材料力学第七章应力状态与强度理论

1、工程力学Engineering Mechanics第七章第七章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论71 应力状态的概念应力状态的概念73 广义广义胡胡克定律克定律74 复杂应力状态下的应变能密度复杂应力状态下的应变能密度75 常用强度理论常用强度理论72 平面应力状态分析平面应力状态分析7 应力状态的概念应力状态的概念一、引言一、引言1、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？M低碳钢铸铁PP铸铁拉伸 P铸铁压缩2、组合变形杆将怎样破坏？MP三、单元体三、单元体：单元体构件内的点的代表物，是包围被研究点 的无限小的几何体，常用的是正六面体正六面体。 单元体的性质a、每个面上，应力均布；

2、 b、平行面上，应力相同。二、一点的应力状态：二、一点的应力状态： 过一点有无数的截面，一点的所有方位面上的应力集合，称为这点的应力状态应力状态。xyzs s xs sz s s yt txyyxt微单元体微单元体 微元微元四、普遍状态下的应力表示四、普遍状态下的应力表示 单元体每个面上的应力等于通过该点的同方位截面上的应力。如果单元体各个面上的应力均为已知时，单元体内任意斜截面的应力便可用截面法求得(后面讲)。这样该点处的应力状态也就完全确定了。xyzs s xs sz s s yt txyyxt所以单元体三个互相垂直面上的应力就表示了这单元体三个互相垂直面上的应力就表示了这一一点的应力状态

3、点的应力状态。五、主平面、主应力：五、主平面、主应力：主平面(Principal Plane)： 切应力为零的截面。主应力(Principal Stress ）： 主平面上的正应力。s s1 1s s2 2s s3 3xyzs sxs sys sz一般而言，单元体表面上既有正应力又有切应力。 如图所示，点1单元体各个面都是主平面，点2和点3单元体的前、后面也是主平面。显然，点1单元体左右侧面上的正应力就是主应力，其余主平面上的主应力为零。 由弹性力学可以证明；通过受力构件内任意一点，总可以找到三对相互垂直的主平面相互垂直的主平面，相应的三个主应力通常相应的三个主应力通常用用1、 2、 3表示，

4、表示， 主应力排列规定：主应力排列规定：321sss 例如，三个主应力数值分别为57MPa、0、- 7MPa时，按照这种规定，应是1 =57MPa， 2=0， 3= - 7MPa。围绕一点按三个主平面位置取出的单元体，称为主单元体主单元体，用主单元体表示一点处应力状态是最简单而又明确的。主单元体主单元体单向应力状态单向应力状态（Unidirectional State of Stress）： 一个主应力不为零的应力状态。 二向应力状态二向应力状态（Plane State of Stress）： 二个主应力不为零的应力状态。（平面应力状态平面应力状态）三向应力状态三向应力状态（ ThreeDim

5、ensional State of Stress）： 三个主应力都不为零的应力状态。由于构件受力情况的不同，某些主应力的值可能为零，按照不等于零由于构件受力情况的不同，某些主应力的值可能为零，按照不等于零的主应力数目，可将一点的应力状态分为三类：的主应力数目，可将一点的应力状态分为三类： 拉伸、弯曲强度拉伸、弯曲强度：单向应力状态下的判据 剪切、扭转强度剪切、扭转强度：纯剪切六、建立复杂受力时失效判据的思路与方法：六、建立复杂受力时失效判据的思路与方法：实验结果极限应力值实验结果极限应力值单向、纯剪单向、纯剪复杂应力复杂应力ssn0ss（1）实验手段困难，（2）工作量繁重。强度失效强度失效基本

6、形式基本形式（1）脆性断裂（2）屈 服 同一种失效形式，有可能在引起失效的原因中包含着同一种失效形式，有可能在引起失效的原因中包含着共同的因素。共同的因素。建立复杂应力状态下的强度失效判据，就是提出关于建立复杂应力状态下的强度失效判据，就是提出关于材料在不同应力状态下失效的共同原因的各种假说。材料在不同应力状态下失效的共同原因的各种假说。根据这些假说，可能利用根据这些假说，可能利用单向拉伸实验单向拉伸实验结果，建立材结果，建立材料在复杂应力状态下的失效判据；就可以预测在复杂料在复杂应力状态下的失效判据；就可以预测在复杂应力状态下的强度设计准则或强度条件。应力状态下的强度设计准则或强度条件。 研

7、究复杂受力（有正应力和剪应力）情况下强度失效的共同规律，假定失效的共同原因，通过分析一点的一点的应力状态应力状态，利用单向拉伸单向拉伸的实验结果，建立复杂受力时的强度条件（失效准则和设计准则）。七、本章的任务：七、本章的任务：72 平面应力状态分析平面应力状态分析s sxt txys sys sxs syx x yyyxtxyt(二向应力二向应力)平面应力状态平面应力状态 正应力以拉应力为正，压应力为负； 剪应力 对单元体内任意点的矩为顺时针转向时为正，反之为负； 由 轴逆时针转过 角为正，反之为负。设：斜截面面积为dA，由分离体平衡得： Fn00cos)sindA(sin)sindA(sin

8、)cosdA(cos)cosdA(dAtstssyxyxyx一、任意斜截面上的应力（正应力和剪应力）一、任意斜截面上的应力（正应力和剪应力）s sxt txys sys syt txys sxs s t t x规定：规定：nttsssss2sin2cos22xyyxyxtsst2cos2sin2xyyx考虑切应力互等和三角变换，得：同理：s syt txys sxs s t t nts sxt txys sy 0Ft以上两式就是以上两式就是平面一般应力状态下平面一般应力状态下任意斜截面上应力的表达式任意斜截面上应力的表达式。适用。适用于所有平面应力状态，包括单向、于所有平面应力状态，包括单向、

9、纯剪等特殊的平面应力状态。纯剪等特殊的平面应力状态。030MPa20MPa40MPa10例例1 求图示单元体斜截面上的应力。求图示单元体斜截面上的应力。xyn060 解： MPa40 xs MPa20ys MPa10 xyt 060)120sin()10()120cos(2)20(402)20(4000sMPa67.13MPa21)120cos()10()120sin(2)20(4000tst030MPa20MPa40MPa10 xyn 解： MPa20 xsMPa40ysMPa10 xyt03003002cos2sin22:000tsssxyyxdd令二、极值应力二、极值应力yxxysst2

10、2tan0s sxt txys sy由上式求出相差 的两个角度，从而确定两个互相垂直的平面，分别作用着最大、最小正应力。o90020，tsssss2sin2cos22xyyxyxtsst2cos2sin2xyyx！极值正应力就是主应力 00t）2222xyyxyxm inm axt ts ss ss ss ss ss s （s sxt txys sy主平面方位的确定：如约定yxss则两个角度0中，锐角确定maxs作用的平面。最大、最小正应力最大、最小正应力yxxysst22tan002yxssxyt2由几何关系得到sin20和cos2 0，可以得到应力的极值表达式:tsssss2sin2cos

11、22xyyxyx321sss主单元体主单元体反之则是钝角大偏大，小偏小，夹角不比45大。例例2 求图示单元体的主应力及主平面，在单元体上画出主求图示单元体的主应力及主平面，在单元体上画出主平面和主应力。平面和主应力。MPa40MPa60MPa20 解：MPa20MPa,40MPa,60 xyyxtssxy240602022tan000007 .31,4 .63207 .311s2s1s2s例例3 分析圆轴扭转时的应力状态。解：确定危险点并画其原始单元体求极值应力0yxsspxyWTtt22minmax22xyyxyxtssssss）（tt2xyt txyCt tyxMCxyt铸铁圆轴扭转破坏现

12、象分析tssts321;0;4522tg00sstyxxyxyt045eMeM1s 3s参见材料力学第四章 等直圆杆扭转时斜截面上的应力等直圆杆扭转时斜截面上的应力0dd:1t令xyyxtss22tan1222x yyxminmaxt ts ss st tt t ）（三、最大切应力三、最大切应力tsst2cos2sin2xyyx02sin22cos11tssxyyx则)22tan(22tan001ctg00100145,9022即最大、最小切应力作用面与主平面的夹角为最大、最小切应力作用面与主平面的夹角为450。2,11可以证明：过一点所有截面上的最大剪应力s s3s s2s s1s s3s

13、s1s s2s s1s s2s s3231maxsst（1）求主应力）求主应力（压应力）（拉应力）2.4MPa- MPa4 .4220230102301022MPa20,MPa30,MPa102222minmaxxyyxyxyxyxtsssssstssMPa4 . 204 .42321sss(a) 试求图中所示单元体的主应力和最大剪应力。试求图中所示单元体的主应力和最大剪应力。xy（2）求最大剪应力）求最大剪应力MPa4 . 204 .42321 s ss ss sMPa.max422231sst确定主平面的位置确定主平面的位置23010202220 yxxtgs ss st t 431210

14、(a)1s1s3s3s002在第三象限在第三象限626318020最大主应力位置最大主应力位置73 广义广义胡胡克定律克定律一、单向拉伸应力状态下，应力一、单向拉伸应力状态下，应力-应变关系（胡克定律）应变关系（胡克定律）,Exxs,xyEsxzEs二、纯剪切应力状态下，应力二、纯剪切应力状态下，应力-应变关系应变关系Gxyxytxyzs sxxyzt t x y三、复杂应力状态下的应力三、复杂应力状态下的应力 - - 应变关系应变关系根据叠加原理,得:zyxzyxxEEEEssssss1 xzyyEsss1yxzzEsss1GxyxytGyzyztGzxzxtzyxxEsss1 xyzs s

15、zs syt txys sx 同理上式称为广义胡克定律广义胡克定律，即一般应力状态下的应力应变关系一般应力状态下的应力应变关系主应力主应力 - - 主应变关系主应变关系四、平面应力状态下的应力四、平面应力状态下的应力-应变关系应变关系: :0zxyzztts13221sssE12331sssE32111sssEGxyxy/tyxxEss1xyyEss1s s1s s3s s20, 0, 0zxyzxys sxs syxyyxtxyt例例5 已知一受力构件自由表面上某一点处在表面内的主应变分别为：1=24010-6， 3=16010-6，弹性模量E=210GPa，泊松比为 =0.3， 试求该点处

16、的主应力及另一主应变。, 02 :s自由面上解 1311ssE所以，该点处为平面应力状态 1133ssE1s3s;MPa3 .20;0;MPa3 .44321sss6132103 .34ssE7 74 4 复杂应力状态下的应变能密度复杂应力状态下的应变能密度根据能量守恒原理，材料在弹性范围内工作时，微元三对面上的力在由各自对应应变所产生的位移上所做的功，全部转变为一种能量，储存于微元内。这种能量称为弹性应变能，简称应变能，用dV表示。dV表示微元的体积，则dV /dV为应变能密度v xyzs szs sys sx332211212121sssvs s2s s3s s 1133221232221

17、221sssssssssEsss21v三向应力状态下，总应变能密度表达式三向应力状态下，总应变能密度表达式s s2s s3s s 1图图 as sm图图 b图图 cs sms sms s 1-s sms s2-s sm -s sms s3)(31321sssdVvvvvvcbvv 体积改变能密度体积改变能密度dv 畸变能密度畸变能密度物体变形时，包含了体积改变与形状改变。总应变能密度包含相互独立的两个部分三向等拉应力状态，只有体积改变只有形状改变213232221Vd61ssssssEvvv 则畸变能密度：2321V621sssEv)(31321ssssm代入133221232221221ss

18、sssssssEv将一、引子一、引子75 常用强度理论常用强度理论铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？M低碳钢铸铁PP铸铁拉伸 P铸铁压缩二、强度理论二、强度理论：是关于“构件发生强度失效（failure by lost strength）起因” 的假说。 材料的破坏形式： 屈服；屈服； 断裂断裂 。复杂应力状态下的强度条件难以靠实验来建立强度条件。单向应力状态的强度条件是以实验为基础建立的。三、四个常用强度理论三、四个常用强度理论1 1、最大拉应力（第一强度）理论：、最大拉应力（第一强度）理论： 认为构件的断裂是由最大拉应力引起的。当最大拉应力达到材料单向拉伸的强度极限时，构件就断

19、了。破坏判据：0)( ; 11 s ss ss sb强度准则： 0)( ; 11 s ss ss s实用范围：适用于破坏形式为脆断的构件。与均质的脆性材料如玻璃石膏等试验结果吻合的较好。伽利略播下了第一强度理论的种子。 2、最大拉应变（第二强度）理论：最大拉应变（第二强度）理论： 认为构件的断裂是由最大拉应力引起的。当最大伸长线应变达到材料单向拉伸试验下的极限应变时，构件就断了。破坏判据：0)( ; 11 b强度准则：实用范围：适用于破坏形式为脆断的构件。少数脆性材料。 EEbs ss ss s s s 32111 bs ss ss s s s 321 s ss ss s s s 321马里奥

20、特关于变形过大引起破坏的论述，是第二强度理论的萌芽。3 3、最大剪应力（第三强度）理论：、最大剪应力（第三强度）理论： 认为构件的屈服屈服是由最大切应力引起的。当最大切应力达到单向拉伸试验的极限切应力时，构件就屈服了。破坏判据：st tt t max实用范围：适用于破坏形式为屈服的构件。描述低强化韧性材料如退火钢的屈服状态。 sst ts ss ss st t 2231maxss ss ss s 31强度准则： s ss ss s 31Coulomb最早提出了最大切应力理论。s: 屈服应力4 4、畸变能密度理论（第四强度）理论：、畸变能密度理论（第四强度）理论： 认为构件的屈服是由畸变能密度引

21、起的。当畸变能密度达到单向拉伸试验屈服时的畸变能密度时，构件就屈服了。svvdmaxd由拉伸屈服试验结果可确定畸变能密度极限值vds单向拉伸至屈服单向拉伸至屈服时，0,321sssss这时的畸变能密度就是所有单向应力状态发生屈服时的极限值2213232221d3161ssEEvsssssss 破坏判据： 强度准则： 实用范围：实用于破坏形式为屈服的构件。碳素钢、合金钢等韧性材料。 213232221d61ssssssEv ss ss ss ss ss ss ss s 21323222121 s ss ss ss ss ss ss s 21323222121Mises最早提出了畸变能密度理论。对

22、于主应力为1, 2, 3的任意应力状态，畸变能密度为综合以上各式，可将四个强度理论的强度条件写成统一的形式：rssrs相当应力，计算应力相当应力，计算应力。 四个强度理论的相当应力： 11rss )(321r2ssss 313rsss )()()(21213232221r4sssssss 一般情况下，我们是根据材料选择相应的强度条件根据材料选择相应的强度条件的。处于复杂应力状态并在常温和静载条件下的脆性材料，多发生断裂破坏，通常采用第一强度理论。塑性材料多发生屈服破坏，应该采用第三强度理论或第四强度理论。前者表达式比较简单，后者用于设计可得较为经济的截面尺寸。 也要注意少数特殊情况下，还须按可能发生的破坏形式可能发生的破坏形式和应力状态和应力状态，来选择适宜的强度理论，对构件进行强度计算。例如，在低温或三向拉伸应力状态情况下，不论是脆性还是塑性材料，都应采用最大拉应力理论；在三向压缩应力状态情况下，不论是塑性材料还是脆性材料，都应该采用第三或第四强度理论。四、四、强度理论的应用强度理论的应用（一）强度计算的步骤：（一）强度计算的步骤：1、外力分析：确定全部的外力。2、内力分析：画内力图，确定可能的危险面。3、应力分析：画危险截面应力分布图，确定危险点并画 出其单元体，求主应力。4、强度分析：选择适当的强度理