二次型与二次曲面ppt课件

1、第七章 二次型与二次曲面 二次型讨论的对象是多元二次齐次函数，这种函数在物理、统计、规划、极值等问题中有广泛的应用 例如在三维空间的几何问题中，一般二次曲面在直角坐标系下表示为三元二次函数，通过对二次型的讨论，可以研究二次曲面的分类.本章主要讨论： 1 二次型的理论； 2 空间曲面与曲线； 3. 二次曲面的分类 7.1 实二次型7.1.1 二次型的定义及矩阵表示 1定义7.1 n个变量 的二次齐次函数 称为 n 元二次型，简称二次型.12,nx xx1211( ,)nnnijijijf x xxa x x211 1121211nna xa x xa x x2212122222nna x xa

2、xa x x21122nnnnnnna x xa x xa x211 112121122nna xa x xa x x2222223232222nnnnna xa x xa x xa x 当 为实数时，称 为实二次型， 为复数时 为复二次型，本书只讨论实二次型ijafijaf 2矩阵形式： 11121121222212,nnijjinnnnnaaaxaaaxaaaaaxAX 那么二次型的矩阵形式为 为二次型 的矩阵, 为二次型的秩 12(,),nf x xxX AXAf( )r Af 3二次型 对称阵 注：讨论二次型问题，首要的问题是给定二次型能准确地写出二次型的矩阵，反之，给定一个对称阵，会

3、写出以它为矩阵的二次型. 这里的关键概念是二次型的矩阵是一个对称矩阵.|f 对 应A 例1 设二次型 试写出二次型的矩阵. 为三元二次型221212132324fxxx xx xx xff2 解：将交叉项 的系数 即平均分配给 及 的二次型的系数矩阵 为.ijx xijx x()jiijjix xxxx xA11121121202 A 例例 将二次型将二次型 写成矩阵形式写成矩阵形式. 解：解： 是一个四元二次型，先写出二次型的矩阵是一个四元二次型，先写出二次型的矩阵1234fx xx xf 12341000210002,1000210002xxxxAX 121234341000210002(

4、 ,)1000210002xxfx x x xxxX AX 例 设 ，试写出以 为矩阵的二次型. 分析： 是一个3阶对称阵，对应的三元二次型，把 与 合并后写出二次型.110101011 AAAijajia 解：设 T123( ,)x x xX1T2212321122333110( ,)10122011xfx x xxxx xx xxxX AX7.1.2 合同矩阵 1定义7.2合同二个 阶方阵 和 ， 可逆阵 ，使 ，那么称 与 合同Congruent记成 . 矩阵合同的定义与矩阵类似的定义很类似，也是 阶方阵之间的一种等价关系. 即 2合同 等价，合同 等秩，反之都不成立但不等秩，那么一定不

5、合同.nABCTC ACBABABn 3合同关系具有以下性质： 1自反性： . 2对称性： 那么 . 3传送性： ，那么 . 4 与 合同，那么 . 可逆， . AAABBA,ABBCACAB( )( )rrAB CTC ACB 4二次型的变换合同二次型 设二次型 ，经可逆线性变换 可逆 其中 ，即 与 合同， 仍是对称阵. 所以经可逆线性变换后，二次型的对应矩阵是合同的. 也可以说：合同的矩阵是同一二次型关于不同变量的矩阵我们教材是将变量看成 个基下的坐标， 是一个基到另一个基的过渡矩阵，合同阵是不同基下的矩阵.Tf X AXXCYCTTTT()f CYACYY C ACYY BYTBC A

6、CABBnR C 5实对称阵 不但和对角阵类似，也与对角阵合同. 由于实对称可正交类似对角化. 所以存在正交阵 ，使 所以实对称阵 都与对角阵合同. 换句话说，就是任意实二次型都可通过一个适当的可逆线性变换化成只要平方项 而没有混合项 . 这就引出了二次型的规范形的概念. P1T,PAPP APA2()ixijx x230 例4. 与矩阵 既类似又合同的矩阵是 A . B . C . D .202030202A110340230 分析： 是实对称矩阵，所以 正交阵，使它和一个对角阵既类似又合同，对角阵的对角元恰是 的特征值.AA 解： 的特征值是 ，与 既类似又合同的矩阵是，所以应选D.202

7、|030(3)(4)202 EAA0, 3,4A43011111221221122221122nnnnnnnnnnxc yc yc yxc yc yc yxc yc yc y1111121222122212,nnnnnnnnxycccxycccxycccXYC7.2 化实二次型为规范 1规范二次型：只含有平方项的二次型 称为 元二次型的一个规范型. 不唯一. 线性变换为2221 122nnyyyn 设 1 令 1可变为 . 但不唯一. 2 当 是可逆阵时. 1式是可逆线性变换. XCYC7.2.1 用正交变换化实二次型为规范形 对于实二次型，最实用的方法是正交变换法，即所作的可逆线性变换中可逆

8、矩阵 不只是可逆，还是正交矩阵. 这个正交阵的存在是由实对称矩阵的性质决定的，值得注意的是这种方法仅限于实二次型.C 定理7.1 对 元实二次型 ， 正交线性变换：不唯一 ，使二次型 化为规范形. 是 的 个特征值.nTf X AXXPYf2221 12 212,n nnfyyy An 注1 的秩 的规范形中系数不为0的平方项的个数. 2 任一个实二次型都可通过可逆线性变换化为规范形. 元二次型的规范形不唯一，有三种方法化规范形. T( )()( ),rrrfAC ACf 例5 用正交线性变换化实二次型为规范形. 化成规范形. 解：1二次型 的矩阵为222123121323255448fxxx

9、x xx xx xf222254245A2由 ， 得 的特征值为 .2222|254(1) (10)0245EAA1231,1,103对 时，解 .即 121(1)0EA X122122244000244000所以得同解方程组为 得根底解系为 . 正交化： 123223322xxxxxxx 12221,001 11210 21221112522(,)4401(,)55101 245 单位化： 111252111|5500 2222452144|45455545 当 时，由方程组310(10)EA X0 即5112108222542225401818011011245099000000 得根底解

10、系为 ，单位化为 .13233312xxxxxx 3122 333132|323 得正交阵 .22135451423545520345P 那么 注：正交变换不唯一，但正交变换得到的规范形是唯一的.不考虑对角元的次序时1T1110P APP AP7.2.2 用配方法化二次型为规范形 假如不考虑正交变换，可以用可逆线性变换把二次型化为规范形，得到规范形不是唯一的.f 例6 用配方法将二次型化为规范形 分析：这是只要交叉项没有平方项的二次型，先对用平方差公式. 解：令 1123122313( ,)234f x x xx xx xx x12,x x11221233xyyxyyxy1110110001C

11、 那么 221213231323223344fyyy yy yy yy y22121323227yyy yy y 222222113322333377114912() )2() )2224241616yy yyyy yyyy22213233712()2()644yyyyy 再令 2113223337414zyyzyyzy 那么 222123226fzzz 所作可逆线性变换为 2代入1得113223337414yzzyzzyz271041014001C 可逆. 为可逆线性变换.1123212333322xzzzxzzzxz123112112 , | 0001CC CCC121 2()XCYc c

12、 Zc c Z7.2.3 用初等变换法化二次型为规范形 矩阵的初等变换法是对二次型矩阵 ，构造一个的矩阵 ，对 交替作初等行变换和相应的初等列变换，对 作列变换时，同时对 作一样的列变换，当 化作规范形时， 就化作了 . 这就是作可逆线性变换那个可逆矩阵. 对角阵.A2n nAEAAEAECTAC ACEC 例7 用初等变换法将以下二次型化为规范形，并求可逆线性变换 分析：由于左上角的元素为0，而主对角线上第二个元素不为0，将第一列和第二列变换，同时将第一行和第二行交换，使得左上角元素不为0.T010111011fXX 解：01011110010011110001101001110101000

13、1100010010011010100111110001001001001由此得规范形 所用的可逆线性变换为所以 222123fyyy011,110001XCYCT222123fyyyY CY7.3 正定实二次型7.3.1 实二次型的惯性定律 我们晓得 元二次型都可以通过一个可逆线性变换化为规范形，规范形不唯一，因为用不同的可逆线性变换把同一个实二次型 化为规范形时，这些规范形中的系数一般说是不同的.nf 但在实可逆线性变换下，同一个实二次型的规范形中的正系数、负系数及零系数的个数是不变的，实可逆线性变换可以不同，这就是实二次型的惯性定律. 定理7.2 设 元实二次型 经实可逆线性变换 分别化

14、成规范形nTf X AX12,XCYYC Z 及 2221122nnfk yk yk y2221 122nnfl zl zl z那么 中正数的个数，负数的个数及0的个数都与 中正数的个数，负数的个数及0的个数一样，正数的个数称为 的正惯性指数，记为 负数的个数称为的负惯性指数，记为 .12,nk kk12, ,nl llfPf,( )rP rrA7.3.2 正定二次型 对于实二次型有一个特别重要的性质正定性. 1定义7.3 设有 元实二次型 ，假如对且 ，都有 ，那么称 为正定负定、半正定、半负定二次型. 的矩阵称为正定负定、半正定、半负定矩阵.nTf X AXX0nRXT0( 0,0,0)f

15、 X AXff 2正定阵 实对称阵，但反之不一定. 3二次型正定的充要条件： 定理7.3 实二次型 正定 正惯性指数 规范形中 个系数全为正. 证：设 ，经实可逆性变换 化为 . 反证：假设 某个f( )PnrAnTf X AXXCY2221122nnfk yk yk y0 (1).ikin 取 ，而 00100 Y0001000 XCYC而 TTT222000010100inifkkkkX AXY C ACY与 正定矛盾，正惯性指数 . 维实向量 ，由 可逆知 故 为正定二次型.fPnn12nxxxX0C1210nyyyYCXTTT2211()0 (0)1,nnik yk ykinX AXY

16、C AC Yf 推论 7.1 实二次型 正定 的矩阵 的特征值全大于 .ffA0,0,1,2,iin 证 是实二次型，由定理7.1知 正交变换 ，使 由定理7.3知， 正定 fXPY2221122nnfyyyf0,1,2,iin其中 . 推论7.2 实二次型 正定 实可逆阵 使， . 证 维实向量 可逆， . 所以 是正定二次型.f QTAQ QnXQ0,QX0TTTT2() () |0X AXX Q QXQXQXQXf 知 是正定二次型，由推论7.1知， 正交阵 ，使 ， fP12TnP AP0 (1,2, )iin 1112TT22nnnAPPPP令 ， 那么 1T2nQP1T2nQP所以

17、 由 可逆及 可逆，知 可逆.TAQ QP1nQ定理定理7.4 7.4 实对称阵实对称阵 为正定的为正定的 的各阶顺序主子式的各阶顺序主子式都大于零都大于零. .即即 A A11121212221112112122120,0,| 0nnnnnnaaaaaaaaaaaaaaA 总结：二次型正定的充要条件 实二次型 正定 的正惯性指数 . 的特征值全大于 实可逆阵 ，使 . 的各阶顺序主子式全 与 合同 ff,( )Prn rrA A0,0 (1,2, )iin QTAQ Q A0 AETT()AQ QQ EQ 注：当 正定时，可证 ，正定.A1*2(0),kkAAAAAE 负定 正定.ff 的奇

18、数阶主子式 ，偶数阶主子式 . A00 重点与难点：在实二次型或实对称阵中，合同是一种分类的方法，正定性是另一种分类的方法，重点是正定二次型或正定矩阵. 注：说 或 是正定的，已经包涵了 实对称， 可逆 ， 及 .利用 的正定性，来证明其他的问题，那么是一个难点，要详细问题详细分析. 1正定阵正定二次型的判断fAATAAA0iia | 0AA 例例8 判别二次型判别二次型 的正定性的正定性. 解解 二次型的对应矩阵为二次型的对应矩阵为1212111( ,)nnniiiiif x xxxx x1100021110022101002100012100012 A ， 2100012100012002

19、0002100012A 和 具有一样的正定性，故断定 的正定性即可将分数运算化成参数运算A2A2A 2130121000212100400012003|2|0002111000121kk kkkkkA 10,1,2,kkn 122120,3012PP 的全部顺序主子式都大于0. 正定， 正定.2AAf 例9 判断 阶 矩阵 是否正定阵. n(2)n A211121112A . 解法1 顺序主子式： ， 正定.122120,3012PP211111111121121010(1)(1)112112001kkkP 10. (1,2, ),kkn A 解法解法2 求求 的特征值的特征值. 得得 的特征

20、值为的特征值为 全全 . 故故 正定正定. 2矩阵二次型正定性的证明矩阵二次型正定性的证明A1211121|(1)(1)0112nnEAA1231,1,nn0A例例10 10 设设 是是 阶正定阵，证明阶正定阵，证明 也正定也正定. .证证 因 为因 为 正 定正 定 , , 所 以所 以 是 实 对 称 ，是 实 对 称 ，即即 ， 可逆，可逆， 也是实对称也是实对称. .An1AAATAAA1 TT111()(),AAAA证证1 用正定阵用正定阵 全部特征值全部特征值 . 知知 正定，正定， 的的 个特征值个特征值 都都 . 又又 的特征值的特征值为为 都都 , 正定正定.0AAn12,n

21、 01A12111,n01A 证2 正定 实可逆阵 使 . 求逆 令 为实可逆阵，所以 正定.A QTAQ Q1T11T111 T()()()AQ QQQQQ1 T() ,PQP1T1,AP PA 例11 设 是 阶实对称阵，其中 正定, 试证当实数 充沛大时， 也正定. 证 由 正定， 可逆阵 ，使 ，即 ，令 . 仍是对称阵，故 正交阵 ，,A BnAtt ABAQTT11,()AQ QQAQE1 T1()QAQE1T,PQP APETTTT()tttPAB PP APP BPEP BPTTTT(),P BPP BPP BPR 使 ，其中 是 的特征值.12TT()ndddRP BP R1

22、,nddTP BP12TTTT()()nddtttdREP BP RERP BP RE 12TTT()() ()ntdtdtttdR PAB PRPRAB PR 正定由Th7.3. 当 时， 全 ， . 由Th7.3知 正定，从而 正定， 实对称显然.t AB12max|, |,|ntddditd01,2,inTtEP BPt ABt AB 例12 设 为实 ，证明 是正定的 .m nAmnTAA( )rmA证证 是实对称阵是实对称阵. 假设假设 正定，那么正定，那么 .TTTT(),AAAAAATAATT|0,()( )m mrmrAAAAA 又 . 设 ，那么齐次方程组 只要0解. 对 ，

23、有 ，设 . 由二次型定义知， 正定. ,( ),( )m nrmrmAAA( )rmATn mAX0X0TA X0TT12( ,)nb bbA XTTTT22212() ()0nbbbXAA XA XA XTAA7.4 曲面与曲线 在3.3节已熟悉了平面和空间的直线与三元一次方程之间的关系，如今在前两节研究二次型的根底上，本节重点又从代数转向几何，主要是讨论二次曲面.与平面、直线一样，曲面和曲线也可以看成是满足某种条件的点的集合. 在坐标系下，这个条件表现为方程.下面对几何特征很明显的几种常见的曲面和曲线建立它们的方程.7.4.1 球面0000(,)Mxyzr3( , , ),M x y z

24、RM0|M Mr2222000()()()xxyyzzr2222xyzr22222220000002220 xyzx xy yz zxyzr1是三元二次方程 2二次项 的系数一样 3没有交叉项. 222,xyz222000()()()xxyyzzk0k 0000(,)Mxyzk0k 0k 例例1.2222220 xyzxy配方得222(1)(1)4xyz表示球心为 的球面.(1,1,0),2r 设柱面的母线 轴，准线 是平面 上的曲线 ，那么此柱面方程为 . 一般地，含有两个变量的方程在平面上表示一条曲线，在空间里表示一个柱面, 母线平行于不呈现的那个变量对应的坐标轴，同理 表示母线平行于 轴

25、的柱面， 表示母线平行于 轴的柱面.7.4.2 柱面CLCL/LzCxoy( , )00f x yz( , )0f x y ( , )0f x z y( , )0f y z x22221xyab1xz7.4.3 旋转曲面平面曲线C绕平面不时线 L 旋转一周，所成的曲面叫做旋转曲面. 曲线C 称为母线，L称为旋转轴.设在面 yOz上，给定曲线C ：0:( , )0 xCf y z将其绕轴z旋转一周，求此旋转曲面方程. 总之，在坐标面上的曲线绕其上一个轴转动得到的旋转曲面方程可以这样写处：将曲线方程中与转轴一样的变量不动，而把另一个变量换为它自己的平方与方程未呈现的变量的平方和的平方根即可.CC(

26、,)Mxyz0111(,)Mxyz1zz11(,)0f y z0,M Mz222211|,xyyyxy 22(, )0fxyzy22( ,)0f yxz例5 椭圆 绕 轴旋转得到旋转椭球面：0,xzkyz22zkxy 2222()zk xy22220zxyk1tanyzk222201yxzabx222221xyzab例7 抛物线 绕轴旋转得旋转抛物面 一般地说：在一个方程中，假设有两个变量以平方和的形式呈现，它就是旋转曲面的方程.222201xyzbcz222221xyzbc20,2zypx222yzpx例如，以原点为球心，1为半径的球面 与 面的交线，是 平面上的以原点为圆心的单位圆，其方程

27、为 7.5 空间曲线及其方程 1:( , , )0F x y z2:( , , )0G x y z( , , )0( , , )0F x y zG x y zCCCxozxoz2210 xzy例9 方程组 表示怎样的曲线. 解 第一个方程表示以原点为球心，a为半径的球的上半球面.第二个方程表示准线为 的面上的圆且母线平行于 轴的圆柱面.方程组为上半球面与圆柱面的交线. 也称为维维亚尼曲线.2211xyxz221xyz1xyy22222222zaxyaaxyxOy222220aaxyzz2221664xyz224640 xyzxOy222416640 xyzzzOx2216640 xzyyOz2

28、2416640yzx 与平面曲线一样，空间曲线 也可由参数方程表示， 上的动点 为参数 的函数，给定 得 上的一点 随 的变动便得到 c 的全部点.即 为曲线 的参数方程.tCC( , , )M x y z0tC0000(,)Mx y zt( ):( )( )xx tCyy tzz tC222xya0( ,0,0)M a0M( , , )M x y zxOy( , ,0)M x y0, M OMtcossin,;xavyabzb其中为参数OMM2hb 以空间曲线 为准线，作母线平行于 轴或 轴、或 轴的柱面，这个柱面与坐标面 或 、 的交线称为曲线 在坐标面 或 、 上的投影曲线.CzxyxO

29、yyOzzOxCxOyyOzzOxC( , , )0( , , )0F x y zG x y zzC( , )0H x y CxOy:L( , )00H x yzzCxyCyozzox2221xyz222(1)(1)1xyzxOyzCz1yz1zy 2220 xyyxOy222200 xyyz 在第五节我们讲了空间曲面的概念，建立了球面方程和各种柱面方程等.这节我们要专门讨论二次曲面，在平面几何中我们研究了二次曲线、圆、椭圆、抛物线、双曲线等，在空间解析几何中我们将三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面，平面称为一次曲面. 7.4节讲过球面、圆柱面、抛物面和双曲面，这些都是二次曲面在那节里我们只是粗略地描绘它们的图形. 平面解析几何中有时用描点法研究它的图形，对于三元方程所表示的曲面的形状，显然难以用描点法得到，这节我们用截痕法来研究常用的二次曲面，即用坐标和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线即截痕的形状，然后加以综合，从而理解曲面的全貌.2222221( , ,0)xyza b cabc, ,a b c22