补充-数学模型

1、3.1.1 差分的定义差分的定义 连续函数连续函数 ，采样后为，采样后为 简写简写一阶向前差分：一阶向前差分：二阶向前差分：二阶向前差分： n阶向前差分：阶向前差分： 一阶向后差分：一阶向后差分： 二阶向后差分：二阶向后差分： n阶向后差分：阶向后差分： 3.1 离散系统的时域描述离散系统的时域描述差分方程差分方程2( )( )(1)( )2 (1)(2)f kf kf kf kf kf k 3.1.2 差分方程差分方程差分方程是时间序列的方程差分方程是时间序列的方程 连续系统连续系统微分用差分代替微分用差分代替 一般离散系统的差分方程：一般离散系统的差分方程： 差分方程还可用向后差分表示为：

2、差分方程还可用向后差分表示为：( )c k代替代替( )c t代替代替( )r k( )r t（线性常系数差分方程）（线性常系数差分方程）3.1.3 差分方程（迭代）求解差分方程（迭代）求解差分方程的解也分为通解与特解。差分方程的解也分为通解与特解。 通解是与方程初始状态有关的解。通解是与方程初始状态有关的解。 特解与外部输入有关，它描述系统在外部输入作用下的强迫运动。特解与外部输入有关，它描述系统在外部输入作用下的强迫运动。例例3-1 已知差分方程已知差分方程 ( )c k，试求，试求解：采用解：采用递推迭代法递推迭代法，有：，有：说明：另一个求解方法是利用说明：另一个求解方法是利用z变换求

3、解。变换求解。 （通式困难；计算机有限项）（通式困难；计算机有限项）3.2.1 Z变换定义变换定义1. z变换变换采样信号采样信号 采样信号的采样信号的z变换变换注意：注意：z变换中，变换中，z-1代表信号滞后一个采样周期，可称为单位延迟因子。代表信号滞后一个采样周期，可称为单位延迟因子。 3.2 Z变换变换特殊的拉氏变换特殊的拉氏变换（超越函数；幂级数）采样脉冲序列进行采样脉冲序列进行z变换的写法变换的写法在实际应用中，对控制工程中多数信号，在实际应用中，对控制工程中多数信号，z变换所表示的无穷级数是收敛的，变换所表示的无穷级数是收敛的，并可写成闭和形式。并可写成闭和形式。z的有理分式：的有

4、理分式：z-1的有理分式的有理分式:零、极点形式：零、极点形式：*( ), ( ), (), ( )Z ftZ f tZ f kTZ F s表达式形式（表达式形式（实际中，有理分式）1）级数求和法）级数求和法步骤：步骤：i)代入采样信号的定义式；代入采样信号的定义式； ii)求出相应的求出相应的F（z）的级数展开式；）的级数展开式； iii)找出收敛条件，写出闭公式。找出收敛条件，写出闭公式。 2）部分分式展开法）部分分式展开法（常用。查表查表）步骤：步骤：i)将将F（s）展开成简单分式；）展开成简单分式； （f(t)时）时） ii)利用利用F（s）与）与F（z）的对应关系查表。）的对应关系查

5、表。3）留数法）留数法（不记）步骤：直接利用公式：步骤：直接利用公式：iissnrisTiisssTrrrnriTsiTsezzsFssezzsFssdsdrezzsFsezzsFszF111111)()()()()!1(1)(Re)(Re)(112 2 求求Z Z变换的方法变换的方法（对f(t)或F(s)）1）级数求和法）级数求和法步骤：步骤：i)代入采样信号的定义式；代入采样信号的定义式； ii)求出相应的求出相应的F（z）的级数展开式；）的级数展开式； iii)找出收敛条件，写出闭公式。找出收敛条件，写出闭公式。1220( )()1kTTkF zf kT zezez ( )tf te当等

6、比级数的公比当等比级数的公比11Tez11( )1TTzF zezze例例例例)3() 1(2)(2sssssF求求 F(z)3() 1() 1()(43122sCsCsCsCsF表中查不到，部分分式分解：表中查不到，部分分式分解：求系数方法：求系数方法： 解方程组。解方程组。 得到得到iC)3(1121132) 1(143) 1(121)(2sssssF查表，得到：查表，得到：)(121) 1(32)(43)32()(322TTTTezzzzezzzeTezF说明：说明： 极点按极点按 对应；对应； T。 零点零点 无对应；无对应； 个数一般多于个数一般多于F(s)。 Tsiiez 2）部分

7、分式展开法）部分分式展开法（常用）步骤：步骤：i)将将F（s）展开成简单分式；）展开成简单分式； ii)利用利用F（s）与）与F（z）的对应关系查表。）的对应关系查表。2）右位移（延迟）定理）右位移（延迟）定理3）左位移（超前）定理）左位移（超前）定理4）位移定理）位移定理)()(zFznTtfZn1012()( )()( )(0)()(2)(1)nnkknnnnZf tnTzF zf kT zz F zz fzf TzfTzfnT)()(aTatzeFtfeZ3 3 Z Z变换的基本定变换的基本定理理1）线性定理）线性定理1212( )( )( )( )Z af tbf taF zbF z(

8、)( )sL f teF s121( )( )(0)(0)(0)nnnnnndf tLs F ssfsffdt( )()atL ef tF sa 5）初值定理）初值定理6）终值定理）终值定理)()()0(limlim0zFkTffzk)()1 ()(11limlimzFzkTfzk)() 1()(limlim1zFzkTfzk*条件：系统稳定条件：系统稳定0(0)( )( )limlimtsff tsF s0( )( )( )limlimtsff tsF s 假定函数假定函数( )F z全部极点均在全部极点均在z平面的单位圆内平面的单位圆内或最多有一个极点或最多有一个极点 在在z=1处，则处，

9、则 建立在理想采样基础上（建立在理想采样基础上（ ）；）；只反映采样时刻的信息；只反映采样时刻的信息；系统为零初始输出。系统为零初始输出。*G（s）中分母比分子高两个阶次时，可保证输出有零初值。）中分母比分子高两个阶次时，可保证输出有零初值。Z Z变换应注意问题变换应注意问题Z反变换只反映了采样时刻的信息。反变换只反映了采样时刻的信息。1）求法）求法幂级数展开法（长除法）幂级数展开法（长除法）留数法留数法部分分式展开法（查表法）部分分式展开法（查表法）对对F(z)/z进行求解（分子中通常含进行求解（分子中通常含z） 。查表。查表。 f(t) f(kT)f(k)i）无重根：）无重根：ii）有重根

10、：）有重根：izziizzFzzA)()(izzirrizzFzzdsdrA)()()!1(1114 4 Z Z反变换反变换 （ F(z)f(t) ）)()()(*kTftfzF)()()(*zFtfZtf（）例例1 长除法长除法0*)()()(kkTtkTftf0)()(kkzkTfzF25461511)(232zzzzzzF)(*tf， 求求 难于得到通式；计算机便于实现。难于得到通式；计算机便于实现。61511254223zzzzz4321145672911zzzz1222554411zzz）1224929zz215814511629zzz）215812367zz)4(145)3(67)

11、2(29)(11)(*TtTtTtTttf例例2 部分分式展开法部分分式展开法0*)()(32)(kkTtkuktf123)(22zzzzzF)(*tf， 求求13) 1(21) 1() 1(13)(22212zzzAzAzzzzF)(32)(kukkfkttuttf| )(32)(（方程组求系数）（方程组求系数）13) 1(2)(2zzzzzF3.2.4 差分方程差分方程 z变换解法变换解法例例3-11 用用z变换法求差分方程变换法求差分方程 利用利用z变换求解线性常系数差分方程，将差分方程的求解转换为代数方程的求解变换求解线性常系数差分方程，将差分方程的求解转换为代数方程的求解c(k+2)

12、-3c(k+1)+2c(k)=4k解：解：(1) 对每一项做对每一项做z变换变换(2) 归纳整理归纳整理 特解特解 通解通解 (3) z反变换反变换 查表得查表得 部分分式展开部分分式展开 假设初始条件为零，上式第假设初始条件为零，上式第2项为零项为零 22( )(0)(1)3( )3(0)2 ( )4zz C zz czczC zzcC zz例：例：0)(2) 1(3)2(kckckc0)(2)0(3)(3) 1 ()0()(22zczczzczcczzcz1) 1 (, 0)0(cc) 1 ()0()3()()23(22zcczzzczzzzczz)()23(223)(2zzzzc2111

13、2123)(212zzzAzAzzzzzc21)(zzzzzckkkc)2() 1()(3.3.1 脉冲传递函数的定义脉冲传递函数的定义 定义：在初始条件为零时，定义：在初始条件为零时， 离散系统脉冲传递离散系统脉冲传递函数函数 又称为又称为z传递函数传递函数输出量输出量z变换变换输入量输入量z变换变换输出的采样信号：输出的采样信号： 脉冲传递函数脉冲传递函数 3.3 脉冲传递函数脉冲传递函数 *输出虚设采样开关输出虚设采样开关3.3.2 脉冲传递函数特性脉冲传递函数特性1. 离散系统脉冲传递函数的求取离散系统脉冲传递函数的求取 离散系统的脉冲传递函数可以看作是系统输入为单位脉冲时，其脉冲离散

14、系统的脉冲传递函数可以看作是系统输入为单位脉冲时，其脉冲响应的响应的z变换。变换。 若已知采样系统的连续传递函数若已知采样系统的连续传递函数G(s)，当其输出端加入，当其输出端加入虚拟开关变为离散系统时，其脉冲传递函数可按下述步骤求取：虚拟开关变为离散系统时，其脉冲传递函数可按下述步骤求取： （1）对）对G(s)做拉氏反变换，求得脉冲响应做拉氏反变换，求得脉冲响应 ( )g t（2）对）对 采样，求得离散系统脉冲的响应为采样，求得离散系统脉冲的响应为（3）对离散脉冲响应做）对离散脉冲响应做z变换，即得系统的脉冲传递函数为变换，即得系统的脉冲传递函数为 几种脉冲传递函数的表示法均可应用几种脉冲传

15、递函数的表示法均可应用 脉冲传递函数完全表征了系统或环节的输入与输出之间的特性，脉冲传递函数完全表征了系统或环节的输入与输出之间的特性，并且也只由系统或环节本身的结构参数决定，与输入信号无关。并且也只由系统或环节本身的结构参数决定，与输入信号无关。 2. 脉冲传递函数的极点与零点脉冲传递函数的极点与零点 极点极点 当当G(z)是是G(s)由通过由通过z变换得到时，它的极点是变换得到时，它的极点是G(s)的极点按的极点按z=e-sT的关的关系一一映射得到。由此可知，系一一映射得到。由此可知，G(z)的极点位置不仅与的极点位置不仅与G(s)的极点有关的极点有关，还与采样周期，还与采样周期T密切相关

16、。将将密集地映射在密切相关。将将密集地映射在z=1附近。当采样周附近。当采样周期期T足够小时，足够小时，G(s)的极点都的极点都 零点零点 G(z)的零点是采样周期的零点是采样周期T的复杂函数。采样过程会增加额外的零点。的复杂函数。采样过程会增加额外的零点。 若连续系统若连续系统G(s)没有不稳定的零点，且极点数与零点数之差大于没有不稳定的零点，且极点数与零点数之差大于2，当采样周期较小时，当采样周期较小时，G(z)总会出现不稳定的零点，变成非最小相位系总会出现不稳定的零点，变成非最小相位系统。统。 有不稳定零点的连续系统有不稳定零点的连续系统G(s)，只要采样周期取得合适，离散后也可，只要采

17、样周期取得合适，离散后也可得到没有不稳定零点的得到没有不稳定零点的G(z) 。3.3.3 差分方程与脉冲传递函数差分方程与脉冲传递函数1. 由差分方程求脉冲传递函数由差分方程求脉冲传递函数已知差分方程已知差分方程 ，设初始条件为零。，设初始条件为零。两端进行两端进行z变换变换 脉冲传递函数脉冲传递函数 系统的特征多项式系统的特征多项式 系统输出系统输出 2. 由脉冲传递函数求差分方程由脉冲传递函数求差分方程 z反变换反变换 z反变换反变换 3.6 离散系统的状态空间描述离散系统的状态空间描述离散系统状态方程离散系统状态方程 n维维 m维维 p维维 F(nn)：状态转移矩阵：状态转移矩阵 G(n

18、m)：输入矩阵或控制转移矩阵：输入矩阵或控制转移矩阵 Cpn：状态输出矩阵：状态输出矩阵 D(pm)：直接传输矩阵：直接传输矩阵 连续系统状态空间模型连续系统状态空间模型 离散系统状态空间模型离散系统状态空间模型 连续系统状态方程连续系统状态方程)()()()()()(tDtCttBtAtu ux xu ux xx xy y3.6.1 由差分方程建立离散状态方程由差分方程建立离散状态方程单输入单输出线性离散系统，可用单输入单输出线性离散系统，可用n阶差分方程描述阶差分方程描述 101()(1)( )()(1)( )nmy kna y kna y kb u kmbu kmb u k选择选择状态状

19、态变量变量1021132211( )( )( )( )(1)( )( )(1)( )( )(1)( )nnnx ky kh u kx kx khu kx kx kh u kx kxkhu k式中式中 00111 0221 120331 22 13011220nnnnnhbhba hhba ha hhba ha ha hhba ha ha h则可得到离散系统状态方程，且有：则可得到离散系统状态方程，且有：1221010000010000001nnnFaaaaa1200110 00 0nnhhGCDhbhh3.6.2由脉冲传递函数建立离散状态方程由脉冲传递函数建立离散状态方程通常采用串行法、并行法

20、、直接法等实现。通常采用串行法、并行法、直接法等实现。 1. 串行法（又称迭代法）串行法（又称迭代法）写成零极点形式写成零极点形式 状态方程：状态方程： 输出方程：输出方程： 状态方程的矩阵形式：状态方程的矩阵形式： 6.1.1 可控性与可达性可控性与可达性 可控性定义：可控性定义： 对上述系统，若可以找到控制序列对上述系统，若可以找到控制序列u(k)，能在有限时间，能在有限时间NT内内驱动系统从任意初始状态驱动系统从任意初始状态x(0)到达任意期望状态到达任意期望状态x(N)=0，则，则称该系统是状态称该系统是状态完全可控的完全可控的（简称是可控的）。（简称是可控的）。 可达性定义：可达性定义： 对上述系统，若可以找到控制序列对上述系统，若可以找到控制序列u(k) ，能在有限时间，能在有限时间NT内内驱动系统从任意初始状态驱动系统从任意初始状态x(0)到达任意期望状态到达任意期望状态x(N)，则称，