第9章 逻辑代数基础

1、利用半导体开关元利用半导体开关元件（二极管、三极管）的导通、截止（即开、关）两件（二极管、三极管）的导通、截止（即开、关）两种工作状态来实现。种工作状态来实现。 电子电路中通常把高电平表示为电子电路中通常把高电平表示为逻辑逻辑1；把低电平表示为；把低电平表示为逻辑逻辑0。（正逻辑）。（正逻辑） 当决定某事件的全部条件同时具备时，结果才会发生，这种因当决定某事件的全部条件同时具备时，结果才会发生，这种因果关系叫做果关系叫做“与与”逻辑逻辑，也称为，也称为逻辑乘逻辑乘。真值表真值表逻辑运算符号逻辑运算符号 当某事件发生的全部条件中至少有一个条件满足时，事件必然当某事件发生的全部条件中至少有一个条件

2、满足时，事件必然发生，当全部条件都不满足时，事件决不会发生，这种因果关系叫发生，当全部条件都不满足时，事件决不会发生，这种因果关系叫做做“或或”逻辑逻辑，也称为，也称为逻辑加逻辑加。真值表真值表逻辑运算符号逻辑运算符号 当某事件相关的条件不满足时，事件必然发生；当条件满足时，当某事件相关的条件不满足时，事件必然发生；当条件满足时，事件决不会发生，这种因果关系叫做事件决不会发生，这种因果关系叫做“非非”逻辑逻辑。逻辑非（逻辑反）的运算规则逻辑非（逻辑反）的运算规则01 10真值表真值表 一个一个门的输入门的输入端端，输出端只有一，输出端只有一个。个。ABF 与非运算真值表与非运算真值表BAF或非

3、运算真值表或非运算真值表CDABFBABABAF异或运算真值表异或运算真值表同或运算真值表同或运算真值表BABAF与运算：0 1 00AA AAAAAA或运算：1 11 0AA AAAAAA非运算：AA 交换律：ABBAABBA结合律：)()()()(CBACBACBACBA分配律：)()()(CABACBACABACBA(A+B)(A+C)=AA+AB+AC+BC(A+B)(B+C)=A+BC(A+B)(B+C)=A+BC=A+AB+AC+BCAA=AAA=A=A(1+B+C)+BC含有含有A A的项提取的项提取=A+BC1+B+C=11+B+C=1)(1BA BA A+A=1A+A=1A

4、A1=11=1A+AB=A+BA+AB=A+BABCBCABCAABCCBAABCCABAABCF)()(21、公式法化简：、公式法化简：化简的意义：逻辑表达式越简单，实现电路越简单，电路工作越稳定可靠。化简的意义：逻辑表达式越简单，实现电路越简单，电路工作越稳定可靠。BCCBCBBCCBAABCCBBCAABCF)()(1BAGEBCDABAF)(1BABCDBADABADBCDABADCDBAF)()(2CABCABABCBAABCBCAABF)(DCBADBACBADBACBADBACCBADCBDCACBAF)()( 利用公式（），为某一项配上其所缺的变量，利用公式（），为某一项配上其

5、所缺的变量，以便用其它方法进行化简。以便用其它方法进行化简。CACBBABBCAACBCBACBABCACBACBACBBACCBACBAACBBABACBCBBAF)()1 ()1 ()()(BCACABBCAABCCBAABCCABABCBCACBACABABCF)()()( 设有设有 n 个变量，它们组成的与项中每个变量或以原变量或个变量，它们组成的与项中每个变量或以原变量或以反变量形式出现一次，且仅出现一次，此与项称之为以反变量形式出现一次，且仅出现一次，此与项称之为 n 个变个变量的最小项。对于量的最小项。对于 n 个变量就可构成个变量就可构成 2n个最小项，分别记为个最小项，分别记

6、为 mn； 其中下标值其中下标值 n：当各最小项变量按一定顺序排好后，用：当各最小项变量按一定顺序排好后，用 1 代替其中的原变量，代替其中的原变量， 0 代替其中的反变量，便得一个二进制数，代替其中的反变量，便得一个二进制数，该二进制数的等值十进制即为该二进制数的等值十进制即为 n的值。的值。 例如：例如： 三变量的三变量的 8 个最小项可以表示为：个最小项可以表示为：ABC = m0 ABC = m1 ABC = m2 ABC = m3ABC = m4 ABC = m5 ABC = m6 ABC = m7 同理，两变量有同理，两变量有4个最小项：个最小项：00（m0），），01（m1），）

7、，10（m2），），11（m3）；四变量有）；四变量有16个最小项个最小项m0m15.m0m1m2m3m4m5m6m7A B C A B CA B CA B C A B CA B C A B CA B C00000101001110010111011101234567编号编号最小项最小项A B C序号序号 逻辑函数被表达成一系列乘积项之和，则称之逻辑函数被表达成一系列乘积项之和，则称之为为表达式。表达式。 如果构成函数的如果构成函数的“与或与或”表达式中每一个乘积表达式中每一个乘积项项(与项与项)均为最小项时，则这种表达式称之为均为最小项时，则这种表达式称之为，且这种表示是且这种表示是。如：如

8、：F(A,B,C) = AC + AB + BC = ABC + ABC + ABC + ABC = m2 m3 m5 m7 = m(2,3,5,7) 卡诺图是逻辑函数真值表的一种图形表示，卡诺图原则上不受卡诺图是逻辑函数真值表的一种图形表示，卡诺图原则上不受变量个数的限制，利用卡诺图可以有规律地化简逻辑函数表达式，变量个数的限制，利用卡诺图可以有规律地化简逻辑函数表达式，并能直观地写出逻辑函数的最简式。并能直观地写出逻辑函数的最简式。 卡诺图是一种平面方格阵列图，它将最小项按相邻原则排列到卡诺图是一种平面方格阵列图，它将最小项按相邻原则排列到小方格内。卡诺图的画图规则：小方格内。卡诺图的画图

9、规则：。m0m1m2m3AB0101两变量的卡诺图两变量的卡诺图三变量的卡诺图三变量的卡诺图m0m1m4m5ABC000101m3m2m7m61110四变量的卡诺图四变量的卡诺图m0m1m4m5ABCD00010001m3m2m7m61110m12m13m8m9m15m14m11m101110 F = m1 + m2 + m5 + m7 ，其真值表和卡诺图标注如下：其真值表和卡诺图标注如下：01324576 BCA11110001111001 把给定的逻辑函数化为最小项标准式；把给定的逻辑函数化为最小项标准式； 按变量数画出相应卡诺图；按变量数画出相应卡诺图；把最小项标准式中含有的最小项在方格

10、把最小项标准式中含有的最小项在方格内标内标“1” 所有标有所有标有“1”的小方格就是该逻辑函的小方格就是该逻辑函数中的项。数中的项。行号行号ABCFmi012345670 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 101100101m0m1m2m3m4m5m6m7 F1 = AC + ABC + BC 将函数化为标准式，即：将函数化为标准式，即： F1 = ABC + ABC + ABC + ABC + ABC = m1 + m4 + m5 + m6 + m7 = m (1,4,5,6,7) F1的卡诺图如下：的卡诺图如下：m0m1m4m5ABC000101m3

11、m2m7m6111011111F2 = ABC + AC + BCm0m1m4m5ABC000101m3m2m7m6111011111 2个小方格相邻时，可以合并为一项，同时消去一个互非的变量；个小方格相邻时，可以合并为一项，同时消去一个互非的变量；4个小方格组成一个大方块，或组成一行（列），或在相邻两行（列）个小方格组成一个大方块，或组成一行（列），或在相邻两行（列）的两端，或处于四角时，可以合并为一项，同时消去两个互非的变的两端，或处于四角时，可以合并为一项，同时消去两个互非的变量；量；8个小方格组成一个长方形，或处于两边的两行（两列），可合个小方格组成一个长方形，或处于两边的两行（两列）

12、，可合并为一项，同时消去三个互非的变量；如果逻辑变量为并为一项，同时消去三个互非的变量；如果逻辑变量为5个或个或5个以个以上时，在用卡诺图化简时，合并的小方格应组成正方形或长方形，上时，在用卡诺图化简时，合并的小方格应组成正方形或长方形，同时满足相邻原则（不一定是几何上的相邻）。同时满足相邻原则（不一定是几何上的相邻）。 根据变量的数目，画出函数的卡诺图；根据变量的数目，画出函数的卡诺图； 合并最小项，即把可以合并的最小项用卡诺圈圈起来；合并最小项，即把可以合并的最小项用卡诺圈圈起来； 按每个圈作为一个乘积项，将各乘积项相加，写出化简后的按每个圈作为一个乘积项，将各乘积项相加，写出化简后的 与

13、或表达式。与或表达式。化简化简 F1= m(1,3,4,5,9,11,12,13,14,15)第一步：将函数第一步：将函数F1表示在卡诺表示在卡诺图中；图中；第二步：选择出必要极大圈，注意卡诺圈只能圈住相邻的最小项第二步：选择出必要极大圈，注意卡诺圈只能圈住相邻的最小项为为2n，即相邻，即相邻2个方格；个方格；4个方格；个方格；8个方格；个方格；16个方格个方格ABCD00010001111011100111100011011110函数式中含有的最小项用函数式中含有的最小项用“1”标在对应的方格内，标在对应的方格内，其它方格标其它方格标“0”。第三步：消去第三步：消去卡诺圈内互非的变量，写出化

14、简后的与或表达式。卡诺圈内互非的变量，写出化简后的与或表达式。F1=BC+AB+CD+BD化简化简 F2= m(1,2,3,4,5,7,14,15)ABCD00010001111011100111111000001100 F2=ABC+AD+ABC+ABCABC00010111101111F3=A这三个这三个2个方格的卡诺圈各消去一个方格的卡诺圈各消去一个互非的变量个互非的变量D。4个方格的卡诺圈消去两个个方格的卡诺圈消去两个互非的变量互非的变量B和和C。F3=ABC+AB+ABC+ABC 如果一个有如果一个有n个变量的逻辑函数，它的最小项数为个变量的逻辑函数，它的最小项数为2n个，但在个，但

15、在实际应用中可能仅用一部分，另外一部分禁止出现或者出现后对实际应用中可能仅用一部分，另外一部分禁止出现或者出现后对电路的逻辑状态无影响，我们称这部分最小项为无关最小项（也电路的逻辑状态无影响，我们称这部分最小项为无关最小项（也称为约束项），用称为约束项），用d表示。表示。 由于无关最小项对最终的逻辑结果无影响，因此在化简的过程由于无关最小项对最终的逻辑结果无影响，因此在化简的过程中，可以根据化简的需要将这些约束项看作中，可以根据化简的需要将这些约束项看作1或者或者0。约束项在卡诺。约束项在卡诺图中填写时用图中填写时用表示。表示。 用卡诺图化简逻辑函数用卡诺图化简逻辑函数 ：F =m（1，3，5，7，9）+d（10，11，12，13，14，15）1111 1 F=DABCD00 01 11 1000011110 利用约束项化简的过程中，尽量利用约束项化简的过程中，尽量不要将不需要的约束项也画入圈内，不要将不需要的约束项也画入圈内，否则得不到函数的最简形式。否则得不到函数的最简形式。 练习练习1.F AB+AB (C+D) E2.F = AB + A