高等数学八章无穷级数及其应用ppt课件

1、无穷级数及其运用无穷级数及其运用 第八章第八章第八章第八章知识目的：知识目的：了解无穷级数概念和性质了解无穷级数概念和性质了解级数审敛法了解级数审敛法掌握判别数项级数敛散性的审敛法掌握判别数项级数敛散性的审敛法掌握幂级数展开式及其运用掌握幂级数展开式及其运用才干目的：才干目的：会求幂级数的收敛域会求幂级数的收敛域能将函数展开为幂级数能将函数展开为幂级数会运用函数幂级数展开式会运用函数幂级数展开式能运用能运用MATLABMATLAB软件进展级数运算软件进展级数运算第一节第一节 数项级数的概念数项级数的概念 一、数项级数的概念一、数项级数的概念第一节第一节 数项级数的概念数项级数的概念 第一节第一

2、节 数项级数的概念数项级数的概念 数项级数及其敛散性数项级数及其敛散性定义定义8.1 假设给定一个无穷数列假设给定一个无穷数列 ，那么由，那么由该数列构成的表达式该数列构成的表达式叫做叫做(数项数项)无穷级数，简称无穷级数，简称(数项数项)级数，记作级数，记作其中第其中第 项项 叫做级数叫做级数 的普通项。的普通项。nu123nuuuu+1231+nnnuuuuu+nnu1nnu第一节第一节 数项级数的概念数项级数的概念 无穷级数是无穷多个数累加的结果。前面关于计算圆面积的方法通知我们，可以先求有限项的和，然后运用极限的方法来处理这个无穷多项的累加问题。 既然用到了极限，就必然要讨论敛散性的问

3、题：什么是一个级数收敛或发散)？如何断定一个级数是收敛的或发散的？一个收敛的级数具有什么性质？ 请思索：有限数列的和能称为级数吗？ 第一节第一节 函数及其性质函数及其性质第一节第一节 数项级数的概念数项级数的概念 定义定义8.2 对于无穷级数对于无穷级数 ，其前，其前 项之和项之和 称为该级数的部分和。假设称为该级数的部分和。假设当当 时，部分和数列时，部分和数列 有极限有极限 ，即，即那么称级数那么称级数 是收敛的，并称是收敛的，并称 为该级数的为该级数的和，即和，即 ； ；假设当；假设当 时，时， 没有极限，那么称此级数是发散的。没有极限，那么称此级数是发散的。 当级数收敛时，级数的和当级

4、数收敛时，级数的和 与它的部分与它的部分和和 之差叫做级数的余项，以之差叫做级数的余项，以 做为做为 的近似的近似值所产生的误差就是这个余项的绝对值值所产生的误差就是这个余项的绝对值 ，即即1nnun123nnSuuuu+n nSlim,nnSSS1nnuS123nSuuuu+n nSSnSnSS12nnnnrSSuu+nr第一节第一节 函数及其性质函数及其性质两个级数和的几何直观图例 1111112482nn1111114166443nn第一节第一节 数项级数的概念数项级数的概念 例例 无穷级数无穷级数 叫做等比级叫做等比级数数(又称几何级数又称几何级数)，其中，其中 ， 叫做级数的公叫做级

5、数的公比。试讨论该级数的敛散性。比。试讨论该级数的敛散性。解：由于部分和解：由于部分和 ，(1)当当 时，时， ， 所以级数收敛，其和等于所以级数收敛，其和等于 。 (2)当当 时，等比级数部分和时，等比级数部分和 没有极限，所以级数是发散的。没有极限，所以级数是发散的。20nnnaqaaqaqaq0a qnS 12-1naaqaqaq(1)1-naqq1q (1)limlim1-nnnnaqSq1aq1aq1q nS请思索：级数0.9+0.09+0.009+0.0009+的和是多少？第一节第一节 数项级数的概念数项级数的概念 1、求 ，可以察看 指数函数的图像， 可得：当 时， ；当 时，

6、不存在。 2、求级数 的和的方法：先求级数 部分和 ，再求极限 。 limnnqxyq1q lim0nnq1q limnnq1nnu1nnu123nnSuuuu+limnnS第一节第一节 数项级数的概念数项级数的概念 例例 判别级数判别级数 的敛散性。的敛散性。 解：由于解：由于 ， 因此因此 ， 从而从而 ，即级数收敛，其和等于，即级数收敛，其和等于1。 例例 证明级数证明级数 是发散的。是发散的。 证明：此级数的部分和为证明：此级数的部分和为 ，显，显然然 ，因此所给的级数是发散的。，因此所给的级数是发散的。11111 22 3(1)nnunnLL111(1)1nunnnn1111 22

7、3(1)nSnn11111(1)()()2231nn111n 1limlim(1)11nnnSn1 23n (1)1232nn nSn limnnS 第一节第一节 数项级数的概念数项级数的概念 二、数项级数的性质二、数项级数的性质性质性质1 假设级数 收敛，其和为 ，那么对任一非零常数 ，级数 也收敛，其和为 。1nnuSC1nnC uCS证明：设级数 与 的部分和分别为 和 ,那么1nnC u1nnunSn12nnnCu CuCuCS+于是 ，所以级数 收敛，其和为 。 limlimlimnnnnnnCSCSCS1nnCuCSnnCS 由 可知，级数的每一项乘以同一个常数后，它的敛散性不变。

8、 第一节第一节 数项级数的概念数项级数的概念 性质性质2 假设级数 和 都收敛,其和分别为 ， ,那么级数 也收敛,且其和为 。 1nnu1nnvS1()nnnuvS 证明证明 设级数设级数 ， 的部分和分别为的部分和分别为 ， ,那么级数那么级数 的部分和的部分和 1nnu1nnvnSn1()nnnuv1122()()()nnnuvuvuv1212()()nnuuuvvvnnS于是 ，所以 也收敛,其和为 limlim()nnnnnSS1()nnnuvS性质性质3 在级数中去掉、加上或改动有限项，不会改动级数的敛散性。 第一节第一节 数项级数的概念数项级数的概念 性质性质4 假设级数 收敛，

9、那么对此级数的项恣意加括号后所成的级数仍收敛，且其和不变。 留意：假设加括号后所成的级数收敛，并不能断定原来的级数也收敛。 例如,级数 收敛于0,但去括号后得到的级数是 发散的。现实上，部分和 。1nnu(1 1)(1 1)(1 1)1 1 1 11 1 10nnSn， 当 为奇数时，当 为偶数时第一节第一节 数项级数的概念数项级数的概念 性质性质5 (级数收敛的必要条件) 假设级数 收敛，那么当 时,它的普通项 趋于零，即 。 证明证明 对于级数对于级数 ,它的普通项可表示为它的普通项可表示为1nnun nulim0nnu1nnu1nnnuSS假设级数 收敛,显然 和 有一样的极限 ，因此

10、1nnunS1nSS11limlim()limlim0nnnnnnnnnuSSSSSS 性质5中的 只是级数 收敛的必要条件而非充分条件，其逆否命题是“假设 ，那么级数 必发散.可以用来证明级数发散。lim0nnu1nnulim0nnu1nnu第一节第一节 数项级数的概念数项级数的概念 被称为调和级数，虽然普通项 ,但它是发散的。 现用反证法证明如下： 假设 收敛,部分和为 ,且 ,显然,该级数的部分和 也有 ,于是 ，但故 ，这与假设 收敛矛盾,因此 发散。 11111234n10()nunn 11nnnS()nSS n 2nS2()nSS n 20()nnSSSSn 21111111122

11、2222nnSSnnnnnn20()nnSSn 11nn11nn请思索：假设 ，级数 一定收敛吗？ lim0nnu1nnu第一节第一节 数项级数的概念数项级数的概念 【小背景】第二节第二节 数项级数的审敛法数项级数的审敛法 一、正项级数及其审敛法一、正项级数及其审敛法1nnu0nu 许多级数的收敛问题可归结为各项均为正数的级数的收敛问题。这种各项均为正数的级数称为正项级数，即数项级数 的各项 。 . 定理定理8.1 正项级数收敛的充分必要条件是：它的部分和数列 有界。nS第二节第二节 数项级数的审敛法数项级数的审敛法 证明： 设级数 收敛于和 ,那么级数 的部分和 1nnv1nnu1212(1

12、,2,3,)nnnSuuuvvvn 即部分和数列 有界,由定理8.1知级数 收敛。 nS1nnu 反之,设级数 发散,那么级数 发散,由于假设 收敛,由本定理 ,知也 收敛,与假设矛盾。1nnu1nnv1nnv1nnu定理定理 (比较审敛法比较审敛法) 设 和 都是正项级数,且 （1）若级数 收敛,则级数 也收敛; （2）若级数 发散,则级数 也发散。(1,2,)nnuv n1nnu1nnu1nnu1nnv1nnv1nnv第二节第二节 数项级数的审敛法数项级数的审敛法 例例 证明级数证明级数 是发散的是发散的11(1)nn n 证明证明 由比较审敛法可知由比较审敛法可知,要证要证 发散发散,只

13、需寻觅一个与之相比普通只需寻觅一个与之相比普通项较小的发散级数项较小的发散级数. 11(1)nn n 由 ,得 ， (1)1n nn111(1)nn n由于级数 是发散的,所以级数 也发散。 111111231nnn11(1)nn n 推论推论(比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式) 设 和 都是正项级数,如果 ,则级数 和 同时收敛或同时发散。 1nnu1nnv1nnvlim(0)nnnullv 1nnu 比较审敛法，比较的是两个级数一般项的大小；得出的结论是一般项大的级数如果收敛，则小的也收敛。而要判断发散只需要写出上述命题的逆否形式即可，就是“一般项小的级数如果发散，则大的也发散。”

14、第二节第二节 数项级数的审敛法数项级数的审敛法 用比较审敛法判别一个级数的敛散性：需求找到另一个比它大的收敛级数来判别其收敛，找另一个比它小的发散级数来判别其发散。 通常被我们用作比较的参考级数是一些知敛散性的级数 (如调和级数，几何级数，P-级数等)。 定理定理 (比值审敛法比值审敛法,达朗贝尔判别法达朗贝尔判别法) 设 为正项级数，且 ，则(1)当 时，级数 收敛;(2)当 时，级数 发散，(3)当 时，级数 可能收敛也可能发散。1nnu1nnu1nnu1nnu1limnnnuu1() 或11第二节第二节 数项级数的审敛法数项级数的审敛法 .例例 判别级数判别级数 的敛散性。的敛散性。解：

15、由于解：由于 ，所以级数发散。，所以级数发散。23555555523nn155155limlimlim5()51(1)51nnnnnnnunnunn例例 判别级数判别级数 的敛散性。的敛散性。 解：由于解：由于 ，所以级数收敛。，所以级数收敛。1()21nnnn1limlim1212nnnnnun 定理定理 (根值审敛法根值审敛法,柯西判别法柯西判别法) 设 为正项级数，且 ，则 (1)当 时，级数 收敛； (2)当 时，级数 发散； (3)当 时，级数 可能收敛也可能发散。limnnnu11() 或1nnu1nnu1nnu1nnu1第二节第二节 数项级数的审敛法数项级数的审敛法 判别正项级数

16、的敛散性，选择恰当的敛散性判别法是关键。普通来说顺序如下： 1首先假设通项不趋向于0，那么级数一定发散。 2思索部分和能否关于有界，假设有界那么收敛，假设无界那么发散。 3根据正项级数的通项的方式选择“比值审敛法、“根值审敛法。 4当“比值审敛法或者“根值审敛法 极限都是1时，可寻觅适宜的级数用“比较审敛法极限方式或“比较审敛法来断定级数的敛散性。 5综合利用收敛级数定义、性质直接断定。 第二节第二节 数项级数的审敛法数项级数的审敛法 二、交错级数及其审敛法二、交错级数及其审敛法 交错级数是指各项为正负交错的级数，可以写成如下方交错级数是指各项为正负交错的级数，可以写成如下方式式 或或 。 1

17、234(0)nuuuuu+-+1234(0)nuuuuu+-+L 交错级数普通可表示为 。11( 1)nnnu定理定理(莱布尼兹判别法莱布尼兹判别法) 如果交错级数 满足条件 (1) ， (2) ，则交错级数 收敛。 11( 1)nnnulim0nnu1(1,2,3,)nnuun11( 1)nnnu请思索：莱布尼兹判别法能用来判别交错级数的发散吗?第二节第二节 数项级数的审敛法数项级数的审敛法 例例 判别以下交错级数的敛散性。判别以下交错级数的敛散性。 (1) ， (2) 解：解： (1)由于由于 为交错级数为交错级数,且且 , ,所以此级数收敛。所以此级数收敛。 (2)由于由于 ,所以交错级

18、数所以交错级数 发散。发散。111( 1)nnn11( 1)nnn111( 1)nnn11(1,2,)1nnn1lim0nn1limlim( 1)0nnnnun11( 1)nnn第二节第二节 数项级数的审敛法数项级数的审敛法 三、绝对收敛与条件收敛三、绝对收敛与条件收敛 假设级数假设级数 为恣意项级数为恣意项级数 ,把级数把级数 的每一项取绝对值就构成一个正项级数的每一项取绝对值就构成一个正项级数 。 例如例如,级数级数 ,由于由于 收敛收敛,所以所以 为为绝对收敛；而绝对收敛；而 收敛收敛,但但 发散发散,所所以以 为条件收敛。为条件收敛。 1nnu()nuR1nnu1nnu1211( 1)

19、nnn1221111( 1)nnnnn1211( 1)nnn111( 1)nnn11111( 1)nnnnn111( 1)nnn 定义定义8.3 若级数 收敛,则称级数 为绝对收敛绝对收敛；若 发散,而 收敛,则称级数 为条件收敛条件收敛。1nnu1nnu1nnu1nnu1nnu第二节第二节 数项级数的审敛法数项级数的审敛法 例例 讨论级数讨论级数 的敛散性假设收敛的敛散性假设收敛,判别其绝对收判别其绝对收敛还是条件收敛敛还是条件收敛?解：解： 为交错级数为交错级数,且有且有 及及 ,由莱布尼由莱布尼兹兹判别法知判别法知 收敛。收敛。由于由于 为为 的的 级数级数,所以所以 发散，发散，综上所

20、述综上所述, 为条件收敛为条件收敛,而不是而不是绝对收敛。绝对收敛。11( 1)nnn11( 1)nnn111nn1lim0nn11( 1)nnn1112( 1)1nnnnn112P 1( 1)nnnP 11( 1)nnn请思索：级数 绝对收敛与条件收敛有什么区别? 1nnu第二节第二节 数项级数的审敛法数项级数的审敛法 证明 设级数 收敛,令 ，显然 且 ,由比较审敛法知 收敛,从而 也收敛,而 ,由比较审敛法可知 收敛。 留意：假设 收敛, 不一定收敛。例如： 收敛，而级数 发散。 1nnu1()(1,2,)2nnnvuun0nv (1,2,)nnvun1nnv12nnv2nnnuvu1n

21、nu1nnu1nnu111( 1)nnn11111( 1)nnnnn定理定理 如果级数 绝对收敛,则级数 必定收敛。1nnu1nnu请思索：假设 收敛,它在什么情况下是绝对收敛?条件收敛?1nnu第二节第二节 数项级数的审敛法数项级数的审敛法 我们可以经过正项级数 的收敛来判别恣意项级数 的收敛。对于一个恣意项级数，假设我们用正项级数的审敛法断定 收敛,那么 收敛，这就使得一大类恣意项级数的收敛判别问题,转化为正项级数的收敛判别问题。但是,当 发散时那么不能断定 发散。 1nnu1nnu1nnu1nnu1nnu1nnu 例例 证明级数证明级数 收敛。收敛。证明：由于证明：由于 ,而而 为为 的

22、的 级数级数,它是收敛的它是收敛的,所以所以 收敛收敛,因此因此 收敛。收敛。41sinnnn44sin1nnn411nn41P P 41sinnnn41sinnnn第二节第二节 数项级数的审敛法数项级数的审敛法 18世纪的数学家不加区分地运用无穷级数，然而在无穷级数收敛性未加证明的情况下，会得到一些可疑或者完全荒唐的结果，这就促使数学家去研讨无穷级数运算的合法性。在1810年前后，Bolzano和Cauchy等数学家建立了级数收敛的正确概念，强调人们必需思索收敛性，并且特别批判了二项式定理的不严密的证明。【小背景】第三节第三节 幂级数幂级数 一、幂级数的概念一、幂级数的概念 1.函数项级数函

23、数项级数 定义定义8.4 我们称为定义在区间 上的函数项无穷级数函数项无穷级数,简称函数项级数函数项级数。 函数项级数具体可表示为下面形式： (8.1)其中， 为定义在区间 上以 为自变量的函数。对于每一个确定的值 ,函数项级数成为常数项级数 (8.2)如果式(8.2)收敛,称点 是函数项级数式(8.1)的收敛点收敛点；如果式(8.2)发散,称点 是函数项级数式(8.1)的发散点发散点；所有I123( )( )( )( )nu xuxuxux( )1,2,nuxn L1020300()()()()nu xuxu xux0 xIIx0 x0 x第三节第三节 幂级数幂级数 收敛点的全体组成的集合称

24、为函数项级数的收敛域收敛域,所有发散点的全体组成的集合称为它的发散域发散域。对应于收敛域内的任一个元素 ,函数项级数式(8.1)都有一个确定的和 ,因此 是定义在收敛域上的函数,称为函数项级数的和函数和函数。( )S x1( )nnux( )S xx 例如：几何级数 是定义在 上的函数项级数, 当 时发散, 当 时收敛级数在收敛域 内的和函数为 231nnnxx xxx1+ +(,) 1x 1x 1( )1S xx( 1,1)请思索：函数项级数 的和函数 在 的函数值 是哪个级数的和?0()S x0 x( )S x1( )nnux第三节第三节 幂级数幂级数 2. 幂级数幂级数定义定义8.5 形

25、如 (8.3)的级数称为幂级数幂级数,其中 及 都是常数, 称为幂级数的系数幂级数的系数。2010200()()()nnaa xxaxxaxx0 x012,na a aa012,a a a 当 时,幂级数式(8.3)成为 (8.4)对于幂级数式(8.3),经过变换 ,就可以转化为(8.4)的方式,因此,不失普通性,我们只讨论形如式(8.4)的幂级数 在级数式(8.4)中,调查它的绝对值级数 , 假设 其中 存在,按正项级数的比值审敛法可知,当 时,级数式(8.4)是绝对收敛的,即当 时,令 ,那么 ，级数式(8.4)在 收敛00 x 2012nnaa xa xa x0txx2012nnaa x

26、a xa x111limlimnnnnnnnnaxaxxaa x1limnnnaa1x01R1limnnnaRa(,)xR R 第三节第三节 幂级数幂级数 定理定理8.7 设有幂级数 ,它的相邻两项的系数满足 ，(1)如果 ,则当 时幂级数收敛,当 时幂级数发散(2)如果 ,则幂级数在 上处处收敛(3)如果 ,则幂级数仅在 处收敛 0nnna x1limnnnaRa0R xRxRR (,) 0R 0 x 定理通知我们：当 时幂级数的收敛域只含有 一个点；当 时,这个幂级数在区间 内收敛,区间称为幂级数的收敛区间, 把 称为幂级数的收敛半径。0R 0 x 0R (,)R R1limnnnaRa第

27、三节第三节 幂级数幂级数 对于收敛区间 端点 ，需将 和 代入幂级数，按数项级数审敛法来断定敛散性，确定收敛域。 (,)R RxR xRxR 例例 求幂级数求幂级数 的收敛半径与收敛域。的收敛半径与收敛域。解解 收敛半径收敛半径 当当 时时,幂级数即为交错级数幂级数即为交错级数 ,级数收敛；级数收敛；当当 时时,幂级数成为幂级数成为 ,级数发散级数发散因此因此,收敛域为收敛域为 。231( 1)23nnxxxxn 111( 1)1limlimlim11( 1)1nnnnnnnannRann1x 11111( 1)23nn 1x 1111111(1)2323nn ( 1,1请思索：幂级数的收敛区

28、间就是其收敛域吗?怎样求幂级数的收敛域? 第三节第三节 幂级数幂级数 例例 求幂级数求幂级数 的收敛域。的收敛域。 解：由于级数短少奇次幂的项，定理不能直接运用。解：由于级数短少奇次幂的项，定理不能直接运用。 假设设假设设 ,那么那么 转化为转化为 ,由于由于 ,所以所以 的收敛半径为的收敛半径为3,即使得即使得 成立的成立的 ,级数收敛级数收敛,从而从而 的收敛半径的收敛半径 ,收敛区间为收敛区间为 时时,此级数为此级数为 ，发散，发散,于是此幂于是此幂级数的收敛域为级数的收敛域为 另解另解 利用比值判别法利用比值判别法 ，24622323413333nnnxxxx2xt2113nnnnx1

29、13nnnnt1113limlim323nnnnnnnana113nnnnt23xtx2113nnnnx3R (3, 3)3x 2111113(1)33nnnnnnnnnxn(3, 3)2222112( )232limlimlim( )3(1)3(1)3nnnnnnnnnxuxnnxxuxnxn第三节第三节 幂级数幂级数 求幂级数收敛区间的方法： (1) 由 得到收敛半径，写出收敛区间 ； (2) 代换法：经过代换把级数化为能用定理方式的幂级数，再求收敛区间； (3) 比值审敛法: 由 ,解不等式 求出收敛区间。 1limnnnaRa(,)R R111limlim1nnnnnnnnaxaxxa

30、a x1x假设级数收敛,那么必有 ,即 时,级数收敛；而 时,此级数为 ，发散。故此级数的收敛区间为 。 213x3x 3x 2111113(1)33nnnnnnnnnxn(3, 3)第三节第三节 幂级数幂级数 二、幂级数的性质二、幂级数的性质 设设 分别在分别在 及及 内收敛内收敛20120( )nnnnnf xa xaa xa xa x20120( )nnnnng xb xbb xb xb x11(,)R R22(,)R R 性质性质1 两个幂级数在 与 中较小的区间内可逐项相加、相减或乘积 22012012( )( )()()nnnnf xg xaa xa xa xbb xb xb x2

31、001122()()()()nnnabab xab xab x11(,)R R22(,)R R22012012( )( )() ()nnnnf xg xaa xa xa xbb xb xb x2000 11 0021 120()()a ba ba b xa ba ba b x第三节第三节 幂级数幂级数 性质性质2 一个幂级数在收敛区间内可以逐项求导和逐项求一个幂级数在收敛区间内可以逐项求导和逐项求积分。即假设积分。即假设那么那么 逐项求导和逐项求积分后所得的幂级数与原级数逐项求导和逐项求积分后所得的幂级数与原级数有一样的收敛半径。有一样的收敛半径。20120( )nnnnnS xa xaa x

32、a xa xLL21123( )23nnS xaa xa xna xLL2310120111( )231xnnS x dxa xa xa xa xnLL例例 利用逐项求导、逐项求积分的方法求以下幂级数的利用逐项求导、逐项求积分的方法求以下幂级数的和函数。和函数。(1) ， (2) 0( 1) (1)nnnnx2111( 1)21nnnxn第三节第三节 幂级数幂级数 解解 (1)可以求得该级数的收敛区间为可以求得该级数的收敛区间为 ,设在设在 内内它的和函数为它的和函数为 , 即即 由于由于 ( )，所以所以 ,即即 (2)可以断定该级数的收敛区间为可以断定该级数的收敛区间为 ,在收敛区间内设在

33、收敛区间内设它的和函数为它的和函数为 ,即即 而而 ，所以所以 ，即即 ( 1,1)( 1,1)( )f x23( )1 234( 1) (1)nnf xxxxnx 410( )( 1)1x23nnxf x dxxxxxxx 11x 201( )( )()1(1)xxf xf x dxxx23201( 1) (1)1234( 1) (1)(1)nnnnnnxxxxnxx LL( 1,1)( )g x35211( )( 1)3521nnxxxg xxn 24122( )1( 1)nng xxxx 211x0( )( )(0)xg t dtg xg2001( )(0)( )0arctan1xxg

34、xgg t dtdxxx213521111( 1)( 1)arctan213521nnnnnxxxxxxnn LL第三节第三节 幂级数幂级数 在对幂级数进展求和函数运算时，经常要参照已学过的常见级数的和函数，比如几何级数 当 时的和函数为 。0nnx1x 11x第三节第三节 幂级数幂级数 三、函数的幂级数展开三、函数的幂级数展开 【案例【案例8.2 自然对数表的生成原理】然对数表查自然对数的值：自然对数表的生成原理】然对数表查自然对数的值：如如 可经过查表得其值为可经过查表得其值为 ,那么这个值是怎样产生的呢？那么这个值是怎样产生的呢？ln20.6931第三节第三节 幂级数幂级数 1.麦克劳林

35、级数麦克劳林级数 普通地，假设普通地，假设 能表示为一个幂级数能表示为一个幂级数,即即 8.5 为求得幂级数的系数为求得幂级数的系数 ,设设 在包含在包含 的的一个区间内恣意阶导数均存在对一个区间内恣意阶导数均存在对(8.5)式两边逐次求导式两边逐次求导,得得 把把 代入以上各式，得代入以上各式，得 ， ， ， ， ， 代入式代入式(8.5),得到幂级数。得到幂级数。( )f x2012( )nnf xaa xa xa x012,na a aa( )f x0 x 21123( )23nnfxaa xa xna x223( )23 2(1)nnfxaa xn na x ( )( )!nnfxn

36、a0 x 0(0)af1(0)af 2(0)2!fa( )(0)!nnfan第三节第三节 幂级数幂级数 定义定义8.6 (8.6)我们称 为的麦克劳林级数麦克劳林级数。 称为余项余项。 ( )2(0)(0)(0)(0)2!nnffffxxxnLL( )f x( )2(0)(0)( )( ) (0)(0)2!nnnffR xf xffxxxn 可以证明，余项 ，其中 是介于0与 之间的一个数,余项 的上述表达式称为拉格朗日型余项。 假设 ,那么幂级数(8.6)收敛于 。(1)1( )( )(1)!nnnfR xxnx( )nR xlim( )0nnR x( )f x定义定义8.7 (8.7)我们

37、称为函数 的麦克劳林级数展开式麦克劳林级数展开式,或称为 的幂级数展幂级数展开式开式。( )2(0)(0)( )(0)(0)2!nnfff xffxxxnLL( )f x( )f x第三节第三节 幂级数幂级数 2. 泰勒级数泰勒级数 用类似的方法不难得到泰勒级数展式用类似的方法不难得到泰勒级数展式.假设函数假设函数 在点在点 的某邻域内有恣意阶延续导数的某邻域内有恣意阶延续导数,那么那么( )f x0 x定义定义8.8 (8.8) 称为函数的泰勒级数泰勒级数 ( )20000000()()( )()()()()()2!nnfxfxf xf xfxxxxxxxn上式的充要条件是在含 的一个区间上

38、 ,其中 ( 是介于 与 之间)0 xxlim( )0nnRx(1)10( )( )()(1)!nnnfR xxxnx0 x请思索：麦克劳林级数和泰勒级数有什么区别? 第三节第三节 幂级数幂级数 2.函数展开成幂级数函数展开成幂级数 将函数展开成幂级数，常用的方法有直接法将函数展开成幂级数，常用的方法有直接法(公式法公式法)和间和间接法。接法。 直接法直接法 函数函数 展开成展开成 的幂级数可按照以下步骤进展：的幂级数可按照以下步骤进展： 第一步第一步 求出求出 的各阶导数的各阶导数 假设在假设在 处某阶导数不存在处某阶导数不存在,就停顿进展就停顿进展,此时此时 不能不能展开为展开为 的幂级数

39、如的幂级数如 ,它在它在 处的三阶导数不存在处的三阶导数不存在,就不能展开成就不能展开成 的幂级数的幂级数 第二步第二步 求函数及各阶导数在求函数及各阶导数在 处的值处的值 第三步第三步 写出幂级数写出幂级数 并求出收并求出收敛半径敛半径 ( )f xx( )f x( )( ),( ),( ),nfxfxfx0 x ( )f xx52( )f xx0 x 0 x x( )(0),(0),(0),(0),nffffLL( )2(0)(0)(0)(0)2!nnffffxxxnLLR第三节第三节 幂级数幂级数 第四步 调查在 内的余项 的极限 ( 是介于 与 之间)能否为零假设为零,那么第三步中写出

40、的幂级数就是 的幂级数展开式,即 (,)R R( )nR x(1)1( )lim( )lim(1)!nnnnnfR xxn0 x( )f x( )2(0)(0)( )(0)(0)2!nnfff xffxxxn()RxR 例例 将函数将函数 展开为展开为 的幂级数的幂级数解解 由于由于 ,所以所以于是得级数于是得级数 它的收敛半它的收敛半径径 对任何有限的数对任何有限的数 , ( 是介于是介于0与与 之间之间),余项的绝对值为余项的绝对值为( )xf xex( )( )(1,2,3,)nxfxen( )(0)(0)(0)(0)1nffff212!nxxxnR xx第三节第三节 幂级数幂级数 因

41、有限,而 是收敛级数 的普通项,由收敛级数的必要条件有 ,所以 ,故 (8.9) 假设在 附近,用级数(8.9)的部分和(即多项式)来近似替代 ,那么随着项数的添加,它们就越来越接近于 11( )(1)!(1)!nxnnxeRxxennxe1(1)!nxn11(1)!nnxn1lim0(1)!nnxnlim( )0nnR x212!nxxxexn ()x 0 x xexe把函数展开成幂级数时，要留意讨论其收敛域。 第三节第三节 幂级数幂级数 间接法间接法代换法代换法例例 将函数将函数 展开成展开成 的幂级数的幂级数解解 由于由于 把把 换为换为 , 同时同时,由由 ,得收敛域为得收敛域为 .2

42、1( )1f xxx23111nxxxxx x2x242211( 1)1nnxxxx LL211x 11x 请思索：用代换法时怎样由知级数的收敛域求所展开级数的收敛域?第三节第三节 幂级数幂级数 逐项求导例 将函数 展开成 的幂级数 解 此题可以像展开 一样直接展开 但由于 对上式逐项求导就得 逐项求积分例 将函数 展开成 的幂级数解 由于 ,而 对上式从0到 逐项积分,得 上述展式对 也成立( )cosf xxxsinxcosx35211sin( 1)3!5!(21)!nnxxxxxn ()x 242cos1( 1)2!4!(2 )!nnxxxxn ()x ( )ln(1)f xxx1( )

43、1fxx2311( 1)1nnxxxxx ( 11)x x2341ln(1)( 1)2341nnxxxxxxn ( 11)x 1x 第三节第三节 幂级数幂级数 拆分例 将函数 展为 的幂级数解 因此 1( )ln1xf xxx2341ln(1)( 1)234nnxxxxxxn 234ln(1)234nxxxxxxn ( 11)x ( 11)x 35211222lnln(1)ln(1)213521nxxxxxxxxn( 11)x 函数展开成幂级数时，要留意讨论其收敛域。前面几例都是把函数 展开为麦克劳林级数，即在 处展开，假设要把函数 展开为泰勒级数,即在 处展开,需求经过代换 把问题转化为展开

44、关于 的麦克劳林级数。( )f x( )f x0 x 0 xx0 xxtt第三节第三节 幂级数幂级数 例例 将函数将函数 展为展为 的幂级数。的幂级数。解解 令令 ,那么那么 ,于是问题转化为把于是问题转化为把 在在 处展开处展开,而而知知 ,于是于是 因此因此 将将 换回换回 ,即得所求展式为即得所求展式为 ( )ln(1)f xx2x2xt2xtlnln(2)xt0t ln(2)ln2(1)ln2ln(1)22ttt2341ln(1)( 1)234nnxxxxxxn 23411111ln(1)( )( )( )( 1)( )222232422nnttttttn 23123ln(2)ln2(

45、 1)22 23 22nnntttttn tx212111lnln2(2)(2)( 1)(2)22 22nnnxxxxn (04)x ( 22)t 第三节第三节 幂级数幂级数 4、函数幂级数展开式的运用、函数幂级数展开式的运用 利用函数的幂级数展开式利用函数的幂级数展开式,可进展近似计算可进展近似计算 例例 试用试用 的幂级数的前八项求的幂级数的前八项求 的近似值的近似值,并估计误差并估计误差 解解 在展开式在展开式 中中,令令 ,得得 现取前八项的和作为现取前八项的和作为 的近似值，其误差为的近似值，其误差为即即 的近似值可准确到小数点第四位的近似值可准确到小数点第四位,得得 利用幂级数不仅

46、可计算一些函数值的近似值利用幂级数不仅可计算一些函数值的近似值,而且还可以而且还可以计算一些定积分的近似值。计算一些定积分的近似值。 xee212!nxxxexn LL()x 1x 1111 12!3!en LL82111111()(1)8!9!10!8!88R 41110.000031018!7! 7181111 12.71832!3!7!e ee【小背景】 在18世纪，甚至直到今天，无穷级数不断被以为是微积分的一个不可短少的部分。对于复杂一些的代数函数和超越函数，只需把它们展成无穷级数并进展逐项微分或积分，才干处置他们。牛顿、欧拉以及他们同时代的人，都大量依托级数的运用来处置此类问题。级数

47、依然是某些函数的独一表达式，且是计算初等超越函数的最有效的工具。第三节第三节 幂级数幂级数 第三节第三节 幂级数幂级数 例例 计算定积分计算定积分 解：由于解：由于 不能用初等函数表示，故不能用牛不能用初等函数表示，故不能用牛-莱莱公式。公式。将将 的展开式中的展开式中 的换成的换成 ,得得 故故 积分结果是个交错级数积分结果是个交错级数,取其前七项之和作为取其前七项之和作为 的近似的近似值值,即即210 xedx2xedxxex2x224621( 1)1!2!3!nxnxxxxen LL()x 2246211001( 1)1!2!3!nxnxxxxedxdxn LL1357210( 1)3

48、1!5 2!7 3!(21)!nnxxxxxnn LL11111( 1)31042!(21)nnn LL210 xedx第三节第三节 幂级数幂级数 其误差的绝对值为 21011111110.446853104221613209360 xedx 751127!157560010R 用幂级数进展近似计算时，精度问题由其他项决议。 第四节第四节 傅里叶级数傅里叶级数 一、傅里叶级数的概念 周期函数反映了客观世界中的周期运动。正弦函数是一种常见而简单的周期函数，例如描画简谐振动的函数 ，就是一个以 为周期的正弦函数，其中 表示动点的位置， 为时间， 为振幅， 为角频率， 为初相。 在实践问题中，除了正

49、弦函数外，还会遇到非正弦的周期函数，它们反映了较复杂的周期运动，所以用简单的周期函数逼近它们就极具有意义。()yAsint2ytA第四节第四节 傅里叶级数傅里叶级数 1. 以为周期的函数的傅里叶级数以为周期的函数的傅里叶级数 函数系函数系 统称为三角统称为三角函数系函数系.容易看出三角函数系具有共同的周期容易看出三角函数系具有共同的周期 ，且具有，且具有下面两个性质：下面两个性质： 性质性质1：在三角函数系中，任何两个不同的函数的乘积：在三角函数系中，任何两个不同的函数的乘积在在 上的积分都等于零，即上的积分都等于零，即 ， ， ， ， . 通常两个函数通常两个函数 与与 在在 上可积，且上可

50、积，且 =0，那么称函数那么称函数 与与 在在 正交正交.由此可以说三角函数系由此可以说三角函数系 上具有正交性，或者说是正交函数系。上具有正交性，或者说是正交函数系。 1, cos ,sin , cos2 ,sin2 , cos,sin,xxxxnxnx2,110sinnxdxcosnxdxcos0mx cosnxdxsin0mx sinnxdxcos0mx sinnxdxmn x x, a b baxx dx x x, a b,第四节第四节 傅里叶级数傅里叶级数 性质性质2：在三角函数系中，任何一个函数的平方在：在三角函数系中，任何一个函数的平方在 上的积分都不等于零，即上的积分都不等于零

51、，即 . 8.11 并且假定上式右端可以进展逐项积分，那么有并且假定上式右端可以进展逐项积分，那么有 由三角函数系性质由三角函数系性质1知，等式右端除第一项外，其他各知，等式右端除第一项外，其他各项均为零，所以项均为零，所以 ， 得得在在8.11式的两边乘以式的两边乘以 为正整数后在上为正整数后在上 逐逐项积分，那么得项积分，那么得由三角函数性质由三角函数性质1知，上式右端除知，上式右端除 这一项外，其他各项这一项外，其他各项的积分均为零的积分均为零.于是于是,222,12sin nxdxcos nxdxdx 01cossin2nnnafxanxbnx01( )cossin2nnnaf x d

52、xdxanxdxbnxdx00( )22af x dxa01( )af x dxcoskxn, 01cos( )coscoscossincos2nnnakxf x dxkxdxakxnxdxbnxkxdxkn第四节第四节 傅里叶级数傅里叶级数 即 . 类似地，用 乘以8.11式后在 上逐项积分，那么得 这样可得常数 的计算公式： 2,nnacos nxdxa1( )1,2,naf x cosnxdxncoskx, 1( )1,2,nbf x sinnxdxn0,1,2,nna a bn （8.12）01( )af x dx1( )1,2,naf x cosnxdxn1( )1,2,nbfx sinnxdxn假设上面各式积分都存在，由此所确定的常数 称为函数 的傅里叶系数，把傅里叶系数代入(8.11)式的右端，所得三角级数 称为函数的傅里叶级数。 0,1,2,nna a bn ( )f x 01cossin2nnnafxanxbnx第四节第四节 傅里叶级数傅里叶级数 2.以以 为周期的函数的傅里叶级数为周期的函数的傅里叶级数 以实数以实数 为周期的函数展开成傅里叶级数，可经过变为周期的函数展开成傅里叶级数，可经过变量代换可得如下以量代换可得如下以 为周期的函数的傅里叶级