二元函数连续性的概念有界闭域上连续函数的性质

1、上一页下一页主 页上一页下一页主 页二元函数连续性的二元函数连续性的概念概念有界闭域上连续函有界闭域上连续函数的性质数的性质上一页下一页主 页一、二元函数的连续性概念一、二元函数的连续性概念.| )()(| 00, 00002连连续续在在点点关关于于集集合合则则称称有有时时，）；（，当当，的的孤孤立立点点或或者者是是的的聚聚点点或或者者是是上上的的二二元元函函数数，为为定定义义在在点点集集设设定定义义PDfPfPfDPUPDDDPRDf ），（.,00的连续点的连续点关于关于必定是必定是则则的孤立点的孤立点是是若若DfPDP上一页下一页主 页)()(lim00PfPfDPPP .,00或或间间

2、断断点点的的不不连连续续点点是是不不连连续续，则则称称在在若若fPPf连续等价于连续等价于在在关于关于则则的聚点的聚点是是若若00,PDfDP.上的连续函数上的连续函数为为连续，则称连续，则称上任何点都关于集合上任何点都关于集合在在若若DfDDf.)()(lim,)(lim0000的的可可去去间间断断点点是是则则称称但但存存在在若若fPPfPfPfDPPPDPPP 上一页下一页主 页,),(),(00000yyyxxxDyxPyxP ，设设.),(),( ),( ),(),( ),(0000000000000的的偏偏增增量量在在点点为为函函数数称称Pfyxfyyxfyxfyxfyxxfyxfy

3、x . ),(),( ),(),(),(000000000的的全全增增量量在在点点为为函函数数则则称称Pfyxfyyxxfyxfyxfyxfz . , 0lim0),()0,0(),(连连续续在在点点关关于于则则称称若若PDfzDyxyx 上一页下一页主 页.),(0),(),(lim,0 ),(lim0000000000连连续续在在这这说说明明即即若若xyxfyxfyxxfyxfxxx .),(,0 ),(lim00000连连续续在在则则同同理理若若yyxfyxfyy 上一页下一页主 页.),(),(, ),(000000连连续续在在连连续续在在则则连连续续在在若若yyxf，xyxfyxf.

4、 ),(),(),(000000不不一一定定连连续续在在但但二二元元函函数数连连续续在在连连续续在在若若但但反反过过来来不不一一定定成成立立yxf，yyxf，xyxf，上一页下一页主 页 0, 00, 1),(xyxyyxf)0 , 0(00lim)0 ,(lim00fxfxx )0 , 0(00lim), 0(lim00fyfyy 设设显然显然 f 在原点处不连续在原点处不连续.但但所以所以 f ( x, 0 ) 在在 x =0 连续连续. f ( 0, y ) 在在 y =0 连续连续.上一页下一页主 页与一元函数的性质类似，若二元函数在某一点连续，与一元函数的性质类似，若二元函数在某一点

5、连续，那么在这一点也有局部有界性、局部保号性、有理那么在这一点也有局部有界性、局部保号性、有理运算的各个法则以及复合函数的连续性运算的各个法则以及复合函数的连续性.上一页下一页主 页 .),(),(),().,(),(, ),(),(;,),(),(),( )(7 .1600000000000000也也连连续续在在点点则则复复合合函函数数其其中中点点连连续续并并在在邻邻域域内内有有定定义义的的平平面面上上点点在在函函数数连连续续点点并并在在的的某某邻邻域域内内有有定定义义平平面面上上点点在在和和设设函函数数复复合合函函数数的的连连续续性性定定理理PyxyxfyxgyxvyxuQvuQuvvuf

6、PyxPxyyxvyxu 上一页下一页主 页. 8 .162值值且能取得最大值与最小且能取得最大值与最小上有界，上有界，在在上连续，则上连续，则在有界闭域在有界闭域若函数若函数值定理）值定理）（有界性与最大、最小（有界性与最大、最小定理定理DfRDf 二、有界闭域上连续函数的性质二、有界闭域上连续函数的性质上一页下一页主 页.上有界上有界在在先证先证证证Df使得使得必存在互不相同的必存在互不相同的则对每个正整数则对每个正整数,DPnn ,上无界上无界在在假设假设DfDPn 列列于是得一个有界无限点于是得一个有界无限点,knnPP存在收敛子列存在收敛子列由聚点定理的推论由聚点定理的推论.,.li

7、m000DP，DDPPPknk 知知是闭集是闭集再因再因的聚点的聚点是是所以所以设设, 2 , 1,| )(| nnPfn).()(lim00PfPf，P，Dfknk 有有因此因此也连续也连续当然在点当然在点上连续上连续在在由于由于.上有界上有界在在所以所以相矛盾相矛盾这与不等式这与不等式Df，上一页下一页主 页 .)| )(- )(| ),(,0, 0. 9 .162 QfPfQPDQPDfRDf，就有，就有，只要，只要，使得，使得（即（即一致连续一致连续上上在在上连续，则上连续，则在有界闭域在有界闭域若函数若函数（一致连续性定理）（一致连续性定理）定理定理上一页下一页主 页.)()()(

8、),()( 10.16002121212uPfDPuPfuPfPfPfDPPRDf ，使得，使得，必存在点，必存在点的实数的实数则对任何满足不等式则对任何满足不等式且且中任意两点，中任意两点，为为，上连续，若上连续，若在区域在区域设函数设函数（介值性定理）（介值性定理）定理定理上一页下一页主 页P.105 习题习题66. 若若 在某一区域在某一区域 内对变量内对变量 为连续，对为连续，对变量变量 满足李普希兹条件，即对任何满足李普希兹条件，即对任何有有其中其中 为常数，则此函数在为常数，则此函数在 内连续。内连续。),(yxfxyGyxGyx ),( ,),(| ),(),(|yyLyxfyxf GGL上一页下一页主 页 | ),(),(|, 0, 0),(0001010y