二元函数泰勒展开ppt课件

1、10.4 10.4 二元函数的泰勒公式二元函数的泰勒公式 就本节自身而言，引入高阶偏导数是导出泰劳公式的需要；而泰劳公式除了用于近似计算外, 又为建立极值判别准那么作好了准备. 三、极值问题三、极值问题 一、高阶偏导数一、高阶偏导数二、中值定理和泰勒公式二、中值定理和泰勒公式一、高阶偏导数一、高阶偏导数 ( , )( , ),( , )xyzf x yfx yfx y 由由于于的的偏偏导导数数一一般般仍仍,x y然然是是的的函函数数假如它们关于假如它们关于 x 与与 y 的偏导数也的偏导数也 导数有如下四种形式导数有如下四种形式: 22( , ),xxzzfx yxxx 2( , ),x yz

2、zfx yx yyx 存在存在, 说明说明f具有二阶偏导数二元函数的二阶偏具有二阶偏导数二元函数的二阶偏2( , ),yxzzfx yy xxy 22( , ).y yzzfx yyyy 类似地可以定义更高阶的偏导数类似地可以定义更高阶的偏导数, 例如例如 ( , )zf x y 的三阶偏导数共有八种情形的三阶偏导数共有八种情形: 3323( , ),xzzfx yxxx 2222( , ),x yzzfx yyxxy 23( , ),( , ),( , ),xyxxyyfx yfx yfx y22( , ),( , ),( , ).yxyy xyxfx yfx yfx y解解 由于由于 22

3、e,2e,xyxyzzxy 例例1 1 322e.xyzzy x 求求函函数数的的所所有有二二阶阶偏偏导导数数和和因而有因而有2222(e)e;xyxyzxx 222(e)2e;xyxyzx yy 222(2e)2e;xyxyzy xx 2222(2e)4e;xyxyzyy 32222(2e)2e.xyxyzzxy xxy x 数为数为 222222 22,()zyxyxxxyxy 例例2 2 arctan.yzx 求求函函数数的的所所有有二二阶阶偏偏导导数数2222222 2,()zyxyxyyxyxy 2222222 2,()zxxyy xxxyxy 222222 22.()zxxyyyx

4、yxy 注意注意 在上面两个例子中都有在上面两个例子中都有 22,zzxyy x 数为混合偏导数数为混合偏导数). 但是这个结论并不对任何函数都但是这个结论并不对任何函数都成立，例如函数成立，例如函数22222222,0,( , )0,0.xyxyxyxyf x yxy 它的一阶偏导数为它的一阶偏导数为 xyyx即先对 、 后对与先对 、 后对的两个二阶偏导即先对 、 后对与先对 、 后对的两个二阶偏导数相等数相等 (称这种既有关于称这种既有关于 x, 又有关于又有关于 y 的高阶偏导的高阶偏导42242222 222(4),0,()( , )0,0;xy xx yyxyxyfx yxy 42

5、242222 222(4),0,()( , )0,0.yx xx yyxyxyfx yxy 的混合偏导数的混合偏导数: 00(0,)(0,0)(0,0)limlim1,xxxyyyfyfyfyy 00(,0)(0,0)(0,0)limlim1.yyyxxxfxfxfxx 由此看到由此看到, 这两个混合偏导数与求导顺序有关这两个混合偏导数与求导顺序有关. 那么那么 在什么条件下混合偏导数与求导顺序无关呢在什么条件下混合偏导数与求导顺序无关呢? 为此为此 式式. 由于由于 0(, )( , )( , )lim,xxf xx yf x yfx yx 因而有因而有0000000(,)(,)(,)lim

6、xxxyyfxyyfxyfxyy 00000(,)(,)limxf xx yf xyx 000000(,)(,)1limlimyxf xx yyf xyyyx 00001limlim(,)yxf xx yyxy 000000(,)(,)(,) ;(1)f xyyf xx yf xy 类似地有类似地有 这两个累次极限相等这两个累次极限相等. 下述定理给出了使下述定理给出了使 (1) 与与 (2) 相等的一个充沛条件相等的一个充沛条件 连续，那连续，那么么 0000001(,)limlim(,)yxxyfxyf xx yyxy 000000(,)(,)(,) . (2)f xx yf xyyf x

7、y 证证 令令 00000000(,)(,)(,)(,)(,),Fxyf xx yyf xx yf xyyf xy 00( )( ,)( ,).xf x yyf x y 于是有于是有 00(,)()().Fxyxxx (4)0000(,)(,).xyyxfxyfxy (3)01(, ), xfxx yy 又又作作为为的的可可导导函函数数 再再使使用用微微分分000102()()(,).xyxxxfxx yyxy 由由 (4) 那么那么有有 010212(,)(,)(0,1).xyFxyfxx yyxy (5)假如令假如令0001()()()xxxxxx 010010(,)(,).xxfxx y

8、yfxx yx 00( )(,)(,),xf xx yf xy 那么那么有有 00(,)()().Fxyyyy用前面一样的方法用前面一样的方法, 又可得到又可得到 030434(,)(,)(0,1).yxFxyfxx yyxy (6)010203041234(,)(,)(0,1).(7)xyyxfxx yyfxx yy 在且相等，这就得到所要证明的在且相等，这就得到所要证明的 (3) 式式 合偏导数都与求导顺序无关合偏导数都与求导顺序无关 注注2 这个定理对这个定理对 n 元函数的混合偏导数也成立元函数的混合偏导数也成立. 例例 ( , , ),( , , ),( , , ),xyzxzyyz

9、xfx y zfx y zfx y z( , )( , )xyyxfx yfx y与与00(,)xy由定理假设由定理假设 都在点都在点 连连 续续, 故当故当 0,0 xy 时时, (7) 式两边极限都存式两边极限都存 如三元函数如三元函数 ( , , )f x y z的如下六个三阶混合偏导数的如下六个三阶混合偏导数 ( , , ),( , , ),( , , )yxzzx yzyxfx y zfx y zfx y z假设在某一点都连续，那么它们在这一点都相等假设在某一点都连续，那么它们在这一点都相等 今后在牵涉求导顺序问题时今后在牵涉求导顺序问题时, 除特别指出外除特别指出外, 一般一般 都

10、假设相应阶数的混合偏导数连续都假设相应阶数的混合偏导数连续 复合函数的高阶偏导数复合函数的高阶偏导数 设设 ( , ),( , ),( , ).zf x yxs tys t 数数 ( ( , ),( , ),zfs ts ts t 对对于于同样存在二阶连续同样存在二阶连续 偏导数偏导数. 详细计算如下详细计算如下: ,zzxzysxsys ;zzxzytxtyt,zzzzs tstxy显然与仍是的复合函数 其中是显然与仍是的复合函数 其中是,.xxyyx ys tzstst的函数是的函数 继续求的函数是的函数 继续求22zzxzxsxsxssszyzysysyss 2222222222zxzy

11、xzxsxyssxxszxzyyzyyxsssyys 222222222222.zxzxysxyssxzyzxzysxyyss 22222222222222;zzxzxytxytttxzyzxzytxyytt同理可得同理可得 22222222;zzxxzxyxyststxysttsxzyyzxzystxstysty 22.zztsst 222(,),.xzzzfxyxyx 设设求求例例3 3 改写成如下形式改写成如下形式: ( , ),.xzf u vux vy由复合函数求导公式，有由复合函数求导公式，有 1.zfufvffyxuxvxuv ,ffu vx yuv 注注意意 这这里里仍仍是是以

12、以为为中中间间变变量量, ,为为自变量的复合函数所以自变量的复合函数所以 221zffxuyvx 2222221fufvfufvxu vxyv uxxuv 22222221,fffyu vuyv 21zffxyyuyv22221fufvfyu vyvuy 2221fufvyv uyyv 2223221.xfxffu vvyyvy 二、中值定理和泰勒公式二、中值定理和泰勒公式 二元函数的中值公式和泰勒公式二元函数的中值公式和泰勒公式, 与一元函数的拉与一元函数的拉 也有一样的公式，只是形式上更复杂一些也有一样的公式，只是形式上更复杂一些 先介绍凸区域先介绍凸区域 假设区域假设区域 D 上任意两点

13、的连线都含于上任意两点的连线都含于 D, 那么称那么称 D 为凸区域为凸区域 (图图10.3- 6). 这就是说这就是说, 假设假设 D 为为 一切一切 (01), 恒有恒有121121(),() ).P xxxyyyD 上连续上连续, 在在 D 的所有内点都可微的所有内点都可微, 那么对那么对 D 内任意两内任意两 定理定理 8 ( 中值定理中值定理 ) 设设 ( , )f x y2RD 在凸区域在凸区域 图图 10.3 - 6 凸凸 1P2PPD D 非凸非凸 PD1P2PD 的一元连续函数的一元连续函数, 且在且在 (0, 1) 内可微内可微. 根据一元函数根据一元函数 其中其中 中值定

14、理，中值定理， (01) ，使得，使得 ( )(,)(,).xyfah bk hfah bk k (10) (9), (10) 两式即得所要证明的两式即得所要证明的 (8) 式式 注注 假设假设 D D 为严格凸区域，即为严格凸区域，即 111222(,),(,)P xyP xy,(01)D，都有，都有 121121(),() )int,P xxxyyyD 式成立式成立 ( 为什么为什么? ) 公式公式 (8) 也称为二元函数也称为二元函数 (在凸域上在凸域上) 的中值公式的中值公式. 它与定理它与定理17.3 的中值公式的中值公式 (12) 相比较相比较, 差别在于这差别在于这 0,xyff

15、 请读者作为练习自行证明此推论请读者作为练习自行证明此推论 23 2122 (13 )(123). 分析分析 将上式改写成将上式改写成 23 212(13 )(123),2 21( , )21f x yxxy 例例4 对对 应用微分中值定应用微分中值定 理，证明存在某个理，证明存在某个 (01), 使使得得12(1,0)(0,1)PP与与之间应用微分中值定理之间应用微分中值定理计算偏导数计算偏导数: 23 223 2,.(21)(21)xyxyxffxxyxxy (0,1) 1(0,1) ( 1)xyff 221xy 时时2210.xxy证证 首先首先, 当当 , 有有 再再 11(1,0)(

16、0,1)2ff23 2(1)12 (1)1 f000(,)P xy的的某某邻邻域域定理定理 9 (泰勒定理泰勒定理) 假设假设 在点在点 内任一点内任一点 00(,),(0,1),xh yk 使使得得0()U P0()U P内有直到内有直到 阶的连续偏导数阶的连续偏导数, 那么对那么对 1n23 2( 1)2 (1)1 23 2(13 )(123). 1001(,),(1)!nnRhkf xh yknxy 000000(,)(,)(,)f xh ykf xyhkf xyxy 001(,),(11)!nnhkf xyRnxy2001(,)2!hkf xyxy其中其中00(,)mhkf xyxy

17、证证 类似于定理类似于定理8 的证明，先引入辅助函数的证明，先引入辅助函数 00( )(,).tf xth ytk (11) 式称为式称为 0fP在点在点的的 n 阶泰勒公式阶泰勒公式, 并称其中并称其中 00(,)f xy0m 而首项而首项 也可看作也可看作 的情形的情形. 000C(,)mmiim imim iif xyh kxy (1, 2,),mn 件，于是有件，于是有()00( )(,)mmthkf xth ytkxy 由假设，由假设， ( )0,1t 在在上满足一元函数泰勒公式的条上满足一元函数泰勒公式的条应用复合求导法那么应用复合求导法那么, 可求得可求得 ( ) t 的各阶导数

18、如下的各阶导数如下: (0)(0)(1)(0)1!2! (12)( )(1)(0)( )(01).!(1)!nnnn (0,1,1),mn ()00(0)(,)(0,1, ), (13)mmhkf xymnxy 1(1)00( )(,).(14)nnhkf xh ykxy 公式公式 (11)将将 (13), (14) 两式代入两式代入 (12) 式式, 就得到所求之泰勒就得到所求之泰勒 时的特殊情形时的特殊情形. 此时的此时的 n 阶泰勒公式可写作阶泰勒公式可写作 ( , ),(1,4)1,yf x yxf那么仅需那么仅需 0()fU P在在内存在内存在 n 阶的连续偏导数即可阶的连续偏导数即

19、可, 000001(,)(,)().!pnnpf xh ykhkf xyopxy (15)1( , ),(1,4)4,yxxfx yyxf ( , )ln ,(1,4)0,yyyfx yxxf222( , )(1),(1,4)12,yxxfx yy yxf 11( , )ln ,(1,4)1,yyxyxyfx yxyxxf222( , )(ln ) ,(1,4)0.yyyfx yxxf将它们代入泰勒公式将它们代入泰勒公式 (15)，即有，即有 2214(1)6(1)(1)(4)().yxxxxyo 3. 9621.0814 0.086 0.080.08 0.041.3552 . 与与1、例、例

20、7 的结果的结果 (1. 32) 相比较，这是更接近于真相比较，这是更接近于真 微分近似相当于如今的一阶泰勒公式微分近似相当于如今的一阶泰勒公式三、极值问题三、极值问题 多元函数的极值问题是多元函数微分学的重要应多元函数的极值问题是多元函数微分学的重要应 用用, 这里仍以二元函数为例进展讨论这里仍以二元函数为例进展讨论. 有定义有定义. 假设假设 0( , )(),P x yU P 满满足足00( )() ( )() )f Pf Pf Pf P 或或，极大值点、极小值点统称极值点极大值点、极小值点统称极值点 的极大的极大 (或极小或极小) 值点值点. 极大值、极小值统称极值极大值、极小值统称极

21、值; 极极 注意注意 这里讨论的极值点只限于定义域的内点这里讨论的极值点只限于定义域的内点 点点, 是是 g 的极大值点的极大值点, 但不是但不是 h 的极值点这是因的极值点这是因 同极值同极值; 00(, )f xyyy 必必定定在在也取一样极值也取一样极值. 于是于是 得到二元函数取极值的必要条件如下得到二元函数取极值的必要条件如下:定理定理 10 (极值的必要条件极值的必要条件) 假设函数假设函数 ( , )f x y在点在点 值值 (, (0,0,0).zx y 的的图图像像是是一一马马鞍鞍面面为为其其鞍鞍点点f00(,)xy注注 由定义可见由定义可见, 假设假设 在点在点取极值取极值

22、, 那么当固那么当固 000(,)P xy0P存在偏导数存在偏导数, 且在且在获得极值获得极值, 那么必有那么必有 的稳定点的稳定点. 上述定理指出上述定理指出: 偏导数存在时偏导数存在时, 极值点必是稳定点极值点必是稳定点. 但要注意但要注意: 稳定点并不都是极值点在例稳定点并不都是极值点在例 6 中之所中之所 以只讨论原点以只讨论原点, 就是因为原点是那三个函数的唯一就是因为原点是那三个函数的唯一 稳定点；而对于函数稳定点；而对于函数 h, 原点虽为其稳定点原点虽为其稳定点,但却不但却不 是它的极值点是它的极值点. 与一元函数的情形一样与一元函数的情形一样, 多元函数在偏导数不存在多元函数

23、在偏导数不存在 原点没有偏导数原点没有偏导数, , 但但 (0,0)0.f 显显然然是是它它的的极极小小值值000000()()(),()()xxx yxxx yfyxy yyxy yPfPfPffHPfPfPff(17)定点定点, 那么有如下结论那么有如下结论: 000000()(),()(),(18)()().fffHPf PHPf PHPf P 为正定矩阵为极小值为正定矩阵为极小值为负定矩阵为极大值为负定矩阵为极大值为不定矩阵不是极值为不定矩阵不是极值00()0,()0,xyfPfP 于是有于是有 f0P证证 由由 在在的二阶泰勒公式，并注意到条件的二阶泰勒公式，并注意到条件000000

24、( , )(,)(,)(,)f x yf xyf xx yyf xy T2201(,)()(,)().2fxy HPxyoxy 二次型二次型 T0(,)(,)()(,)0.fQxyxy HPxy 连续函数连续函数 ( 仍为一正定二次型仍为一正定二次型 ) T022(,)( , )( , )()( , ) ,fQxyQ u vu v HPu vxy 0()fHPf首先证明首先证明: : 当当 正定时，正定时， 在点在点 获得极小获得极小 0P值这是因为，此时对任何值这是因为，此时对任何 (,)(0,0),xy 恒使恒使 22(,)2 ().Qxyqxy 22220022( , )(,)()()(

25、) (1)0,f x yf xyqxyoxyxyqo 极大值极大值22( , )1,u vuv 恒恒满满足足( , )Q u v由于由于 因而因而在此有界在此有界 闭域上存在最小值闭域上存在最小值 20q ，于是有，于是有f00(,)xy即即在点在点 获得极小值获得极小值00,xxtxyyty 00( , )(,)( )0f x yf xtx ytytt 在在亦取亦取 ( ),xytfxfy 那么沿着过那么沿着过 0P的任何直线的任何直线 0()fHPf最后证明最后证明: 当当 为不定矩阵时为不定矩阵时, , 在点在点 0P不不 22( )2,x xx yy ytfxfxyfy T0(0)(,

26、)()(,) ,fxy HPxy 极小值极小值, 那么将导致那么将导致 0()fHP必需是正半定的必需是正半定的. 也就是也就是 的或负半定的，这与假设相矛盾的或负半定的，这与假设相矛盾0()fHPf这说明这说明 必需是负半定的必需是负半定的. 同理同理, 倘假设倘假设 取取 系，定理系，定理11又可写成如下比较实用的形式又可写成如下比较实用的形式 根据对称矩阵的定号性与其主子行列式之间的关根据对称矩阵的定号性与其主子行列式之间的关 假假设设f如定理如定理11 所设，那么有如下结论所设，那么有如下结论: 200()0, ()()0,i)xxxxy yx yfPfffPf 当当时时在在200()

27、0,(ii)()()0,xxxxy yx yfPfffPf 当当时时在在200()()0,;(iii)xxy yx yfffPfP 当当时时在在不不取取极极值值200()()0(i,v)xxyyx yfffPfP 当当时时 不不能能肯肯定定在在是否获得极值是否获得极值 解解 由方程组由方程组 例例7 7 22( , )56106.f x yxyxy 求求的的极极值值获得极小值获得极小值; 0P获得极大值获得极大值; 0P260 ,10100 xyfxfy 00()20,()0,xxx yfPfP 200()10, ()()200,yyxxyyx yfPfffP 0(3, 1).fP 解解出出的

28、的稳稳定定点点由由于于例例8 讨论讨论 2( , )f x yxxy 是否存在极值是否存在极值 得极值得极值?2(0, 0)()0,xxy yx yfff 2(0, 0)()10 xxy yx yfff f因因 ，故原点不是，故原点不是 的的 ff极值点极值点. 又因又因 处处可微，所以处处可微，所以 没有极值点没有极值点. 解解 容易验证原点是容易验证原点是 f的稳定点的稳定点, 且且 故由定理故由定理11 无法判断无法判断 f在原点是否获得极值在原点是否获得极值 但因为在原点的任意小邻域内但因为在原点的任意小邻域内, 当当 222xyx 时时 由极值定义晓得由极值定义晓得, 极值只是函数的

29、一个部分性概念极值只是函数的一个部分性概念.想求出函数在有界闭域上的最大值和最小值想求出函数在有界闭域上的最大值和最小值, 方法方法 与一元函数问题一样：需先求出在该区域上所有稳与一元函数问题一样：需先求出在该区域上所有稳 定点、无偏导数点处的函数值定点、无偏导数点处的函数值, 还有在区域边境上还有在区域边境上 的这类特殊值；然后比较这些值的这类特殊值；然后比较这些值, 其中最大其中最大 (小小)者者 即为问题所求的最大即为问题所求的最大 (小小) 值值 以以 f (0, 0) = 0 不是极值不是极值 ( 参见图参见图10.3-7 ) 例例10 证明证明: 圆的所有外切三角形中圆的所有外切三

30、角形中, 以正三角形的以正三角形的 面积为最小面积为最小证证 如图如图10.3- 8 所示所示, 设圆的半径为设圆的半径为 a, 任一外切三角任一外切三角 图图10.3-8图图10.3-72yx22yxxyO ABCa式为式为 2tantantan222Sa 2tantantan,222a 2221secsec0,222Sa 其中其中 ,(0,) . 为求得稳定点为求得稳定点, 令令 ,2.ABC 其其中中易易知知的的面面积积表表达达形为形为 ABC, 三切点处的半径相夹的中心角分别为三切点处的半径相夹的中心角分别为 , 2221secsec0.222Sa 在定义域内在定义域内, 上述方程组仅

31、有唯一解上述方程组仅有唯一解: 22,2().33r 的二阶偏导数的二阶偏导数: 2224 3,2 3,4 3.SaSaSa 240,360,SSSSaS 由于因此在由于因此在此稳定点处获得极小值此稳定点处获得极小值 因为因为 , 面积函数面积函数 S 在定义域中处处存在偏在定义域中处处存在偏正三角形的面积为最小正三角形的面积为最小解解 (i) 求稳定点：解方程组求稳定点：解方程组 2( , )3420,( , )220,xyfx yxxyfx yxy 导数，而详细问题存在最小值，故外切三角形中以导数，而详细问题存在最小值，故外切三角形中以 642( , ),22fxHx y 02( 2 3,

32、2 3)(),22fH 不不定定因而因而 (0,0)0,( 2 3,2 3).ff为极小值不是极值为极小值不是极值得稳定点得稳定点 (0,0)( 2 3, 2 3).和和(ii) 求极值：由于求极值：由于 ( , )f x y的黑赛矩阵为的黑赛矩阵为 D 2x 时时, ,(iii) 求在求在 上的特殊值上的特殊值: 当当 2( 2, )4, 2,2,fyyyy 2(2, )164, 2,2,fyyyy 32( , 2)244, 2,2,f xxxxx 22d82( , 2)34430,3d3f xxxxx由由当当2x 时时，当当2y 时时，2y 当当时时, ,32( ,2)244, 2,2,f xxxxx 算出算出 268(, 2 )(2, 2)12.327ff与两端值与两端值( 2, 2)4,f (2,