数学分析第十六章多元函数的极限与连续

1、多元函数微积分多元函数微积分16. 多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续17. 多元函数微分学多元函数微分学18. 隐函数定理及其应用隐函数定理及其应用19. 含参量积分含参量积分20. 曲线积分曲线积分21. 重积分重积分22. 曲面积分曲面积分第第16章章 多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续1 1 平面点集与多元函数平面点集与多元函数（了解平面点集的有关概念、平面上的完备性定理、多元函数的概念了解平面点集的有关概念、平面上的完备性定理、多元函数的概念 ）一、一、 平面点集平面点集坐标平面坐标平面 平面点集平面点集 e=(e=(x,y)|(x,yx,y)|(x,y) )满足的条件满

2、足的条件 邻域邻域 u(a,u(a,)=(x,y)|(x-x)=(x,y)|(x-x0 0) )2 2+(y-y+(y-y0 0) )2 2 2 2 u(a,u(a,)=(x,y)|x-x)=(x,y)|x-x0 0|,|y-y,|y-y0 0| 空心邻域空心邻域 u u0 0(a,(a,)=(x,y)|0(x-x)=(x,y)|0(x-x0 0) )2 2+(y-y+(y-y0 0) )2 2 2 2 u(a,u(a,)=(x,y)|x-x)=(x,y)|x-x0 0|,|y-y,|y-y0 0|= 累次极限存在累次极限存在? 重极限存在重极限存在 = 次极限存在且相等次极限存在且相等? 作

3、业作业： p99: 1(5)(7),2(4)(5)p99: 1(5)(7),2(4)(5)小结：小结：1、掌握二元函数极限和累次极限的概念；、掌握二元函数极限和累次极限的概念；2、了解有关定理和推论；、了解有关定理和推论；3、掌握重极限和累次极限的求法（含不存在）。、掌握重极限和累次极限的求法（含不存在）。 3 3 二二元函数元函数的连续性的连续性一、一、 二元函数的连续性概念二元函数的连续性概念定义定义 设设f为为定义在定义在2rd ( (它或者是它或者是的聚点，或者是的聚点，或者是dp 0的孤立点的孤立点).).对于对于上的二元函数，上的二元函数，只要只要时，时，就就有有dpup);(0d

4、, | )()(|0pfpfd, 0, 0则称则称关于集合关于集合连续连续. .fd0p在点在点0p在点在点简称简称f连续连续. .若若在在fd上任何点关于集合上任何点关于集合d连续连续, ,则称则称为为连续函数连续函数. .fd上的上的若若0p为为d的孤立点，的孤立点，则则必为必为0p关于关于fd的连续点。的连续点。若若的聚点，则的聚点，则关于关于f).()(lim00pfpfdppp0p为为dd在在0p连续等价于连续等价于特别地特别地, ,当左边极限存在但不等于当左边极限存在但不等于的的可去间断点可去间断点. .)(0pf时，时，为为0pf一般地一般地, ,当当的连续性的连续性. .若上式

5、不成立若上式不成立( (其含义与一元函数的对应其含义与一元函数的对应0p为为d情形相同情形相同) )，则称，则称为为0pf的的不连续点不连续点( (或或间断点间断点).).的聚点时，就用上式判断在该点的的聚点时，就用上式判断在该点的如上节例如上节例1 1给出的函数在原点连续；事实上，给出的函数在原点连续；事实上，注注：若一元函数在某点连续，将它看作二元函数，则：若一元函数在某点连续，将它看作二元函数，则在相应点仍连续。在相应点仍连续。).1 , 2(7)(lim22) 1 , 2(),(fyxyxyx类似地，例类似地，例2 2给出的函数也在原点连续（给出的函数也在原点连续（p94p94）。）。

6、例例3 3、4 4给出的函数在原点不连续。给出的函数在原点不连续。若把例若把例3 3给出的函数改为给出的函数改为 ).0 , 0(),( ,12,0,| ),(),( ,2),(222yxmmxmxyyxyxyxxyyxf则它沿直线则它沿直线 在原点连续。在原点连续。mxy 设设,),(),(00000yyyxxxdyxpyxp则称则称),(),( ),(),(),(00000000yxfyyxxfyxfyxfyxfz为为在点在点f0p的的全增量全增量。可用增量形式描述可用增量形式描述关于关于fd在在0p的连续性：的连续性：.lim),(),(),(000zdyxyx).,(),(),(),(

7、),(),(000000000000yxfyyxfyxfyxfyxxfyxfyx若在全增量中取若在全增量中取0 x或或, 0y则相应的函数增量称为则相应的函数增量称为偏增量偏增量，记为，记为注意：偏增量的和不一定等于全增量。注意：偏增量的和不一定等于全增量。.,),(0001xyxyyxf容易证明：若二元函数在某内点连续，则对单个自变量容易证明：若二元函数在某内点连续，则对单个自变量都在该点连续。但是反过来，二元函数在某内点对单个都在该点连续。但是反过来，二元函数在某内点对单个自变量都连续，并不能保证该函数的连续性。例如，自变量都连续，并不能保证该函数的连续性。例如，若若),(0yxfx的一元

8、函数在的一元函数在时时,),(lim0000yxfxx则表示当则表示当0yy 作为作为0 x连续。连续。同理同理, ,若若,),(lim0000yxfyy),(yxf0则表示则表示在在0y连续。连续。定理定理16.716.7( (复合函数的连续性定理复合函数的连续性定理) ) 设设函数函数在在xy的某邻域内有定义，的某邻域内有定义，),(000yxp平面上点平面上点则复合函数则复合函数).,(000yxv),(yxu和和),(yxv连续；函数连续；函数0p并在点并在点在在uv),(000vuq),(vuf平面上点平面上点的某邻域内有定义的某邻域内有定义, ,并在点并在点0q连续连续, ,其中其

9、中),(000yxu),(),(),(yxyxfyxg也连续。也连续。0p在点在点若二元函数在一点连续，则与一元函数一样，可以证明若二元函数在一点连续，则与一元函数一样，可以证明它在这点近旁具有局部有界性、局部保号性以及有理运它在这点近旁具有局部有界性、局部保号性以及有理运算的各个法则。下面仅证明二元复合函数的连续性定理算的各个法则。下面仅证明二元复合函数的连续性定理. .练习练习: :说明下列函数的连续性说明下列函数的连续性.)sin(3sin),(223yxexxyxfy二二、 有界闭域上连续函数的性质有界闭域上连续函数的性质本段讨论有界闭域上多元连续函数的性质。它们可以本段讨论有界闭域上

10、多元连续函数的性质。它们可以看作是闭区间上一元连续函数性质的推广。看作是闭区间上一元连续函数性质的推广。定理定理16.816.8( (有界性与最大、最小值定理有界性与最大、最小值定理) ) 若函数若函数2rd 上连续，则上连续，则有界闭域有界闭域最大值与最小值。最大值与最小值。f在在f在在d上有界，且能取得上有界，且能取得定理定理16.916.9( (一致连续性定理一致连续性定理) ) 若函数若函数2rd 上连续，则上连续，则f在有界闭域在有界闭域f在在d上一致连续。即对上一致连续。即对只要只要就就有有,),(qp. | )()(|qfpf, 0, 0实际上，定理实际上，定理16.816.8与

11、与16.916.9中的有界闭域可改为有界闭中的有界闭域可改为有界闭集集( (证明过程无原则性变化证明过程无原则性变化) )。定理。定理16.1016.10中的有界闭域中的有界闭域( (它保证连通性它保证连通性) )不可改为有界闭集不可改为有界闭集( (开集、闭集不一定开集、闭集不一定具有连通性具有连通性) )。此外，定理。此外，定理16.1016.10中的连续函数的值域中的连续函数的值域必定是一个区间。必定是一个区间。的实数的实数定理定理16.1016.10( (介值定理介值定理) ) 设函数设函数上连续，若上连续，若f在有界闭域在有界闭域21pp,为为d中任意两点，且中任意两点，且则对任何满

12、足不等式则对任何满足不等式)()(21pfpf),()(21pfpf2rd , ,dp 0使得使得必存在点必存在点.)(0pf2 2、考察下列函数的连续性：、考察下列函数的连续性：作业作业: p105: 1(1)(3)(5), 3.那么它在那么它在练习练习： 1 1、若函数若函数1| ),(22yxyxd上具有哪些性质？上具有哪些性质？),0 , 0(),(, 0),0 , 0(),(,1),(22yxyxyxyxf . 0 , 0, 0 ,),( )2( ;)cos(1),( ) 1 ()sin(22yyyxfyxyxfyxy小结：小结：1、掌握二元函数的连续性概念、掌握二元函数的连续性概念

13、 ；2、了解有界闭域上连续函数的性质。、了解有界闭域上连续函数的性质。“ch16ch16二二元函数元函数的连续性与极限的连续性与极限”习题习题课课一、一、 基本内容和要求基本内容和要求1、了解平面点集的有关概念，了解平面上的完备、了解平面点集的有关概念，了解平面上的完备 性定理，了解多元函数的概念。性定理，了解多元函数的概念。2、理解二元函数的极限和累次极限的概念，并会、理解二元函数的极限和累次极限的概念，并会计算，知道它们之间的联系。计算，知道它们之间的联系。3、了解二元函数的连续性概念和有界闭域上连续、了解二元函数的连续性概念和有界闭域上连续函数的性质。函数的性质。二、二、 作业问题作业问

14、题p92, 3,5.p99, 1(5)(7)，2(4).p104, 1(3).三、三、 练习题练习题.1 )3();ln( )2();21ln( )1( .122222yxzwxyxzyxz求下列函数的定义域.nm,|n)(m,e )4;| ),(3,r , 10 , 1r0| ),re )2;10|,e ) 1. . 21121212122为整数）；为无理数（）（的聚点集合求下列平面点集nnerrryxyxeenn.),(lim . 3的定义叙述yxfyax.)0 , 0(),(|),( . 4的极限在和研究yxxyyxgyxxyyxf.)0 , 0( 1sin1sin)3(),( . 5的累次极限和全面极限在研究yxyxyxf. ,0y: . 0,cos1),( . 62在