九年级总复习线段、角、相交线、平行线的性质与判断

1、经过两点经过两点有一条直线有一条直线并且并且只有只有一条直线。一条直线。我们可以用下列方式表示直线：我们可以用下列方式表示直线：表示表示： 用两个大写英文字母表示，直线 AB(或直线BA)ABl表示表示： 用一个小写英文字母表示 ， 直线 l直线直线AB表示表示：用两个端点的大写字母表示线段线段 AB(或或线段线段BA)a表示表示：用一个小写字母表示 ， 线段线段 a线段线段 1、线段的性质：所有连接两点的线中，线段最短。简称“两点之间线段最短” 2、连接两点之间线段的长度叫做这两点之间的距离。 3、线段中点的定义和运用。 定义：点B把线段AC分成两条相等的线段，点B叫做线段AC的中点。 4、

2、比较线段大小的方法：叠合法和度量法。 5.线段垂直平分线上的性质与判定。ABOA表示表示： 用两个大写字母表示，必须端点写在前，射线上另一个字母写在后，射线射线 OA 。射线射线角角是由两条具有是由两条具有公共端点公共端点的的射线射线组组成的图形成的图形。公共端点公共端点顶点顶点射线射线射线射线边边边边角也可以看做一条射线绕端点旋转所角也可以看做一条射线绕端点旋转所组成的图形。组成的图形。角的表示方法角的表示方法OABOO1记作：记作：AOB AOB 或或BOA BOA 或或OO记作记作记作记作11角的分类：角的分类： （1）锐角锐角：小于直角的角叫做锐角：小于直角的角叫做锐角 （2）直角直角

3、：平角的一半叫做直角：平角的一半叫做直角 （3）钝角钝角：大于直角而小于平角的角：大于直角而小于平角的角 （4）平角平角：把一条射线，绕着它的端点顺着一个：把一条射线，绕着它的端点顺着一个方向旋转，当终止位置和起始位置成一直线时，所方向旋转，当终止位置和起始位置成一直线时，所成的角叫做平角。成的角叫做平角。 （5）周角周角：把一条射线，绕着它的端点顺着一个：把一条射线，绕着它的端点顺着一个方向旋转，当终边和始边重合时，所成的角叫做周方向旋转，当终边和始边重合时，所成的角叫做周角。角。 （6）周角、平角、直角的关系是：）周角、平角、直角的关系是： l周角周角=2平角平角=4直角直角=360 角的

4、度量角的度量 角的度量：度量角的大小，可用角的度量：度量角的大小，可用“度度”作为度量作为度量单位。把一个圆周分成单位。把一个圆周分成360等份，每一份叫做一等份，每一份叫做一度的角。度的角。 1度度=60分；分；1分分=60秒。秒。 角与角的加减乘除运算角与角的加减乘除运算 角平分线的性质与判定。角平分线的性质与判定。O OA AB BC CD D）（1 13 34 42 2）（O OA AB BC CD D）（1 13 34 42 2）（两条直线两条直线相交相交有且只有一个交点有且只有一个交点ABCDO123(对顶角相等对顶角相等邻补角互补邻补角互补1.相等的角不一定是对顶角相等的角不一定

5、是对顶角2.邻补角之和等于邻补角之和等于180，它们的，它们的位置相邻，数量上互补。位置相邻，数量上互补。定义定义：当两条直线相交所成的四个：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是角中，有一个角是直角直角时，就说这时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的叫做另一条直线的垂线（垂线（直线直线），它们的交点叫做它们的交点叫做垂足垂足直 线直 线A BA B 、 C DC D互 相 垂 直 ，互 相 垂 直 ， 记 作记 作“ABABCDCD”或或 “ “CDCDABAB”，读作读作“ABAB垂直于垂直于CDCD”，如果垂足为，如果垂足为O O，记作记

6、作“ABABCDCD，垂足为，垂足为O O ”（如（如图）图）点到直线的距离点到直线的距离n如图，过点如图，过点A A作作l l的垂线，垂足为的垂线，垂足为B B点。点。lA.B线段线段ABAB的的长度长度叫做叫做点点A A到直线到直线l l的距的距离离。( (垂线段垂线段) )两条直线相交两条直线相交一般情况一般情况垂线垂线(过一点）过一点）对顶角：相等对顶角：相等邻补角：互补邻补角：互补垂线的存在垂线的存在性和唯一性性和唯一性特殊特殊情况情况相交成相交成直角直角垂线的性质：垂线的性质：1.1.过一点有且只有一条直线与已过一点有且只有一条直线与已知直线垂直知直线垂直. .2.连接直线外一点与

7、直线上各点的所有线段连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短或说成垂线段最短中，垂线段最短或说成垂线段最短平行线 1、定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。、定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 2、平行公理：、平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 3、平行公理的推论：、平行公理的推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。直线也互相平行。平行线的性质平行线的性质（1）两直线平行，同位角相等。）两直线平行，同位角相等。（2）两直线平行

8、，内错角相等。）两直线平行，内错角相等。（3）两直线平行，同旁内角互补）两直线平行，同旁内角互补平行线的判定平行线的判定（1）同位角相等，两直线平行。）同位角相等，两直线平行。（2）内错角相等，两直线平行。）内错角相等，两直线平行。（3）同旁内角互补，两直线平行）同旁内角互补，两直线平行。 平行公理的推论：平行公理的推论：几何语言表达：几何语言表达：cba a/b(）a/c , c/b(已知）已知）（1） 和为和为90的两个角称互为余角；的两个角称互为余角；（2） 和为和为180的两个角称互为补角；的两个角称互为补角；（1） 同角或等角的余角相等；同角或等角的余角相等；（2） 同角或等角的补角

9、相等；同角或等角的补角相等；1+2=901+2=180同角或等角的余角相等同角或等角的余角相等同角或等角的补角相等同角或等角的补角相等互互 余余互互 补补数量数量关系关系对对应应图图形形性性质质2112判断正确或者错误的句子叫做判断正确或者错误的句子叫做命题命题，正确的命题称为正确的命题称为真真命题命题，错误的命题称为错误的命题称为假假命题命题。反之，如果一个句子没有对某一件事情作出反之，如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它就不是命题。任何判断，那么它就不是命题。例如：例如：（1 1）你喜欢数学吗？）你喜欢数学吗？（2 2）做线段）做线段AB=CDAB=CD 下列句子哪些是命题？是

10、命题的，指出是真命题还是下列句子哪些是命题？是命题的，指出是真命题还是假命题？假命题？1 1、羊有四只脚；、羊有四只脚；2 2、三角形两边之和大于第三边；、三角形两边之和大于第三边；3 3、画一条曲线；、画一条曲线；4 4、四边形都是菱形；、四边形都是菱形；5 5、你的作业做完了吗？、你的作业做完了吗？ 6 6、同位角相等，两直线平行；、同位角相等，两直线平行；7 7、对顶角相等；、对顶角相等；8 8、多边形的内角和等于、多边形的内角和等于180180度；度；9 9、过点、过点P P做线段做线段MNMN的垂线。的垂线。命题是由命题是由两两部分组成部分组成 题设题设是已知事项，是已知事项，结论结

11、论是由已是由已知事项推出的事项知事项推出的事项 用用“如果如果”开始的部分开始的部分是题设是题设，用，用“那么那么”开始的部分开始的部分是结论是结论例如，例如，“两个三角形的三条边相等两个三角形的三条边相等”是题设是题设， “两个三角形全等两个三角形全等”是结论。是结论。数学中有些命题的正确性是数学中有些命题的正确性是人们在长期人们在长期实践实践中总结中总结出来的，并把它们作为判断其他命题出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真假的原始依据，这样的有些命题可以从公理或其他真命题出发，有些命题可以从公理或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，用逻辑推理的方法判断它们是

12、正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的的依据，这样的定理定理“全等三角形的对应角、对应边分全等三角形的对应角、对应边分别相等别相等” “直角三角形的两个锐角互余直角三角形的两个锐角互余”公理公理定理定理例例1 1已知：如图已知：如图5 5，ABCDABCD， 求证：求证：B+D=BED.B+D=BED.ABEDC（图5）证明：过点证明：过点E E作作EFABEFAB， B=1B=1（两直线平行，内错角相等）（两直线平行，内错角相等）. . ABCD ABCD（已知），（已知）， 又又EFABEFAB（已作），（已作）， EFCDEFCD（平行

13、于同一直线的两条直线互相平行）（平行于同一直线的两条直线互相平行）. . D=2 D=2（两直线平行，内错角相等）（两直线平行，内错角相等）. . 又又BED=1+2BED=1+2， BED=B+DBED=B+D（等量代换）（等量代换）. .12F/ /变式变式1. 1. 已知：如图已知：如图6 6，ABCDABCD， 求证：求证：BED = 360BED = 360- -（B+DB+D）. .ABECD(图6)12F证明：过点证明：过点E E作作EFABEFAB， B+1=180B+1=180（两直线平行，同旁内角互补）（两直线平行，同旁内角互补）. . ABCD ABCD（已知），（已知）

14、， EFABEFAB（已作），（已作）， EFCDEFCD（平行于同一直线的两条直线互相平行）（平行于同一直线的两条直线互相平行）. . D+2=180 D+2=180（两直线平行，同旁内角互补）（两直线平行，同旁内角互补）. . B+1+D+2=180 B+1+D+2=180+180+180（等式的性质）（等式的性质）. . 又又BED=1+2BED=1+2， B+D+BED=360B+D+BED=360（等量代换）（等量代换）. . BED=360 BED=360- -（B+DB+D）（等式的性质）（等式的性质）./ /变式变式2. 2. 已知：如图已知：如图7 7，ABCDABCD， 求

15、证：求证：BED =D-B .BED =D-B .DABEC(图7)F证明：过点证明：过点E E作作EFABEFAB， FEB=BFEB=B（两直线平行，内错角相等）（两直线平行，内错角相等）. . ABCD ABCD（已知），（已知）， EFABEFAB（已作），（已作）， EFCDEFCD（平行于同一直线的两条直线互相平行）（平行于同一直线的两条直线互相平行）. . FED=D FED=D（两直线平行，内错角相等）（两直线平行，内错角相等）. . BED=FED-FEB BED=FED-FEB， BED=D-BBED=D-B（等量代换）（等量代换）. .变式变式3. 3. 已知：如图已知：如图8 8，ABCDABCD， 求证：求证：BED=B-D.BED=B-D.ABEDCF12证明：过点证明：过点E E作作EFABEFAB， 则则1+B=1801+B=180（两直线平行，同旁内角互补）（两直线平行，同旁内角互补）. . ABCD ABCD（已知），（已知），