直线、圆、椭圆、双曲线的参数方程 - 2014-12-5

1、一、一、二、二、三、双曲线的参数方程三、双曲线的参数方程sec()tanxayb为参数2a222xy-=1(a0,b0)的参数方程为：b3 ,2 )22o通 常 规 定且，。四、抛物线的参数方程四、抛物线的参数方程2抛物线y =2px(p0)的参数方程为:1其中参数t=(0),当 =0时，t=0.tan几何意义为：,().ttRy2x=2pt为参数，2pt抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数。.x即P(x,y)为抛物线上任意一点,则有t=y五、五、 设质点从点设质点从点 出发，沿着出发，沿着与与 轴正方向成轴正方向成 角的方向匀速直线角的方向匀速直线运动，其速率为运动，其速率为 你

2、能建立质点运你能建立质点运动的轨迹的参数方程吗？动的轨迹的参数方程吗？ x),(000yxM0v)0(sincos0000ttvyytvxx 若不顾及若不顾及 的物理意义，允许的物理意义，允许 取负值，则取负值，则上式是直线的一种参数方程形式，上式是直线的一种参数方程形式， 为参数为参数. ttt教学过程教学过程 如何将直线的点斜式方程化为直如何将直线的点斜式方程化为直线的参数方程？线的参数方程？)(00 xxkyy)(tan00 xxyy)(cossin00 xxyy为倾斜角且为倾斜角且2当当 时设时设 0tyyxxsincos00整理得整理得ttyytxxsincos00为参数为参数当当

3、或或 时时 ，上式仍然成立，上式仍然成立. 02为直线的倾斜角为直线的倾斜角, 02ttyytxxsincos00为参数为参数直线参数方程的标准形式：直线参数方程的标准形式：为直线的倾斜角为直线的倾斜角, 0见教材见教材P35：参数参数t),(yxM动点动点一一对应一一对应（）Oxy),(000yxM),(yxMA|t参数参数 有什么有什么几何意义？几何意义？t 的正负与点的正负与点 的位置的位置有什么关系呢？有什么关系呢？t),(yxMttyytxxsincos00为参数为参数tyyxxsincos00t 直线参数方程标准式中参数直线参数方程标准式中参数 的几的几何意义：何意义： t|0MM

4、t 重合与点时，点当的下方在点时，点当的上方在点时，点当000000MMtMMtMMt即即 表示直线上任意一点表示直线上任意一点 到到 定定点点 的距离的距离. |t0MM判断判断下列那些是直线参数方程的标准下列那些是直线参数方程的标准 形式，并指出直线经过的定点和斜率：形式，并指出直线经过的定点和斜率：tytx2312131 ）（tytx23121-32）（tytx23-12134）（tytx134）（ (1)已知直线的普通方程为已知直线的普通方程为 ， 求它的参数方程标准式求它的参数方程标准式.23 xy(2) 已知直线的参数方程为已知直线的参数方程为0020sin320cos2tytx求

5、直线的倾斜角求直线的倾斜角.例例1、例例2:在椭圆在椭圆 上求一点上求一点M22y194x使点使点M到直线到直线x+2y-10=0的距离最小的距离最小,并求最小距离并求最小距离.解解:9 8(,)5 5Mmin5d思考思考: 并求点并求点M?max?d椭圆的参数方程的应用椭圆的参数方程的应用: :10)cos(551510)54sin53(cos5510sin4cos3)sin2 ,cos3()(sin2cos30dMMyx到直线的距离，得到点由点到直线的距离公式所以可设点为参数程为解：因为椭圆的参数方。的距离取最小值与直线时，点位于所以，当点此时取最小值时，由三角函数性质知，当满足其中501

6、02)58,59(58sin2sin2 ,59cos3cos35054sin,53cos000000yxMMd练习练习:实数实数x,y满足满足22y12516x求出求出 的值域的值域2zxy解解:方法一方法一(线性规划线性规划)直线向上运动直线向上运动z变小变小,minzmaxz89,89z 相切时取得最值相切时取得最值.方法二方法二(参数方程参数方程)解解:设设 椭圆上任一点椭圆上任一点(5cos,4sin)M则则5cos8sinz089cos()当当 时时,00max89z当当 时时,0min89z 是多少？问内接矩形的最大面积中有内接矩形，：在椭圆例 116y25x22222225404

7、2404544 yttttxys,sinsincos时，解：x S max例例3、例例4.设设M为双曲线为双曲线 上任一点上任一点,o为原点为原点,过点过点M作双曲线两渐近线的平行线作双曲线两渐近线的平行线,分别与两渐近分别与两渐近线交于线交于A,B两点两点.探求平行四边形探求平行四边形MAOB的面积的面积,由由此可以发现什么结论此可以发现什么结论?解解:2222y1xab2MAOBabS 双曲线的参数方程的应用双曲线的参数方程的应用: :两点距离的最小值、，求上一点与双曲线上一点：已知圆例QPQyxPyxO11)2(:32222133,454, 1tan3) 1(tan24tan4tan1t

8、an)2(tansec)tan,(secminmin222222PQOQOQQ时或即当的最小距离先求圆心到双曲线上点标为解：设双曲线上点的坐例例5、133,454, 1tan3) 1(tan24tan4tan1tan)2(tansec)tan,(secminmin222222PQOQOQQ时或即当的最小距离先求圆心到双曲线上点标为解：设双曲线上点的坐1. 求弦长求弦长例例6：已知直线方程：已知直线方程 x+y1=0与抛物线与抛物线 y=x2 交于点交于点A、B。(1)求弦长求弦长AB(2)求点求点M（1，2）到）到A，B两点的距离之积。两点的距离之积。 直线的参数方程的应用直线的参数方程的应用

9、: :解解：（：（1）因为直线因为直线l过点过点M，倾斜角为，倾斜角为 ，所以可以设所以可以设即即31cos432sin4xtyt 34 12210210,22tt212222xtyt 2220tt 代入抛物线得代入抛物线得解解得得由参数的几何意义：由参数的几何意义：121 2| |10| | | 2ABttMAMBt tg2.2.求直线方程：求直线方程：例例7：经过点：经过点M（2，1）做直线）做直线l，交椭圆，交椭圆 于点于点A,B两点。如果两点。如果M恰好为恰好为AB中点，求直线方程。中点，求直线方程。22xy1164 解解：过点：过点M(2,1)的直线参数方程可以设为：的直线参数方程可

10、以设为： x = 2+tcos y = 1+tsin 代入椭圆：代入椭圆：22(3sin1)4(cos2sin )8 0tt |MA|=t1,|MB|=t21224(cos2sin)3sin1tt M为线段为线段AB中点：中点：1202tt 1tan2k 即有：即有：11(2)2240yxxy 例例2、 已知直线已知直线 过定点过定点 ，且倾，且倾斜角为斜角为 1l)32, 4( A32(1)在直线上求一点在直线上求一点 ，使点，使点 到点到点 的的距离为距离为4.PPAB(2)设直线设直线 ， 与与 的交点的交点为为 ，求点，求点 与点与点 的距离的距离.013:2yxl2l1lBA例例3、

11、已知直线过定点、已知直线过定点 ，且倾，且倾斜角为斜角为 ，求直线与圆，求直线与圆 的交点坐标的交点坐标. ) 1 , 1 (A43422 yx变式变式1:圆圆 内有一点内有一点 ， 为过为过点点 且倾斜角为且倾斜角为 的直线，求的直线，求 的弦长的弦长. .822 yx)2 , 1(0PAB43AB0P变式变式2:如果将圆内的点如果将圆内的点 换为圆外换为圆外的点的点 会有什么样的结论呢？会有什么样的结论呢？ )2 , 1(0P)2 , 1(0P如果将圆换成椭圆或其他的圆锥曲线呢？如果将圆换成椭圆或其他的圆锥曲线呢？例例4、如图，当前热带风暴中心位于点、如图，当前热带风暴中心位于点O处，某海滨城市处，某海滨城市在它的西面在它的西面220 的点的点 处处.风暴正以风暴正以40 的速度向的速度向西偏北西偏北 方向运动方向运动.已知距风暴中心已知距风暴中心200 以内的地方以内的地方都会受到风暴侵袭，计算经过多长时间该城市会受到风暴都会受到风暴侵袭，计算经过多长时间该城市会受到风暴侵袭，侵袭会持续多长时间侵袭，侵袭会持续多长时间?km06