§3初等函数的连续性ppt课件

1、3 3 初初 等等 函函 数数 的的 连连 续续 性性教教 学学 要要 求求1 1理解指数函数、对数函数与实指数幂函数的定义及其连续性理解指数函数、对数函数与实指数幂函数的定义及其连续性2 2理解一切初等函数在其定义区间上是连续的理解一切初等函数在其定义区间上是连续的3 3会用初等函数的连续性求函数的极限会用初等函数的连续性求函数的极限3 3 初等函数的连续性初等函数的连续性一、基本初等函数与初等函数一、基本初等函数与初等函数基本初等函数基本初等函数 常量函数常量函数 : :( ),(f xc c 为常数为常数) )幂函数幂函数 : :0( ),(,f xxx 为实数为实数) )指数函数指数函

2、数 : :01( ),(,)xf xaaa对数函数对数函数 : :01( )log,(,)af xx aa三角函数三角函数: : ( )sin ,( )cos ,( )tan ,( )cotf xx f xx f xx f xx 反三角函数反三角函数: :( )sin ,( )cos ,f xarcx f xarcx ( )tan ,( )cotf xarcx f xarcx 初等函数初等函数: : 由基本初等函数经有限次四则运算和复合运算所得的函数由基本初等函数经有限次四则运算和复合运算所得的函数. . 知知: :三角函数、反三角函数、有理指数幂函数在其定义域连续三角函数、反三角函数、有理指

3、数幂函数在其定义域连续. .二、指数函数的连续性二、指数函数的连续性指数函数指数函数 : :01( ),(,)xf xaaa当当x为有理数时为有理数时,xa已定义已定义(意义明确意义明确).设设0,a 当当, 为有理数时为有理数时: :,().aaaaa 当当x为无理数时，定义为无理数时，定义:sup|inf|rxr xrr xaraar 为有理数为有理数, ,1a .为有理数为有理数, ,01a .已证已证:当当1a 时时,( )xf xa 单调递增单调递增;当当01a 时时,( )xf xa 单调递减单调递减.性质性质:不妨设不妨设1.a sup|rraar 为有理数为有理数 0, 存在有

4、理数存在有理数,r 使得使得.raa sup|rraar 为有理数为有理数 0, 存在有理数存在有理数,s 使得使得.saa 定理定理4.10 4.10 设设0,a 为任意实数为任意实数, ,则有则有,().aaaaa 先证先证: :.aaa 即要证即要证aaa 且且.aaa 不妨设不妨设1.a 由定义由定义0, 存在有理数存在有理数,r 使得使得.raa 存在有理数存在有理数,s 使得使得.saa 因因xa单调递增单调递增, , ,rs 得得.rsaa 而而,rsrsaaa 故得故得()(),aaa 2(),aaaaa 由由 的任意性的任意性, ,得得.aaa 同理同理, ,设设p为有理数为

5、有理数, ,且且,p 使得使得.paa 再取有理数再取有理数,rs以及以及,prs 则有则有prsrsaaaaaa 故得到故得到,aaa 由由 的任意性得的任意性得.aaa 所以有所以有.aaa 定理定理4.11指数函数指数函数01( )(,)xf xaaa在在R上连续上连续.证证: 先设先设1.a 由第三章由第三章2例例4知知001lim,xxaa 故故( )xf xa 在在0 x 连续连续.设设0,xR 0000()( ),xx xxx xxf xaaaa 令令0,txx那么那么0,xx有有0.t 故故0000000lim( )limlim.xx xxxtxxxxtf xaaaaa故故0(

6、 )xf xaxx在连续连续.当当01a时时,设设1,ab则有则有1.b ( ).xxf xab可视为可视为ubux 与的复合函数的复合函数.由连续函数的复合函数的连续性可得由连续函数的复合函数的连续性可得( )xf xa在在R R连续连续. .三、初等函数的连续性三、初等函数的连续性由定理由定理4.11, 指数函数指数函数01( )(,)xf xaaa在在R上连续上连续.由连续函数的反函数的连续性得由连续函数的反函数的连续性得,对函数对函数logayx 在在(0,)连续连续.又又yx 可表示为可表示为ln,xyxe 故在故在(0,)连续连续.定理定理4.12 一切基本初等函数都是其定义域上的连续函数一切基本初等函数都是其定义域上的连续函数.定理定理4.13 任何初等函数都是其定义域上的连续函数任何初等函数都是其定义域上的连续函数.例例8设设000lim ( ),lim ( ).xxxxu xav xb 证明证明:0( )lim ( ).v xbxxu xa 证证:补充定义补充定义0(),u xa 0(),v xb 那么那么( ), ( )u x v x都在都在0 x连续连续.从而从而00( )( )ln ( )lim ( )limv xv xu xxxxxu xe ln.babea 例例