高等数学-D1习题课(黑白)

1、整理版ppt1二、二、 连续与间断连续与间断 一、一、 函数函数 三、三、 极限极限 习题课习题课函数与极限函数与极限 第一章第一章 整理版ppt2)(xfy yxOD一、一、 函数函数1. 概念概念定义定义:Df :R)(DfDxxfyyDf, )()( 定义域定义域 值域值域图形图形:DxxfyyxC, )(),( 一般为曲线一般为曲线 )设设函数为特殊的映射函数为特殊的映射:其中其中DR 整理版ppt32. 特性特性有界性有界性 , 单调性单调性 , 奇偶性奇偶性 , 周期性周期性3. 反函数反函数)(:DfDf设函数设函数为单射为单射, 反函数为其逆映射反函数为其逆映射DDff)(:1

2、4. 复合函数复合函数给定函数链给定函数链)(:11DfDf1)(:DDgDg则复合函数为则复合函数为 )(:DgfDgf5. 初等函数初等函数有限个有限个常数及基本初等函数常数及基本初等函数经经有限次有限次四则运算与四则运算与复合而成的复合而成的一个一个表达式的函数表达式的函数.)(1DfD)(Dgg1Dfgf 整理版ppt4思考与练习思考与练习1. 下列各组函数是否相同下列各组函数是否相同 ? 为什么为什么? )arccos2cos()() 1 (xxf 1 , 1, 12)(2xxx与axaaxxxf,)()2(2)(21)(xaxax与0,0,0)()3(xxxxf)()(xffx 与

3、相同相同相同相同相同相同整理版ppt52. 下列各种关系式表示的下列各种关系式表示的 y 是否为是否为 x 的函数的函数? 为什么为什么?1sin1) 1 (xy, 0,cos,sinmax)2(2xxxy22,arcsin)3(xuuy不是不是40 x,cosx24 x,sin x是是不是不是提示提示: (2)y整理版ppt60 x0,10,1)()4(33xxxxxf0, 10, 1)()2(xxxf1,41,2)()3(xxxf,2xx1, 11, 13xx1) 1(32xx,16x1xRx3. 下列函数是否为初等函数下列函数是否为初等函数 ? 为什么为什么 ?0,0,)() 1 (xx

4、xxxf2x以上各函数都是初等函数以上各函数都是初等函数 .整理版ppt74. 设设,0)(,1)(,e)(2xxxfxfx且求求)(x及其定义域及其定义域 .5. 已知已知8,)5(8,3)(xxffxxxf, 求求. )5(f6. 设设,coscsc)sin1(sin22xxxxf求求. )(xf由由)(2exx1得得,)1ln()(xx0,(x,e)(fx2xf)(x4. 解解:e)(x2整理版ppt8 f5. 已知已知8,)5(8,3)(xxffxxxf, 求求. )5(f解解:)5(f)( f310)10(f)(7f f)12(f)( f312)(9f66. 设设,coscsc)si

5、n1(sin22xxxxf求求. )(xf解解:1sinsin1)sin1(sin22xxxxf3)sin1(sin2xx3)(2xxf整理版ppt9二、二、 连续与间断连续与间断1. 函数连续的等价形式函数连续的等价形式)()(lim00 xfxfxx)()(,000 xfxxfyxxx0lim0yx)()()(000 xfxfxf,0,0,0时当 xx有有)()(0 xfxf2. 函数间断点函数间断点第一类间断点第一类间断点第二类间断点第二类间断点可去间断点可去间断点跳跃间断点跳跃间断点无穷间断点无穷间断点振荡间断点振荡间断点整理版ppt10有界定理有界定理 ; 最值定理最值定理 ; 零点

6、定理零点定理 ; 介值定理介值定理 .3. 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质例例1. 设函数设函数)(xf,2)cos1 (xxa0 x,10 x, )(ln2xb0 x在在 x = 0 连续连续 , 则则 a = , b = .提示提示:20)cos1 (lim)0(xxafx2a221cos1xx)(lnlim)0(20 xbfxblnbaln122e整理版ppt11) 1)(e)(xaxbxfx有无穷间断点有无穷间断点0 x及可去间断点及可去间断点, 1x解解:为无穷间断点为无穷间断点,0 x) 1)(elim0 xaxbxx所以所以bxaxxxe) 1)(lim0ba101

7、,0ba为可去间断点为可去间断点 ,1x) 1(elim1xxbxx极限存在极限存在0)(elim1bxxeelim1xxb例例2. 设函数设函数试确定常数试确定常数 a 及及 b .整理版ppt12例例3. 设设 f (x) 定义在区间定义在区间),(上上 ,有yx,)()()(yfxfyxf, 若若 f (x) 在在连续连续,0 x提示提示:)(lim0 xxfx)()(lim0 xfxfx)0()(fxf)0( xf)(xf阅读与练习阅读与练习且对任意实数且对任意实数证明证明 f (x) 对一切对一切 x 都连续都连续 .P65 题题 1 , 3(2) ; P74 题题 * *6整理版p

8、pt13证证:P74 题题* *6. 证明证明: 若若 令令,)(limAxfx则给定则给定,0,0X当当Xx 时时, 有有AxfA)(又又, ,)(XXCxf根据有界性定理根据有界性定理,01M, 使使,)(1XXxMxf取取1,maxMAAM则则),(,)(xMxf)(xf在在),(内连续内连续,)(limxfx存在存在, 则则)(xf必在必在),(内有界内有界.)(xfXXA1MOyx整理版ppt140)()()(212xfxff上连续上连续 , 且恒为正且恒为正 ,例例4. 设设)(xf在在,ba对任意的对任意的, ),(,2121xxbaxx必存在一点必存在一点证证:, ,21xx使

9、使. )()()(21xfxff令令)()()()(212xfxfxfxF, 则则,)(baCxF)()(21xFxF)()()(2112xfxfxf)()()(2122xfxfxf)()(21xfxf221)()(xfxf0使使,)()(21时当xfxf,0)(xf,0)()(21xFxF故由零点定理知故由零点定理知 , 存在存在, ),(21xx,0)(F即即. )()()(21xfxff,)()(21时当xfxf,21xx或取)()()(21xfxff证明证明:, 0)(F则有即即 整理版ppt15上连续上连续, 且且 a c d b ,例例5. 设设)(xf在在,ba必有一点必有一点证

10、证:, ,ba使使)()()()(fnmdfncfm, ,)(baCxfMbaxf上有最大值在,)()()(dfncfm)()()(fnmdfncfm即即由介值定理由介值定理,使存在, ,ba证明证明:Mnmdfncfmm)()()()()()(fnmdfncfm,m及最小值故故 即即 mnm)(Mnm)(整理版ppt16三、三、 极限极限1. 极限定义的等价形式极限定义的等价形式 (以以 为例为例 )0 xx Axfxx)(lim00)(lim0Axfxx(即即 为无穷小为无穷小)Axf)(, )(0 xxxnnn有有Axfnn)(limnx,0 xAxfxf)()(002. 极限存在准则及

11、极限运算法则极限存在准则及极限运算法则整理版ppt173. 无穷小无穷小无穷小的性质无穷小的性质 ; 无穷小的比较无穷小的比较 ;常用等价无穷小常用等价无穷小: 4. 两个重要极限两个重要极限 6. 判断极限不存在的方法（函数极限与数列极限关系）判断极限不存在的方法（函数极限与数列极限关系） sin xxtanxxcos1x221xarctanxxarcsin xx)1ln(xx1e xx1xaaxln1)1 (xx5. 求极限的基本方法求极限的基本方法 ( 极限运算法则，变形为重要极限）极限运算法则，变形为重要极限）1sinlim) 1 (01)11 (lim)2(0或或10lim(1)e注

12、注: 代表相同的表达式代表相同的表达式整理版ppt18例例6. 求下列极限：求下列极限：)sin1(sinlim) 1 (xxxxxxsin112lim)2(xxxxcot110lim)3(提示提示: xxsin1sin) 1 (21cos21sin2xxxx21cos)1(21sin2xxxx无穷小无穷小有界有界整理版ppt19令令1lim)2(x1 xt0limt) 1(sin)2(ttt0limttttsin)2( 0limtttt)2( 2xxsin12整理版ppt200lim)3(xxxxcot110limxxxxcot)121(exxxx1212)1(ln2e则有则有)()(1li

13、m0 xvxxxu复习复习: 若若,0)(lim0 xuxx,)(lim0 xvxxe)(1ln)(lim0 xuxvxxe)()(lim0 xuxvxx)(lim12sincos0 xxxxx1整理版ppt21Oxy331xy例例7. 确定常数确定常数 a , b , 使使0)1(lim33bxaxx解解: 原式可变形为原式可变形为0)1(lim313xbxxax0)1(lim313xbxxa故故,01a于是于是,1a而而)1(lim33xxbx2333231)1 (1limxxxxx0 xy整理版ppt22例例9. 当当0 x时时,32xx 是是x的几阶无穷小的几阶无穷小?解解: 设其为设

14、其为 x 的的 k 阶无穷小阶无穷小,则则kxxxx320lim0C因因kxxxx320lim3320limkxxxx 330)1 (lim2321xxkx故故61k整理版ppt23阅读与练习阅读与练习1. 求求的间断点的间断点, 并判别其类型并判别其类型.解解:) 1)(1(sin)1 ()(xxxxxxf) 1)(1(sin)1 (lim1xxxxxx1sin21 x = 1 为第一类为第一类可去间断点可去间断点)(lim1xfx x = 1 为第二类为第二类无穷间断点无穷间断点, 1)(lim0 xfx1)(lim0 xfx x = 0 为第一类为第一类跳跃间断点跳跃间断点整理版ppt24 2. 求求.sine1e2lim410 xxxxx解解:xxxxxsine1e2lim410 xxxxxxsin1ee2lim4340e1xxxxxsine1e2lim