大一高数第八章8-1-1多元函数的基本概念ppt课件

1、推广推广第八章第八章 一元函数微分学一元函数微分学 多元函数微分学多元函数微分学 注意注意: 善于类比善于类比, 区别异同区别异同多元函数微分法多元函数微分法 及其应用及其应用 第八章 第一节第一节一、区域一、区域二、多元函数的概念二、多元函数的概念三、多元函数的极限三、多元函数的极限四、多元函数的连续性四、多元函数的连续性多元函数的基本概念多元函数的基本概念 （1 1邻域邻域一、多元函数的概念一、多元函数的概念0P ),(0 PU |0PPP .)()(| ),(2020 yyxxyx )(0oPPU 00PP说明：若不需要强调邻域半径说明：若不需要强调邻域半径 , ,也可写成也可写成. )

2、(0PU点点 的去心邻域记为的去心邻域记为0P（2 2区域区域.)(的的内内点点为为则则称称，的的某某一一邻邻域域一一个个点点如如果果存存在在点点是是平平面面上上的的是是平平面面上上的的一一个个点点集集，设设EPEPUPPE .EE 的的内内点点属属于于EP .为开集为开集则称则称的点都是内点，的点都是内点，如果点集如果点集EE41),(221 yxyxE例如，例如，即为开集即为开集EP 的的边边界界点点为为），则则称称可可以以不不属属于于，也也本本身身可可以以属属于于的的点点（点点也也有有不不属属于于的的点点，于于的的任任一一个个邻邻域域内内既既有有属属如如果果点点EPEEPEEPEP 的的

3、边边界界的的边边界界点点的的全全体体称称为为EE是是连连通通的的开开集集，则则称称且且该该折折线线上上的的点点都都属属于于连连结结起起来来，任任何何两两点点，都都可可用用折折线线内内是是开开集集如如果果对对于于设设DDDD 连通的开集称为区域或开区域连通的开集称为区域或开区域.41| ),(22 yxyx例如，例如，xyo.41| ),(22 yxyx例如，例如，xyo则则称称为为无无界界点点集集为为有有界界点点集集，否否成成立立，则则称称对对一一切切即即，不不超超过过间间的的距距离离与与某某一一定定点点，使使一一切切点点如如果果存存在在正正数数对对于于点点集集EEPKAPKAPAEPKE 0

4、| ),( yxyx有界闭区域；有界闭区域；无界开区域无界开区域xyo41| ),(22 yxyx例如，例如，xyo（3聚点聚点 设设 E 是是平平面面上上的的一一个个点点集集，P 是是平平面面上上的的一一个个点点，如如果果点点 P 的的任任何何一一个个邻邻域域内内总总有有无无限限多多个个点点属属于于点点集集 E，则则称称 P 为为 E 的的聚聚点点. 内点一定是聚点；内点一定是聚点； 边界点可能是聚点；边界点可能是聚点；10| ),(22 yxyx例例(0,0)既是边界点也是聚点既是边界点也是聚点 点集点集E的聚点可以属于的聚点可以属于E，也可以不属于，也可以不属于E10| ),(22 yx

5、yx例如例如,(0,0) 是聚点但不属于集合是聚点但不属于集合1| ),(22 yxyx例如例如,边界上的点都是聚点也都属于集合边界上的点都是聚点也都属于集合（3 3n n维空间维空间 n n维空间的记号为维空间的记号为;nR n n维空间中两点间距离公式维空间中两点间距离公式 .)()()(|2222211nnxyxyxyPQ 特殊地当特殊地当 时，便为数轴、平面、空间两点时，便为数轴、平面、空间两点间的距离间的距离3, 2, 1 n),(21nxxxP),(21nyyyQ设两点为设两点为 n n维空间中邻域、区域等概念维空间中邻域、区域等概念 nRPPPPPU ,|),(00 内点、边界点

6、、区域等概念也可定义内点、边界点、区域等概念也可定义邻域：邻域：二、多元函数的概念二、多元函数的概念 引例引例: : 圆柱体的体积 定量理想气体的压强,2hrV ,(为为常常数数）RVTRp 0, 0),( hrhr 0, 0),(TTVTV 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 hr（1 1二元函数的定义二元函数的定义类似地可定义三元及三元以上函数类似地可定义三元及三元以上函数D称为该函数的定义域，称为该函数的定义域，yx,称为自变量，称为自变量，z称为因变量称为因变量数集数集 DyxyxfzzW ),(),(称为函数的值域称为函数的值域),(yxfz 在在),(00yx点的值记为点的值记为)

7、,(0000yxfzyyxx或或 例例1 1 求求 的定义域的定义域222)3arcsin(),(yxyxyxf 解解 013222yxyx 22242yxyx所求定义域为所求定义域为., 42| ),(222yxyxyxD 是有界闭区域是有界闭区域例如例如)ln(yxz 的定义域的定义域 0),( yxyxD是无界开区域是无界开区域xyoxyzln 的定义域的定义域不是区域不是区域 0),( xyyxD（2 2） 二元函数二元函数 的图形的图形),(yxfz 二元函数的图形二元函数的图形通常是一张曲面通常是一张曲面. .xyzsin 图形如右图图形如右图. .例如例如, ,xyzo例如例如,

8、 ,2222azyx 左图球面左图球面. .),(222ayxyxD 222yxaz .222yxaz 单值分支单值分支: :),(yxfz ),(,000yxPDD定义定义1 1 设函数设函数的定义域为的定义域为是是的内点或边界点，假如的内点或边界点，假如 P以任何方式无限以任何方式无限趋近于趋近于0P时，时，函数的对应值总是无限趋近于函数的对应值总是无限趋近于某一个确定的常数某一个确定的常数,A),(yxfz 0 xx0yyAyxfyyxx ),(lim00) 0(),( Ayxf|0PP 则称则称A A为函数为函数当当记为记为 或或这里这里三、多元函数的极限三、多元函数的极限时的极限时的

9、极限说明：说明：（1 1定义中定义中 的方式是任意的；的方式是任意的；0PP （2 2二元函数的极限也叫二重极限二元函数的极限也叫二重极限);,(lim00yxfyyxx（3 3二元函数的极限运算法则与一元函数类似二元函数的极限运算法则与一元函数类似例例2 2 求证求证 证证01sin)(lim222200 yxyxyx01sin)(2222 yxyx22221sinyxyx 22yx , 0 , 当当 时，时， 22)0()0(0yx 01sin)(2222yxyx原结论成立原结论成立例例3 3 求极限求极限 .)sin(lim22200yxyxyx 解解22200)sin(limyxyxy

10、x ,)sin(lim2222200yxyxyxyxyx 其中其中yxyxyx2200)sin(limuuusinlim0, 1 222yxyx x21 , 00 x. 0)sin(lim22200 yxyxyxyxu2 值或有的极限不存在，值或有的极限不存在，则可以断定函数极限不存在则可以断定函数极限不存在 . .例例4. 4. 讨论函数讨论函数函数趋于不同函数趋于不同 若当点 以不同方式趋于以不同方式趋于,),(000时时yxP),(yxP),(yxP解解: : 设设 沿直线沿直线 趋于点趋于点 , , 则有则有kxy )0 , 0(22),(yxyxyxf 在点在点 的极限的极限. .)

11、0 ,0(222200lim),(limxkxxkyxfxkxyx 21kk 值不同极限不同值不同极限不同 ! !k),(yxf故故在在 点极限不存在点极限不存在 . .)0 , 0(例例4 4 证明证明 不存不存在在 证证26300limyxyxyx 取取,3kxy 26300limyxyxyx 6263303limxkxkxxkxyx ,12kk 其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，故极限不存在故极限不存在不存在不存在.观察观察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 播放播放确定极限不存在的方法：确定极限不存在的方法：利用点函数的形式有利用点函数的形式有四、多元函数

12、的连续性四、多元函数的连续性定义定义3 3对二元函数对二元函数),( yxf，假如假如),(),(lim0000yxfyxfyyxx 则称函数则称函数),( yxf在点在点),(000yxP处连续处连续.例如例如, , 函数函数 0,00,),(222222yxyxyxyxyxf又如又如, , 函数函数11),(22 yxyxf上间断上间断. .122 yx在圆周在圆周在点在点 极限不存在极限不存在, , )0 , 0( 故 为其间断点.)0 , 0(注注1 1）（2）二元连续函数是一个无孔无缝的曲面二元连续函数是一个无孔无缝的曲面如果函数在如果函数在 上各点处都连续上各点处都连续, , 则称

13、此函数在则称此函数在 上上连续连续DD例例5 5 讨论函数讨论函数 )0 , 0(),(, 0)0 , 0(),(,),(2233yxyxyxyxyxf在在(0,0)处的连续性处的连续性解解 取取,cos x sin y)0 , 0(),(fyxf )cos(sin33 2 2)0 , 0(),(fyxf故函数在故函数在(0,0)处连续处连续.),0 , 0(),(lim)0,0(),(fyxfyx , 0 ,2 当当 时时 220yx例例6 6 讨论函数讨论函数 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf在在(0,0)的连续性的连续性解解取取kxy 2200limyxxyyx 22

14、220limxkxkxkxyx 21kk 其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，极限不存在极限不存在故函数在故函数在(0,0)处不连续处不连续闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质（1 1最大值和最小值定理最大值和最小值定理 在有界闭区域在有界闭区域 上的多元连续函数，在上的多元连续函数，在 上至少取上至少取得它的最大值和最小值各一次得它的最大值和最小值各一次DD 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数，如果在上的多元连续函数，如果在D D上取得上取得两个不同的函数值，则它在两个不同的函数值，则它在D D上取得介于这两值之间的任上取得介于这两值之间的任何值至少一次何值至少一次

15、（2 2介值定理介值定理多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数的多元函数叫多元初等函数例如例如221 yyxxz )sin(yxz )1ln(yxz 等都是二元初等函数等都是二元初等函数).()(lim)()()()(lim00000PfPfPPfPfPPfPfPPPP 处连续，于是处连续，于是点点在在的定义域的内点，则的定义域的内点，则是是数，且数，且是初等函是初等函时，如果时，如果一般地，求一般地，求一切多元初等函

16、数在其定义区域内是连续的一切多元初等函数在其定义区域内是连续的定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域例例.11lim00 xyxyyx 求求解解)11(11lim00 xyxyxyyx原式原式111lim00 xyyx.21 多元函数极限的概念多元函数极限的概念多元函数连续的概念多元函数连续的概念闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质（注意趋近方式的任意性）（注意趋近方式的任意性）五、小结多元函数的定义多元函数的定义思考题思考题思考题解答思考题解答不能不能. .例例,)(),(24223yxyxyxf )0 , 0(),(yx取取,kxy 244

17、2223)(),(xkxxkxkxxf 00 x但是但是 不存在不存在. .),(lim)0 , 0(),(yxfyx原因为若取原因为若取,2yx 244262)(),(yyyyyyf .41练练 习习 题题)0()(22 yyyxxyf )(xf22),(yxxyyxf ),(yxf)1ln(4222yxyxz 3、假设、假设,那么那么_.,那么那么_.的定义域是的定义域是_.4、假设、假设函数函数一一、 1 1、 ),(2yxft； 2 2、1213 , , ),(yxf； 3 3、 xx21 ； 4 4、 yyx 112； 5 5、 xyyxyx4, 10),(222 ； 6 6、 yx

18、yxyx 2, 0, 0),(； 7 7、 xyxxyx , 0),( xyxxyx , 0),(； 8 8、 02),(2 xyyx. .二二、1 1、41 ； 2 2、0 0； 3 3、 . .练习题答案练习题答案不存在不存在.观察观察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 观察观察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 不存在不存在.观察观察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 不存在不存在.观察观察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 不存在不存在.观察观察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 不存在