全等三角形作辅助线专题一(重点：截长补短法)-可打印版

1、全等三角形作辅助线经典例题常见辅助线的作法有以下几种:1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的 “对折”.2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转” .3) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理.4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”；(遇垂线及角平分线时延长垂线段，构造等腰三角形)5) 截长法与补短法，具体做

2、法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明.这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目.用三角形面积的知识解答.A特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利一、倍长中线(线段)造全等1:已知，如图 ABC中，AB=5 AC=3则中线 AD2:如图，A ABCfr, E、F分别在AB AC上，DEI DF, D是中点，试 比熊be+cN EF的大小.y3f女闻)ABC中,BD=DC=ACE是 DC的中点，求证：AD平分BDCB DEC/ BAE.中考应用：以ABC的两边

3、AB AC为腰分别向外作等腰 Rt ABD和等腰Rt ACE ,BAD CAE 90,连接DE M N分别是BC DE的中点.探究：AM与DE的位置关系及数量关系.（1）如图 当ABC为直角三角形时， AMI与DE的位置关系是,线段AMI与DE的数量关系 是;（2）将图中的等腰Rt ABD绕点A沿逆时针方向旋转（0< <90）后，如图所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理 由.二、截长补短1.如图， ABC 中，AB=2AC AD平分 BAC ,且 AD=BD 求证：CD! AC 2:如图，AD/ BC EA,EB分别平分/ DAB,/ CBA CD过点E,求证:AB

4、 = AD+BC3：如图，已知在VABC内，BAC 60、 C 40°,巳Q分别在BCB b CCA上，并且AP, BQ分别是 BAC , ABC的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BPB4:如图，在四边形 ABC前，BO BA,AD= CD B阡分 ABC ,求证： A C 180°5:如图在ABC+ , AB> AC /1 = /2, P为AD上任意一点，求证;AB-AC> PB-PC6.如图，在 ABC中，AD平分/ BAC AB+BD=AC求/ B： /C的值.中考应用：如图，在四边形 ABCD中，ADBC,点E是AB上一个A D动点，若/ B=60&#

5、176; , AB=BC ,且 / DEC=6°，判断 AD+AE /A与BC的关系并证明你的结论。三、找全等1 .已知：如图，在 RtzABCt /ACB=90oAC=BC D为BC的中点，CJAD于E,交AB于F,连接DF.求证：/ ADCW BDF2 .如图， ABC中，AB=AC过点A作GE/ BC角平分线BD CF相A交于点H,它们的延长线分别交GE于点E、G.试在图10中找小3对 全等三角形，并对其中一对全等三角形给出证明.e/ f四.借助角平分线造全等一二说明：遇到有关角平分线的问题时， 可引角的两边的垂线，先证明 三角形全等，然后根据全等三角形的性质得出垂线段相等，

6、再利用角 的平分线性质得出两角相等.练习：1 , 已知：ABCfr, BD=CD/1 = /2.求证：ADf分/ BAC2 .如图22, AB/CD E为AD上一点，且 BE CE分另U平分/ ABC / BCD求证：AE=ED以角的平分线为对称轴构造对称图形例： 如图，在4ABC中，ADf分/ BAC ZC=2Z B.求证：AB=AC+CD 分析：由于角平分线所在的直线是这个角的对称轴，因此在 AB上截 取AE=AC连接DE我们就能构造出一对全等三角形，从而将线段 AB分成AE和BE两段，只需证明BE=C刷可以了.延长角平分线的垂线段，使角平分线成为垂直平分线例： 如图，在 ABC, AD平

7、分/ BAC CELAD于E.求证：/ ACEh B+/ ECD分析：注意到A阡分/BAC CUAD,于是可延长CE交AB于点F, 即可构造全等三角形.利用角的平分线构造等腰三角形如图，在 ABC中，AD平分/ BAC过点D作D日AR DE交AC于点E.易证4AED是等腰三角形.因此，我们可以过角平分线上曲作角的一边的平行线，构造等腰三角形.EbPA 、B例： 如图，在 ABO , AB=AC BDf分 /ABC DJ BD 于 D,交 BC 于点E.求证：CD=1BE2全等三角形作辅助线课后练习1 .在 ABC, / BAC=60o / C=40o,b X * i EAP平分/ BA以 BC

8、于P, B评分/ AB以 AC于Q求证：AB+BP=BQ+AQ2 .如图，在 ABC中，ADf分/ BAC AB=AC+CD求证：/ C=2Z B.3 .已知，E为4ABC的/ A的平分线AD上一点，AB> AC求证：AB-AO EB-EC4 .如图，在四边形ABCD , BO BAAD=CD BDf 分 / ABC 求证：/ A+/ C=180oBC5 .如图所示，已知 ADII BQ /1 = /2,CB/3=/ 4,直线DC过点E作交ADT点D,交BC于点C.求证：AD+BC=AB1_CD=1 AE6 .已知，如图， ABC中，/ABC=90oAB=BC AE是/A的平分线，CD!

9、AE于D.求证:7 . MBC中,AB=AC /A=100qBD是/B的平分线.求证：AD+BD=BC8 .如图，zABC中，AD平分/ BAC AD交BC于点D,且D是BC的中点.求证：AB=AC9 .已知：如图， ABC中，AD是/BAC的平分线，E是BC的中点，EF/ZAD,交AB于M交CA的延长线于F.求证：BM=CF10 .如图，已知在 ABC中，/B=60° , /人8。勺角平分线 AD,CE相交于点O,求证：OE=OD11 .如图，ABC, AD平分/ BAC D- BC且平分 BQ DEI AB于 E,DF±AC于F. (1)说明BE=CF的理由；(2)如果AB=a , AC力，求AE BE的长.中考应用：如图，OP是/MON勺平分线，请你利用该图形画一对以 OP所在直 线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法， 解答 下列问题：(1)如图，在ABC /ACEM直角，/ B=60