1712分解斜三角形较易1812分分段函数、概率及分布列中等1912分立体几何线线垂直、二面角较易2012分抛物线方程及其与直线位置关系较难2112分函数与导数较难选做题（10分）2210分选修41：几何选讲注：任选一题作答较易2310分选修4:4：坐标系与参数方程较难2410分选修45：不等式选讲中等III未考查知识点2012年课标卷未考查大纲要求重要知识点有二项式定理、定积分、相关系数与线性回归方程、几何概型。IV.试题分析一、选择题：（1）已知集合；,则中所含元素的个数为（ ） 【考查目标】 本题考查集合的概念和集合中元素个数的求法。【解题思路】，共10个。【答案】【试题评价

7、】 试题考查了集合概念的理解，集合元素个数的求法，体现了考试大纲对于此方面知识的要求。（2）将名教师，名学生分成个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由名教师和名学生组成，不同的安排方案共有（ ）种 种 种 种【考查目标】 本题考查了计数原理中排列组合。【解题思路】甲地由名教师和名学生：种【答案】A【试题评价】 试题以生活实例为素材，体现了数学的应用性，要求考生理解掌握技术原理方法，应用所学知识解决实际问题。（3）下面是关于复数的四个命题：其中的真命题为（ ） 的共轭复数为 的虚部为 【考查目标】 此题考查复数的基本概念和复数代数形式的运算。【解题思路】 ，的共轭复数为，的虚部

8、为【答案】C【试题评价】 试题通过对复数代数形式的运算，检测考生对复数及其模长、共轭复数的理解和掌握程度。（4）设是椭圆的左、右焦点，为直线上一点， 是底角为的等腰三角形，则的离心率为（ ） 【考查目标】本题主要考查椭圆的性质及数形结合思想。【解题思路】是底角为的等腰三角形，=，=，故选C.【答案】C【试题评价】 试题考查了椭圆的定义及其性质，通过几何关系建立代数关系，是典型的数形结合问题，充分体现了考试大纲中对于椭圆内容的要求。（5）已知为等比数列，则（ ） 【考查目标】 此题考查等比数列的性质及运算。【解题思路】 ，或【答案】【试题评价】 试题较简单，反映了课程标准对考生注重运用数列内容性

9、质的要求。（6）如果执行右边的程序框图，输入正整数和实数，输出，则（ ）为的和为的算术平均数和分别是中最大的数和最小的数和分别是中最小的数和最大的数【考查目标】 本题主要考查框图表示算法的意义。【解题思路】 由框图知其表示的算法是找N个数中的最大值和最小值，和分别为，中的最大数和最小数，故选C.【答案】C【试题评价】 此题是新课改中的新内容，更加注重考查考生对计算机程序语言的理解掌握，要求考生理解算法思想并能在实践中自觉应用，是新课改创新应用的反映。（7）如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ） 【考查目标】 本题主要考查简单几何体的三视图及体积计

10、算，考查考生的空间想象能力。【解题思路】 由三视图知，其对应几何体为三棱锥，其底面为一边长为6，这边上高为3，棱锥的高为3，故其体积为=9，故选B.【答案】B【试题评价】 试题的设计注重考查考生空间想象能力，是新课程教学中培养学生多样化学习能力的体现。 （8）等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于两点，；则的实轴长为（ ） 【考查目标】 本题主要考查抛物线的准线、直线与双曲线的位置关系。【解题思路】 由题设知抛物线的准线为：，设等轴双曲线方程为：，将代入等轴双曲线方程解得=，=，=，解得=2，的实轴长为4，故选C.【答案】C【试题评价】 试题突出了对双曲线基本知识和抛物线性质的

11、考查，准确把握了考试说明对双曲线和抛物线内容的不同能力要求。（9）已知，函数在上单调递减。则的取值范围是（ ） 【考查目标】 此题考查三角函数的图像及其性质，要求考生理解三角函数图像的伸缩、平移等变化。【解题思路】 不合题意 排除 合题意 排除另：， 得：【答案】A【试题评价】 试题比教材所讲三角函数知识复杂，对知识的考查侧重于理解和应用。（10） 已知函数；则的图像大致为（ ）【考查目标】 本题考查函数的图像，涉及定义域、最值、单调性，也间接考查了导数在求单调性和最值得应用。【解题思路】 得：或均有 排除【答案】B【试题评价】 试题通过对函数单调性和最值的考查，反映考生对求导方法的理解和灵活

12、应用程度。 （11）已知三棱锥的所有顶点都在球的求面上，是边长为的正三角形，为球的直径，且；则此棱锥的体积为（ ） 【考查目标】 本题考查锥体及其外接球的结构特征，考查空间几何体中的计算能力技巧，考查考生空间想象能力。【解题思路】的外接圆的半径，点到面的距离 为球的直径点到面的距离为 此棱锥的体积为 另：排除【答案】A【试题评价】 试题设计较难，要求考生不仅要有良好的空间想象能力，也要掌握灵巧的相关计算能力。 （12）设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为（ ） 【考查目标】本题考查指数函数与对数函数图像的位置关系，考查平面坐标系中的运算能力。【解题思路】函数与函数互为反函数，图象关于对称 函数

13、上的点到直线的距离为 设函数 由图象关于对称得：最小值为【答案】B【试题评价】 试题区别一般函数的最值问题，不直接通过两函数做差构造新函数再求解，而是先观察到两函数间是互为反函数的关系，然后通过图像几何关系解答，这要求考生具备敏锐的审题能力，随时灵活运用转化的数学思想解题。二填空题：（13）已知向量夹角为 ，且；则【考查目标】 本题主要考查平面向量的数量积及其运算法则。【解题思路】|=，平方得，即，解得|=或（舍）。【答案】【试题评价】 试题考查课本基础的平面向量知识，体现课程标准中对考生注重基础的要求。 (14) 设满足约束条件：；则的取值范围为 . 【考查目标】 本题考查简单的线性规划问题

14、。【解题思路】约束条件对应四边形边际及内的区域： 则【答案】【试题评价】 试题考查知识很基础，有效检测考生对线性规划问题的理解和应用。（15）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布，且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 【考查目标】 本题考查正态分布在实际问题中的应用，考查学生实践中应用数学知识的能力。【解题思路】 三个电子元件的使用寿命均服从正态分布得：三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为超过1000小时时元件1或元件2正常工作的概率 那

15、么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为【答案】【试题评价】 试题考查了学生运用正态分布知识解决实际问题的能力，关注新课程下考生的数学应用意识。（16）数列满足，则的前项和为 【考查目标】本题主要考查灵活运用数列知识求数列问题能力。【解题思路】【思路1】有题设知=1， =3 =5 =7，=9，=11，=13，=15，=17，=19，得=2，+得=8，同理可得=2，=24，=2，=40，是各项均为2的常数列，是首项为8，公差为16的等差数列，的前60项和为=1830.【思路2】可证明： 【答案】【试题评价】 试题通过巧妙设计，整个求和公式中可分为常数列和等差数列两个新数列的求和，得以全面考查考

16、生对数列知识的掌握程度和应用能力。三、解答题： （17）（本小题满分12分）已知分别为三个内角的对边，（1）求 （2）若，的面积为；求。【考查目标】 本题主要考查正余弦定理应用【解题思路】 运用正弦定理把已知等式化成角的关系（“边化角”），从而用余弦定理求解。【答案】解（1）由正弦定理得： （2） 解得：【试题评价】 试题注重基础，考查了考试大纲中要求的对三角形面积公式、正余弦定理的理解应用。18.（本小题满分12分）某花店每天以每枝元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理。（1）若花店一天购进枝玫瑰花，求当天的利润(单位：元)关于当天需求

17、量（单位：枝，）的函数解析式。 （2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率。（i）若花店一天购进枝玫瑰花，表示当天的利润（单位：元），求的分布列，数学期望及方差；（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由。【考查目标】 （1）考查分段函数解析式的求法；（2）考查有限个值得离散型随机变量的概率分布和数学期望，考查考生准确解读统计图表的意义的能力。【解题思路及答案】 解（1）当时， 当时， 得： （2）（i）可取， 的分布列为 （ii）购进17枝时，当天的利润为 得：应购进17

18、枝【试题评价】 本题通过对生产生活实际问题的检测，展示了数据的获取、整理、分析等统计的基本内容，体现新课改注重过程、实践与能力的教学理念。（19）（本小题满分12分）如图，直三棱柱中，是棱的中点，（1）证明：（2）求二面角的大小。【考查目标】 本题考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，考查二面角的概念和计算，综合考查考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。【解题思路】 （1）用线面垂直证线线垂直；（2）可建立空间直角坐标系求解。【答案】解（1）在中， 得： 同理： 得：面 （2）面 取的中点，过点作于点，连接 ，面面面 得：点与点重合 且是二面角的平面角 设，则， 既二

19、面角的大小为【试题评价】 试题以考生熟悉的三棱柱为载体，通过问题的分层设计，使不同层次考生的水平都得以发挥。试题准确把握相关几何要素，把“综合推理论证”和“向量计算验证”巧妙融入试题设计中，使空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力得到充分考查，体现了课程标准对立体几何教学的能力要求。（20）（本小题满分12分）设抛物线的焦点为，准线为，已知以为圆心，为半径的圆交于两点；（1）若，的面积为；求的值及圆的方程；（2）若三点在同一直线上，直线与平行，且与只有一个公共点，求坐标原点到距离的比值。【考查目标】本题主要考查圆的方程、抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系、点到直线距离公式、线线平行等基础知

20、识，考查数形结合思想和运算求解能力。【解题思路及答案】解（1）由对称性知：是等腰直角，斜边 点到准线的距离 圆的方程为 （2）由对称性设，则 点关于点对称得： 得：，直线 切点 直线坐标原点到距离的比值为。【试题评价】 试题设计围绕解析几何的思想方法展开，突出了数形结合的思想，侧重于对思想方法的理解和应用，同时还强调了良好的运算求解能力，全面体现了考试大纲对解析几何的考查目标。（21）（本小题满分12分）已知函数满足满足；（1）求的解析式及单调区间；（2）若，求的最大值。【考查目标】 本题考查导数在求单调性、最值问题中的应用，考查分类讨论的数学思想，考查灵活应用导数这一工具去分析、解决问题的能

21、力。【解题思路】 （1）代特殊值法；（2）构造新函数。【答案】解（1） 令得： 得： 在上单调递增 得：的解析式为 且单调递增区间为，单调递减区间为 （2）得 当时，在上单调递增 时，与矛盾 当时， 得：当时， 令；则 当时， 当时，的最大值为。【试题评价】 试题分布设问，考查由浅入深，重点突出，灵活考查了利用导数研究函数性质以及导数的基础知识和解题方法，而且对逻辑推理能力、运算求解能力提出较高要求。请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号。（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，分别为边的中点，直线交的外接圆于两点，若，证明：（1）；（2）。【考查目标】 本题主要考查线线平行