傅里叶变换的性质

1、傅里叶变换的性质本质就是信号的时域运算关系在傅里叶变换域中的体现，也是求解信号 傅里叶变换的基本手段。傅里叶变换具有唯一性。 傅氏变换的性质揭示了信号的时域特性和频域特性之间的确定的内在联系。讨论傅里叶变换的性质，目的在于：1. 了解特性的内在联系2. 用性质求口3. 了解在通信系统领域中的实用这些性质在内容和形式上具有某种程度的对称性。§3.1.1 对称性质1 .性质底出一 F 则典g 坷（-。）置加购偶画数则w（砌2 .意义若汴形状与肝3相同g t 0则EW的频谱函数形状与 小册状相同，幅度差2w例 3-7-15（r） c L M力二1 C加遍但）例 3-7-2已知瓦制=予则一O

2、 2ffsgn（-ffl） J® Jt即1 c 力rsa（®相移全通网络 t例 3-7-3/（，）=巾（土+：卜卜；）“网机ErorT7(0)=怕琮）立一副5瓯警卜范行x号:工)=1 Eo匚若4=弧，则有M帖 C W &（碓度为电1面方激§3.7.2线性1 .性质卸的一斗，人©一£）则7工- %* C） - M+/月 q为常数2 .说明这个性质虽然简单，但实际上是应用最多的。例 3-7-4§3.7.3奇偶虚实性奇偶虚实性实际上在§3.4的傅里叶变换的特殊形式”中已经介绍过。1 寸(”"( .证明：由定义小=

3、（助可以得到川"一C"叱"的2 .若成防则 证明:设f（t）是实函数（为虚函数或复函数情况相似，略）F(硝=jQ/COedt = j2/(0 oosddt jjQ/fx) Wi&tdt显然二关于®的一函数关于的奇的数二 网一母二月*（）已知布（旬"（-0二 W）=k眄）§3.7.4尺度变换性质1 .性质：置的 C网砚则C2 .证明：因为（闻卜匚0*班屯=£函%a aj当令工二巩可用匚山产现却二“产小静闾综合上述两种情况3.意义因此高频分量减少,脉冲持续时间增加 a倍，信号变化减缓，信号在频域的频带压缩幅度上升a倍。(

4、2) a>1时域压缩，频域扩展a倍持续时间短，变化加快。信号在频域高频分量增加，频带展宽，各分量的幅度下降a倍。此例说明：信号的持续时间与信号占有频带成反比，有时为加速信号的传递，要将信号持续时间压缩，则要以展开频带为代价。当实函数时，风-拱朝二度（同为偶函数讷奇函数玳 0 =K 冈=£）一*（砌士砌§3.7.5 时移特性性质若他 OF®,贝»虫咖4:若尸砌二忻鲍则/Q-幻一凤期J吟1幅度频谱无变化，只影响相位频谱，相移闻R)右-明)左 例 3-7-8求下图所示函数的傅里叶变换。解：引入辅助信号裕如图.由对称关系求耳，43)二G加()又因为/

5、71; = XC-D得飞，)弓1幅频、相频特性分别如下图所示IFg”幅度频谱无变化，只影响相位频谱相移闻*右-明）左 §3.7.6 时移十尺度变换1.性质:置/©一产（硼 则+d(at) =-3(t)2.证明：(仿(的证明过程）司3) = £/3 +瓯2出当5> 00汇设皿M& = K也£ = 上卫,国-dx:耳（w）=人冲疹分.-中力近二一 F时，设-at-b = x1 ，则二耳® = :针户i - A-例 3-7-9已知/W»M的=芯4年）为3-5曲频谱密度函数心方法一：先标度变换，再时延-F = Z .&）

6、*#（升与5用/、 _jiV* = -5,对出寸移工（向右-/（2i-5）O S« e '2214，方法二：先时延再标度变换对网移5晌右）；力-5）公ArSafW'e时所有3压缩力人4-5）.竺4萼另"两种方法结果相同§3.7.7频移特性§3.7.8频移特性1 .性质若期则痴"一叫©常数，注意,号2 .证明?>内=匚依*+工出=匚/（*15二网®_/）3 .说明时域以墀一力领城频诣搬移一 一右移.时域偌库一7.颉域频谱搬移一 一左移.4 .应用通信中调制与解调，频分复用§3.7.9时域微分性质

7、1 .性质一般情况下户电o班党若已知f尸q"则网研二££，1 （幅度乘闻相位增加一婚2.证明r=白 仁网仍二r（。一尸（碰双=j加f"（防即廿"）3.特别注意如果f中有确定的直流分量，应先取出直流分量单独求傅里变换，余下部分再用微分性质。li0 <->尸(0)直流州40)余下部分方便）二以0彳二彳一勺 上 E儆仅jc五所以<->凝® + MX。df «§3.7.10 频域微分性质性质:-j(T(Qo dF(&>) dfi>d&T 或。一 （j）丁例 3-7-6已知

8、力3尸3），求凯（£一”441二?F(l- 2)/(x)(0- 2/(0 = j-2F(®)例 3-7-7求理J解：2山 dm产"（犷da2jES(0)1.性质§3.7.11 时域积分性质Sf“）c万（0）,贝lF（Q）= （H寸,J：_f（r）dTC整网0卜 00寸，/（Ht 1Jj®也可以记作多+喇®2.证明iL布叫一x由二工上.*-9工卜-灰，港二上dt” 丁"3卜=匚4喇）+ W卜立依=（晒鲁城工拉”,=（初鲁/仁/（力-=超（函）明（回）中°一F（0） JGJ®上回啊®H鲍其中：(1)变上限积分用带时移的单位阶跃的无限积分表示，成为(2)交换积分顺序 先上后,，即先求时移的单位阶跃的信号的傅里叶变换(3)对积分变量1而言®为常数，移到